यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x-2 }{1+x-2 }), what is the range of (f)?
#range
#rational function
#endpoint
A ([0,1))
B ((0,1])
C ([0,1])
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ([0,1))
Step 1
Concept
\(x^2\geq0\), इसलिए फलन का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता। / Since \(x^2\geq0\), the function value cannot be negative.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर मान (0) मिलता है और बड़े (|x|) पर मान (1) के पास जाता है पर (1) नहीं बनता। / At (x=0), the value is (0), and for large (|x|), it approaches (1) but never equals (1).
Step 3
Exam Tip
सीमा के पास जाने और वास्तव में मान लेने में अंतर रखें। / Distinguish between approaching a value and attaining it.
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यदि (A) में (5) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जिनका परास ठीक (2) अवयवों का हो?
If (A) has (5) elements and (B) has (3) elements, how many functions from (A) to (B) have range exactly of size (2)?
#range size
#counting functions
#finite sets
A (30)
B (60)
C (90)
D (150)
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Step 1
Concept
परास के (2) अवयव चुनने के तरीके \(\binom{3}{2}=3\) हैं। / Choose the (2) elements of the range in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
चुने हुए दो अवयवों पर आच्छादी फलन \(2^5-2=30\) होंगे। / Onto functions onto these two chosen elements are \(2^5-2=30\).
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(3\cdot30=90\) होगी। / Total number is \(3\cdot30=90\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}) से दिया गया है, तो (f) के एकैकी होने के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\begin{cases}x+2,&x\geq0\x-2 +2,&x<0\end{cases}), which statement about (f) being one-one is correct?
#piecewise function
#one-one
#counterexample
A यह एकैकी है / It is one-one
B यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
C यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं / It is onto but not one-one
D यह परिभाषित नहीं है / It is not defined
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Correct Answer
B. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(-1)=f(1)) / It is not one-one because (f(-1)=f(1))
Step 1
Concept
खंडों में दिए फलन में अलग-अलग खंडों के मान भी मिलाने पड़ते हैं। / For a piecewise function, values from different pieces must also be compared.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-1)=(-1)2 +2=3) और (f(1)=1+2=3)। / (f(-1)=(-1)2 +2=3) and (f(1)=1+2=3).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलते ही एकैकीपन टूट जाता है। / Equal outputs for different inputs break one-one behaviour.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x-2 +2x) से दिया गया है, तो (f) के परास और एकैकीपन के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x-2 +2x), which statement about its range and one-one behaviour is correct?
#domain restriction
#range
#one-one
A परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
B परास \([-1,\infty\)) है और यह एकैकी नहीं है / Range is \([-1,\infty\)) and it is not one-one
C परास \(\mathbb{R}\) है और यह आच्छादी है / Range is \(\mathbb{R}\) and it is onto
D परास (\(0,\infty\)) है और यह स्थिर है / Range is (\(0,\infty\)) and it is constant
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Correct Answer
A. परास \([0,\infty\)) है और यह एकैकी है / Range is \([0,\infty\)) and it is one-one
Step 1
Concept
(x-2 +2x=x(x+2)) और \(x\geq0\) होने पर यह (0) से शुरू होकर बढ़ता है। / (x-2 +2x=x(x+2)), and for \(x\geq0\) it starts at (0) and increases.
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर न्यूनतम मान (0) है, इसलिए परास \([0,\infty\)) है। / The minimum value is (0) at (x=0), so the range is \([0,\infty\)).
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत पर द्विघात फलन एकैकी बन सकता है। / A quadratic can become one-one after restricting its domain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) विषम फलन है और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) सम फलन है, तो \(g\circ f\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an odd function and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an even function, which statement about \(g\circ f\) is correct?
#even function
#odd function
#composition
A यह सम फलन है / It is an even function
B यह विषम फलन है / It is an odd function
C यह हमेशा स्थिर फलन है / It is always constant
D यह कभी परिभाषित नहीं होता / It is never defined
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Correct Answer
A. यह सम फलन है / It is an even function
Step 1
Concept
(\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x)))। / (\(g\circ f\)(-x)=g(f(-x))).
Step 2
Why this answer is correct
(f) विषम है, इसलिए (f(-x)=-f(x)); और (g) सम है, इसलिए (g(-f(x))=g(f(x)))। / Since (f) is odd, (f(-x)=-f(x)); since (g) is even, (g(-f(x))=g(f(x))).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) सम फलन है। / Therefore \(g\circ f\) is even.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो सही प्रांत लेने पर कौन सा प्रांत उचित होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is described by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what should be the correct domain?
#domain
#rational expression
#function definition
A \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
B \(\mathbb{R}\)
C \([0,\infty\))
D \(\mathbb{R}\setminus{1}\)
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Correct Answer
A. \(\mathbb{R}\setminus{0}\)
Step 1
Concept
\(\frac{1}{x}\) तभी परिभाषित है जब \(x\neq0\)। / \(\frac{1}{x}\) is defined only when \(x\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर हर शून्य हो जाएगा, इसलिए उसे हटाना जरूरी है। / At (x=0), the denominator becomes zero, so it must be removed.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलन में हर को शून्य बनाने वाले मान हमेशा हटाएँ। / For fractional functions, always exclude values that make the denominator zero.
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यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=x+\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?
If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is given by (f(x)=x+\frac{1}{x}), what is the range of (f)?
#range
#am gm
#positive domain
A \([2,\infty\))
B (\(2,\infty\))
C \(\mathbb{R}\)
D (\(-\infty,2]\)
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Correct Answer
A. \([2,\infty\))
Step 1
Concept
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\geq2\) होता है। / For positive (x), \(x+\frac{1}{x}\geq2\).
Step 2
Why this answer is correct
(x=1) पर मान (2) मिल जाता है। / At (x=1), the value (2) is attained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में गुणोत्तर और अंकगणितीय माध्य का विचार बहुत उपयोगी है। / The AM-GM idea is very useful for such range questions.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2 +px+q) से दिया गया है और उसका न्यूनतम मान (5) है जो (x=2) पर मिलता है, तो (p,q) क्या हैं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x-2 +px+q) and its minimum value is (5) at (x=2), what are (p,q)?
#quadratic function
#minimum
#parameters
A (p=-4,q=9)
B (p=4,q=-3)
C (p=-2,q=7)
D (p=2,q=1)
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Correct Answer
A. (p=-4,q=9)
Step 1
Concept
शीर्ष का (x)-निर्देशांक \(-\frac{p}{2}\) होता है। / The (x)-coordinate of the vertex is \(-\frac{p}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(-\frac{p}{2}=2\) से (p=-4) मिलता है। / From \(-\frac{p}{2}=2\), we get (p=-4).
Step 3
Exam Tip
(f(2)=5) रखने पर (4-8+q=5), इसलिए (q=9)। / Using (f(2)=5), (4-8+q=5), so (q=9).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=mx-2 +1) से दिया गया है, तो (f) के पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी होने के लिए (m) का कौन सा मान संभव है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=mx-2 +1), which value of (m) can make (f) one-one on all of \(\mathbb{R}\)?
#parameter
#one-one
#quadratic
A कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
B केवल (m=1) / Only (m=1)
C केवल (m=-1) / Only (m=-1)
D हर \(m\neq0\) / Every \(m\neq0\)
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Correct Answer
A. कोई वास्तविक (m) नहीं / No real (m)
Step 1
Concept
यदि \(m\neq0\), तो (f(1)=f(-1)) होगा। / If \(m\neq0\), then (f(1)=f(-1)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (m=0), तो फलन स्थिर (1) बन जाता है। / If (m=0), the function becomes the constant (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए किसी भी वास्तविक (m) के लिए यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore no real (m) makes it one-one on all of \(\mathbb{R}\).
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) से परिभाषित माना जाए, तो इसे फलन बनाने के लिए प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is considered as (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), which value must be removed from the domain to make it a function?
#domain
#rational function
#well defined
A (3)
B (-3)
C (1)
D (-1)
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Step 1
Concept
भिन्न में हर (x+3) है। / The denominator is (x+3).
Step 2
Why this answer is correct
(x+3=0) से (x=-3) मिलता है। / Solving (x+3=0) gives (x=-3).
Step 3
Exam Tip
हर को शून्य करने वाला मान प्रांत से हटाया जाता है। / A value making the denominator zero must be removed from the domain.
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