Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
From \(7-2x\le x+1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). Apply the same operation to both sides while simplifying.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 2\). From \(7-2x\le x+1\), we get \(6\le 3x\), so \(x\ge 2\). Apply the same operation to both sides while simplifying.
Step 3
Exam Tip
\(7-2x\le x+1\) से \(6\le 3x\), इसलिए \(x\ge 2\) है। असमानता को सरल करते समय दोनों पक्षों पर समान क्रिया करें।
Multiplying by positive (6) gives (2(2x-1)\ge 3(x+5)), hence \(x\ge 17\). A positive multiplier used to clear denominators does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 17\). Multiplying by positive (6) gives (2(2x-1)\ge 3(x+5)), hence \(x\ge 17\). A positive multiplier used to clear denominators does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (6) से गुणा करने पर (2(2x-1)\ge 3(x+5)), इसलिए \(x\ge 17\) है। हर हटाते समय धनात्मक गुणक चिन्ह नहीं बदलता।
Subtracting (6) gives \(-10\le 2x<4\), then dividing by (2) gives \(-5\le x<2\). Check equality at each endpoint separately.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-5\le x<2\). Subtracting (6) gives \(-10\le 2x<4\), then dividing by (2) gives \(-5\le x<2\). Check equality at each endpoint separately.
Step 3
Exam Tip
पहले (6) घटाने पर \(-10\le 2x<4\) और फिर (2) से भाग देने पर \(-5\le x<2\) मिलता है। दोनों सिरों की बराबरी अलग-अलग देखें।
Inequalities in opposite directions do not give a fixed comparison between (a+c) and (b+d). Same direction is the safe rule for adding inequalities.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a+c<b+d). Inequalities in opposite directions do not give a fixed comparison between (a+c) and (b+d). Same direction is the safe rule for adding inequalities.
Step 3
Exam Tip
विपरीत दिशा की असमानताओं को जोड़कर (a+c) और (b+d) की निश्चित तुलना नहीं मिलती। जोड़ने के लिए दिशा समान होना सुरक्षित नियम है।
The values (2) and (8) are excluded, so the natural values are from (3) to (7). Pay close attention to strict signs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\in{3,4,5,6,7}\). The values (2) and (8) are excluded, so the natural values are from (3) to (7). Pay close attention to strict signs.
Step 3
Exam Tip
(2) और (8) शामिल नहीं हैं, इसलिए प्राकृतिक मान (3) से (7) तक मिलते हैं। कठोर चिन्हों पर खास ध्यान दें।
For positive (x), equality in \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) occurs at (x=1). Remember the equality condition in standard forms.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x=1). For positive (x), equality in \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) occurs at (x=1). Remember the equality condition in standard forms.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (x) के लिए \(x+\frac{1}{x}\ge 2\) में समानता (x=1) पर होती है। ऐसे मानक रूपों में समानता की शर्त याद रखें।
A. \(x\le -5\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -5\) or \(x\ge 3\)
Step 1
Concept
For \(|x+1|\ge 4\), we have \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\). Thus \(x\le -5\) or \(x\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\le -5\) या \(x\ge 3\) / \(x\le -5\) or \(x\ge 3\). For \(|x+1|\ge 4\), we have \(x+1\le -4\) or \(x+1\ge 4\). Thus \(x\le -5\) or \(x\ge 3\).
Step 3
Exam Tip
\(|x+1|\ge 4\) में \(x+1\le -4\) या \(x+1\ge 4\) होता है। इसलिए \(x\le -5\) या \(x\ge 3\) मिलता है।
A. \(x\le -4\) या \(x\ge 4\)/\(x\le -4\) or \(x\ge 4\)
Step 1
Concept
The inequality \(x^2\ge 16\) means \(|x|\ge 4\). Hence (x) lies outside: \(x\le -4\) or \(x\ge 4\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) / \(x\le -4\) or \(x\ge 4\). The inequality \(x^2\ge 16\) means \(|x|\ge 4\). Hence (x) lies outside: \(x\le -4\) or \(x\ge 4\).
Step 3
Exam Tip
\(x^2\ge 16\) का अर्थ \(|x|\ge 4\) है। इसलिए (x) बाहर की ओर \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) होगा।
From (x>4), (x-4>0), so its reciprocal is also positive. The reciprocal keeps the same sign as the original quantity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों धनात्मक हैं / both are positive. From (x>4), (x-4>0), so its reciprocal is also positive. The reciprocal keeps the same sign as the original quantity.
Step 3
Exam Tip
(x>4) से (x-4>0), इसलिए उसका व्युत्क्रम भी धनात्मक होगा। व्युत्क्रम का चिन्ह मूल राशि जैसा ही रहता है।
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/it is true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+4\ge 4\) is always true. Identify the minimum value of the square term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है / it is true for all \(x\in\mathbb{R}\). Since \(x^2\ge 0\), \(x^2+4\ge 4\) is always true. Identify the minimum value of the square term.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+4\ge 4\) हमेशा सत्य है। वर्ग वाले पद का न्यूनतम मान पहचानें।
Let the number be (x); three times it is (3x), and less than (17) means (<17). Watch the order while translating words to symbols.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (3x<17). Let the number be (x); three times it is (3x), and less than (17) means (<17). Watch the order while translating words to symbols.
Step 3
Exam Tip
संख्या को (x) मानने पर उसका (3) गुना (3x) होगा और (17) से कम का अर्थ (<17) है। भाषा को प्रतीक में बदलते समय क्रम पर ध्यान दें।
Subtracting (4x) from both sides gives (1<9), which is always true. When the variable cancels, decide the solution from the truth of the remaining statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभी \(x\in\mathbb{R}\) / all \(x\in\mathbb{R}\). Subtracting (4x) from both sides gives (1<9), which is always true. When the variable cancels, decide the solution from the truth of the remaining statement.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों से (4x) घटाने पर (1<9) मिलता है, जो हमेशा सत्य है। चर हटने पर शेष कथन की सत्यता से हल तय करें।
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Subtracting (6x) from both sides gives (-2>1), which is false. A false constant statement has no solution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं / no \(x\in\mathbb{R}\). Subtracting (6x) from both sides gives (-2>1), which is false. A false constant statement has no solution.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों से (6x) घटाने पर (-2>1) मिलता है, जो असत्य है। असत्य स्थिर कथन का कोई हल नहीं होता।
Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from the endpoints. The open (2) becomes open (0), and (5) remains closed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (y\in(0,3]). Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from the endpoints. The open (2) becomes open (0), and (5) remains closed.
Step 3
Exam Tip
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। खुला (2) अब खुला (0) बनता है और (5) बंद रहता है।
The expression (2x+4) is increasing, so the endpoint values are (2) and (10). Closed endpoints give a closed interval.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\in[2,10]\). The expression (2x+4) is increasing, so the endpoint values are (2) and (10). Closed endpoints give a closed interval.
Step 3
Exam Tip
(2x+4) बढ़ने वाला रैखिक रूप है, इसलिए सिरों पर मान (2) और (10) मिलते हैं। बंद सिरों से बंद अंतराल मिलता है।
On this interval, (|x|) lies between (1) and (3), so \(1<x^2<9\). For squares on negative intervals, look at magnitude.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(1<x^2<9\). On this interval, (|x|) lies between (1) and (3), so \(1<x^2<9\). For squares on negative intervals, look at magnitude.
Step 3
Exam Tip
इस अंतराल में (|x|) (1) और (3) के बीच है, इसलिए \(1<x^2<9\)। ऋणात्मक अंतराल में वर्ग के लिए परिमाण देखें।
When (x>1), (x), \(x^2\), and \(x^3\) are all greater than (1). Powers preserve the order for positive values above (1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^3>1\). When (x>1), (x), \(x^2\), and \(x^3\) are all greater than (1). Powers preserve the order for positive values above (1).
Step 3
Exam Tip
(x>1) होने पर (x), \(x^2\) और \(x^3\) सभी (1) से बड़े हैं। धनात्मक बड़े मानों में घात क्रम बनाए रखती है।
Multiplying by (-2) should reverse the sign, so the correct form is (-2a>-2b). This is the biggest error in negative multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a<b\Rightarrow -2a<-2b\). Multiplying by (-2) should reverse the sign, so the correct form is (-2a>-2b). This is the biggest error in negative multiplication.
Step 3
Exam Tip
(-2) से गुणा करने पर चिन्ह उलटना चाहिए, इसलिए सही रूप (-2a>-2b) है। ऋणात्मक गुणन में यही सबसे बड़ी गलती होती है।
Simplifying gives \(6x-13\ge 4x+1\), so \(2x\ge 14\) and \(x\ge 7\). While expanding brackets, multiply every term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 7\). Simplifying gives \(6x-13\ge 4x+1\), so \(2x\ge 14\) and \(x\ge 7\). While expanding brackets, multiply every term.
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(6x-13\ge 4x+1\), इसलिए \(2x\ge 14\) और \(x\ge 7\) मिलता है। कोष्ठक खोलते समय हर पद पर गुणा करें।
Multiplying by positive (12) gives (3x+6<6x-2), so \(x>\frac{8}{3}\). A positive LCM does not reverse the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x>\frac{8}{3}\). Multiplying by positive (12) gives (3x+6<6x-2), so \(x>\frac{8}{3}\). A positive LCM does not reverse the sign.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (12) से गुणा करने पर (3x+6<6x-2), इसलिए \(x>\frac{8}{3}\) है। धनात्मक लघुत्तम समापवर्त्य से चिन्ह नहीं बदलता।
The linear expression \(\frac{3-x}{2}\) is decreasing, so the endpoint order reverses. At (x=5), (y=-1) is included, and since (x=-2) is excluded, \(\frac{5}{2}\) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(y\in[-1,\frac{5}{2}\)). The linear expression \(\frac{3-x}{2}\) is decreasing, so the endpoint order reverses. At (x=5), (y=-1) is included, and since (x=-2) is excluded, \(\frac{5}{2}\) is excluded.
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप \(\frac{3-x}{2}\) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=5) पर (y=-1) शामिल है और (x=-2) शामिल नहीं है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) शामिल नहीं होगा।
Adding inequalities in the same direction gives (u+r<v+s). Subtraction, multiplication, and division need extra sign conditions.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (u+r<v+s). Adding inequalities in the same direction gives (u+r<v+s). Subtraction, multiplication, and division need extra sign conditions.
Step 3
Exam Tip
एक ही दिशा की असमानताओं को जोड़ने से (u+r<v+s) मिलता है। घटाव, गुणा और भाग के लिए अतिरिक्त चिन्ह शर्तें चाहिए।
The common part of both conditions starts at (3) and goes up to before (5). The value (3) is included and (5) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(3\le x<5\). The common part of both conditions starts at (3) and goes up to before (5). The value (3) is included and (5) is excluded.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों का साझा भाग (3) से शुरू होकर (5) से पहले तक है। (3) शामिल है और (5) शामिल नहीं है।
From (-6x+3>12), we get (-6x>9), and dividing by (-6) gives \(x<-\frac{3}{2}\). Division by a negative reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x<-\frac{3}{2}\). From (-6x+3>12), we get (-6x>9), and dividing by (-6) gives \(x<-\frac{3}{2}\). Division by a negative reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
(-6x+3>12) से (-6x>9), फिर (-6) से भाग देने पर \(x<-\frac{3}{2}\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है।
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है/both assertion and reason are true, and the reason explains it
Step 1
Concept
From (a<b), we directly get (b-a>0). The reason correctly explains this difference.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है / both assertion and reason are true, and the reason explains it. From (a<b), we directly get (b-a>0). The reason correctly explains this difference.
Step 3
Exam Tip
(a<b) से (b-a>0) सीधे मिलता है। कारण इसी अंतर की सही व्याख्या करता है।
The linear expression (5-3x) is decreasing, so the order of endpoints reverses. Since (x=1) is included, (2) is included, and since (x=4) is excluded, (-7) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (y\in(-7,2]). The linear expression (5-3x) is decreasing, so the order of endpoints reverses. Since (x=1) is included, (2) is included, and since (x=4) is excluded, (-7) is excluded.
Step 3
Exam Tip
रैखिक रूप (5-3x) घटता है, इसलिए सिरों का क्रम उलटता है। (x=1) शामिल है इसलिए (2) शामिल है और (x=4) शामिल नहीं है इसलिए (-7) शामिल नहीं है।
Multiplying by positive (3) gives \(4x-5\le 3x+6\), so \(x\le 11\). Removing a positive denominator does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\le 11\). Multiplying by positive (3) gives \(4x-5\le 3x+6\), so \(x\le 11\). Removing a positive denominator does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक (3) से गुणा करने पर \(4x-5\le 3x+6\), इसलिए \(x\le 11\) मिलता है। धनात्मक हर हटाने पर चिन्ह नहीं बदलता।
