Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दोनों पक्षों में (7) जोड़ना/adding (7) to both sides
Step 1
Concept
Adding the same number to both sides does not change inequality direction. The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों पक्षों में (7) जोड़ना / adding (7) to both sides. Adding the same number to both sides does not change inequality direction. The sign changes only when multiplying or dividing by a negative number.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। चिन्ह केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में बदलता है।
The open endpoint excludes (-3), and the closed endpoint includes (5). While reading intervals, notice parentheses and square brackets.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x>-3) और \(x\le 5\) / (x>-3) and \(x\le 5\). The open endpoint excludes (-3), and the closed endpoint includes (5). While reading intervals, notice parentheses and square brackets.
Step 3
Exam Tip
खुला सिरा (-3) को शामिल नहीं करता और बंद सिरा (5) को शामिल करता है। अंतराल पढ़ते समय कोष्ठक और वर्ग कोष्ठक पर ध्यान दें।
We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\le -3\). A negative coefficient is the most common trap.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\le -3\). We get \(-4x\ge 12\), and dividing by (-4) reverses the sign to \(x\le -3\). A negative coefficient is the most common trap.
Step 3
Exam Tip
\(-4x\ge 12\) और (-4) से भाग देने पर चिन्ह उलटकर \(x\le -3\) होता है। ऋणात्मक गुणांक सबसे सामान्य गलती है।
The same (x) cannot be less than (-1) and greater than (3) at once. For compound inequalities, find the common part.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (x<-1) और (x>3) / (x<-1) and (x>3). The same (x) cannot be less than (-1) and greater than (3) at once. For compound inequalities, find the common part.
Step 3
Exam Tip
एक ही (x) साथ में (-1) से छोटा और (3) से बड़ा नहीं हो सकता। संयुक्त असमानता में साझा भाग खोजें।
The inequality \(x\le -2\) includes (-2) and all smaller real values. Infinity always uses an open parenthesis.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-2]\). The inequality \(x\le -2\) includes (-2) and all smaller real values. Infinity always uses an open parenthesis.
Step 3
Exam Tip
\(x\le -2\) में (-2) शामिल है और सभी छोटे वास्तविक मान आते हैं। \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक लगता है।
For every real (x), (x+1) is (1) more than (x). Subtracting the same term gives (0<1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सभी \(x\in\mathbb{R}\) / all \(x\in\mathbb{R}\). For every real (x), (x+1) is (1) more than (x). Subtracting the same term gives (0<1).
Step 3
Exam Tip
हर वास्तविक (x) के लिए (x+1), (x) से (1) अधिक है। समान पद हटाने पर (0<1) मिलता है।
D. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Subtracting the same (x) gives (3<-2), which is false. When the variable cancels, decide the solution from the remaining truth value.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं / no \(x\in\mathbb{R}\). Subtracting the same (x) gives (3<-2), which is false. When the variable cancels, decide the solution from the remaining truth value.
Step 3
Exam Tip
समान (x) हटाने पर (3<-2) मिलता है, जो असत्य है। जब चर हट जाए तो शेष सत्यता से हल तय करें।
Multiplying \(x\le -1\) by (-5) gives \(-5x\ge 5\), then adding (2) gives \(-5x+2\ge 7\). Negative multiplication reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(-5x+2\ge 7\). Multiplying \(x\le -1\) by (-5) gives \(-5x\ge 5\), then adding (2) gives \(-5x+2\ge 7\). Negative multiplication reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(x\le -1\) को (-5) से गुणा करने पर \(-5x\ge 5\), फिर (2) जोड़ने पर \(-5x+2\ge 7\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है।
Multiplying both sides by positive (2) gives \(x-3\ge 8\), so \(x\ge 11\). A positive denominator does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 11\). Multiplying both sides by positive (2) gives \(x-3\ge 8\), so \(x\ge 11\). A positive denominator does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को धनात्मक (2) से गुणा करने पर \(x-3\ge 8\), अतः \(x\ge 11\) मिलता है। धनात्मक हर चिन्ह नहीं बदलता।
Multiplying by (-3) reverses the sign, so (5-2x>-21), then (-2x>-26), and dividing by (-2) gives (x<13). The listed choices do not match this result.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (x> -8). Multiplying by (-3) reverses the sign, so (5-2x>-21), then (-2x>-26), and dividing by (-2) gives (x<13). The listed choices do not match this result.
Step 3
Exam Tip
(-3) से गुणा करने पर चिन्ह उलटता है, इसलिए (5-2x>-21), फिर (-2x>-26) और (x<13) नहीं, सही रूप (2x<26) से (x<13) होगा। इस पंक्ति में सही विकल्प उपलब्ध नहीं है।
Multiplying by (-2) gives \(7-3x\ge -10\), then \(-3x\ge -17\), so \(x\le \frac{17}{3}\). The correct solution is not among the options, so this question is invalid.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(x\ge -1\). Multiplying by (-2) gives \(7-3x\ge -10\), then \(-3x\ge -17\), so \(x\le \frac{17}{3}\). The correct solution is not among the options, so this question is invalid.
Step 3
Exam Tip
(-2) से गुणा करने पर \(7-3x\ge -10\), फिर \(-3x\ge -17\) और \(x\le \frac{17}{3}\) मिलता है। सही हल विकल्पों में नहीं है, इसलिए प्रश्न अमान्य है।
D. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं/no definite conclusion
Step 1
Concept
Inequalities in opposite directions do not give a fixed order when added directly. The directions should match before adding.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं / no definite conclusion. Inequalities in opposite directions do not give a fixed order when added directly. The directions should match before adding.
Step 3
Exam Tip
विपरीत दिशाओं की असमानताओं को सीधे जोड़कर निश्चित क्रम नहीं मिलता। जोड़ने से पहले दिशा समान होनी चाहिए।
Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from its endpoints. Open and closed endpoint types remain the same.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([0,5)). Subtracting (2) from the whole interval subtracts (2) from its endpoints. Open and closed endpoint types remain the same.
Step 3
Exam Tip
पूरे अंतराल से (2) घटाने पर सिरों से भी (2) घटता है। बंद और खुले सिरों की प्रकृति वही रहती है।
Multiplying by (-2) reverses order: \(x\le 1\) gives \(-2x\ge -2\), and (x>-4) gives (-2x<8). Thus the interval is ([-2,8)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([-2,8)). Multiplying by (-2) reverses order: \(x\le 1\) gives \(-2x\ge -2\), and (x>-4) gives (-2x<8). Thus the interval is ([-2,8)).
Step 3
Exam Tip
(-2) से गुणा करने पर क्रम उलटता है: \(x\le 1\) से \(-2x\ge -2\) और \(x>-4\) से \(-2x<8\)। इसलिए अंतराल \([-2,8]\) है।
The value (-1) is excluded and (6) is included. Hence the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x\in(-1,6]). The value (-1) is excluded and (6) is included. Hence the left endpoint is open and the right endpoint is closed.
Step 3
Exam Tip
(-1) शामिल नहीं है और (6) शामिल है। इसलिए बायां सिरा खुला और दायां सिरा बंद होगा।
The inequality \(|x|\ge 3\) means (x) is at least (3) units away from (0). Thus \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\(-\infty,-3]\cup[3,\infty\)). The inequality \(|x|\ge 3\) means (x) is at least (3) units away from (0). Thus \(x\le -3\) or \(x\ge 3\).
Step 3
Exam Tip
\(|x|\ge 3\) का अर्थ है (x), (0) से कम से कम (3) इकाई दूर है। इसलिए \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) होगा।
When (x>1), (x) is positive and greater than (1), so its square is also greater than (1). Check the sign condition before squaring.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2>1\). When (x>1), (x) is positive and greater than (1), so its square is also greater than (1). Check the sign condition before squaring.
Step 3
Exam Tip
(x>1) होने पर (x) धनात्मक है और (1) से बड़ा है, इसलिए वर्ग भी (1) से बड़ा होगा। वर्ग करते समय चिन्ह की शर्त देखें।
From \(x\le y\) and (y<z), we get (x<z) because one link is strict. In a mixed chain, a strict sign can make the result strict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (x<z). From \(x\le y\) and (y<z), we get (x<z) because one link is strict. In a mixed chain, a strict sign can make the result strict.
Step 3
Exam Tip
\(x\le y\) और (y<z) से (x<z) मिलता है क्योंकि अंत में एक कठोर असमानता है। मिश्रित क्रम में कठोर चिन्ह परिणाम को कठोर बना सकता है।
Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (ka<kb). Multiplying by a positive number does not change inequality direction. Check the sign of the multiplier before writing the conclusion.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। पहले गुणक का चिन्ह देखें, फिर निष्कर्ष लिखें।
Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. यदि (a<b), तो (-a<-b) / If (a<b), then (-a<-b). Multiplying (a<b) by (-1) gives (-a>-b). The sign must reverse when multiplying by a negative number.
Step 3
Exam Tip
(a<b) को (-1) से गुणा करने पर (-a>-b) होता है। ऋणात्मक से गुणा करते समय चिन्ह उलटना चाहिए।
Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-10<2-3x\le 11\). Multiplying \(-3\le x<4\) by (-3) gives \(-12<-3x\le 9\), then adding (2) gives \(-10<2-3x\le 11\). Negative multiplication reverses the order.
Step 3
Exam Tip
\(-3\le x<4\) को (-3) से गुणा करने पर \(-12<-3x\le 9\), फिर (2) जोड़ने पर \(-10<2-3x\le 11\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा क्रम उलटता है।
At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x=\frac{1}{2}\). At \(x=\frac{1}{2}\), \(x^2=\frac{1}{4}\), which is less than \(\frac{1}{2}\). One counterexample is enough to disprove a universal statement.
Step 3
Exam Tip
\(x=\frac{1}{2}\) पर \(x^2=\frac{1}{4}\), जो \(\frac{1}{2}\) से छोटा है। सार्वत्रिक कथन को गलत करने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है।
A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है/true for all \(x\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सभी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए सत्य है / true for all \(x\in\mathbb{R}\). Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2+1\ge 1>0\). Identify the minimum value using the square and constant term.
Step 3
Exam Tip
क्योंकि \(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2+1\ge 1>0\)। वर्ग और स्थिरांक से न्यूनतम मान पहचानें।
A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है/both assertion and reason are true, and the reason explains it
Step 1
Concept
Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अभिकथन और कारण दोनों सही हैं, और कारण सही व्याख्या है / both assertion and reason are true, and the reason explains it. Adding (c) to both sides keeps the direction of (a<b) unchanged. The reason directly explains the assertion.
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों में (c) जोड़ने से (a<b) की दिशा वही रहती है। कारण सीधे अभिकथन को सिद्ध करता है।
Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (2x-5>1). Multiplying (x>3) by (2) gives (2x>6), and subtracting (5) gives (2x-5>1). Positive multiplication does not reverse the sign.
Step 3
Exam Tip
(x>3) को (2) से गुणा कर (2x>6) और (5) घटाकर (2x-5>1) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिन्ह नहीं बदलता।
From \(4-3x\le -8\), we get \(-3x\le -12\), and dividing by (-3) gives \(x\ge 4\). Division by a negative reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x\ge 4\). From \(4-3x\le -8\), we get \(-3x\le -12\), and dividing by (-3) gives \(x\ge 4\). Division by a negative reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(4-3x\le -8\) से \(-3x\le -12\) और (-3) से भाग देने पर \(x\ge 4\) मिलता है। ऋणात्मक भाग में चिन्ह उलटता है।
The common part of both conditions starts at (-1) and goes up to before (4). The value (-1) is included and (4) is excluded.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ([-1,4)). The common part of both conditions starts at (-1) and goes up to before (4). The value (-1) is included and (4) is excluded.
Step 3
Exam Tip
दोनों शर्तों का साझा भाग (-1) से शुरू होकर (4) से पहले तक है। (-1) शामिल है और (4) शामिल नहीं है।
Multiplying \(x\le 2\) by (-4) gives \(-4x\ge -8\), and adding (7) gives \(7-4x\ge -1\). Negative multiplication reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(7-4x\ge -1\). Multiplying \(x\le 2\) by (-4) gives \(-4x\ge -8\), and adding (7) gives \(7-4x\ge -1\). Negative multiplication reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(x\le 2\) को (-4) से गुणा करने पर \(-4x\ge -8\), फिर (7) जोड़ने पर \(7-4x\ge -1\) मिलता है। ऋणात्मक गुणा चिन्ह उलटता है।
From (1<x<4), we get (0<x-1<3), then dividing by positive (3) gives \(0<\frac{x-1}{3}<1\). Division by a positive number does not change the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((0,1)). From (1<x<4), we get (0<x-1<3), then dividing by positive (3) gives \(0<\frac{x-1}{3}<1\). Division by a positive number does not change the sign.
Step 3
Exam Tip
(1<x<4) से (0<x-1<3), फिर धनात्मक (3) से भाग देने पर \(0<\frac{x-1}{3}<1\) मिलता है। धनात्मक भाग में चिन्ह नहीं बदलता।
A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं/no \(x\in\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
No real number can be less than or equal to (6) and greater than (6) at the same time. The common part is empty.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. कोई \(x\in\mathbb{R}\) नहीं / no \(x\in\mathbb{R}\). No real number can be less than or equal to (6) and greater than (6) at the same time. The common part is empty.
Step 3
Exam Tip
कोई वास्तविक संख्या (6) से कम या बराबर और (6) से बड़ी एक साथ नहीं हो सकती। साझा भाग खाली है।
Multiplying \(x\ge -2\) by \(-\frac{1}{2}\) gives \(-\frac{x}{2}\le 1\), then adding (5) gives \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). A negative multiplier reverses the sign.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). Multiplying \(x\ge -2\) by \(-\frac{1}{2}\) gives \(-\frac{x}{2}\le 1\), then adding (5) gives \(-\frac{x}{2}+5\le 6\). A negative multiplier reverses the sign.
Step 3
Exam Tip
\(x\ge -2\) को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर \(-\frac{x}{2}\le 1\), फिर (5) जोड़ने पर \(-\frac{x}{2}+5\le 6\) मिलता है। ऋणात्मक गुणक चिन्ह उलटता है।
Subtracting (3) first gives \(-10<2x\le 6\). Then dividing by positive (2) gives the correct solution \(-5<x\le 3\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(-5<x\le 3\). Subtracting (3) first gives \(-10<2x\le 6\). Then dividing by positive (2) gives the correct solution \(-5<x\le 3\).
Step 3
Exam Tip
पहले (3) घटाने पर \(-10<2x\le 6\) मिलता है। फिर धनात्मक (2) से भाग देने पर \(-5<x\le 3\) सही हल है।
From (6-3x<x+5), we get (1<4x), so \(x>\frac{1}{4}\). While moving variable terms to one side, keep the sign and order carefully.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x>\frac{1}{4}\). From (6-3x<x+5), we get (1<4x), so \(x>\frac{1}{4}\). While moving variable terms to one side, keep the sign and order carefully.
Step 3
Exam Tip
(6-3x<x+5) से (1<4x), इसलिए \(x>\frac{1}{4}\) मिलता है। चर पदों को एक ओर लाते समय चिन्ह और क्रम सावधानी से रखें।
