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सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) लगाइए। परीक्षा में संघ के प्रश्न में समान भाग घटाना न भूलें। / Use (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)). In exams, do not forget to subtract the common part.
समुच्चय (A) दो असंबद्ध भागों \(A\setminus B\) और \(A\cap B\) में बंटता है। इसलिए (n(A)=28+16=44)। / The set (A) splits into disjoint parts \(A\setminus B\) and \(A\cap B\). Hence (n(A)=28+16=44).
पहले \(x^2\le 9\) से \(-3\le x\le 3\) मिलता है, इसलिए \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\)। समुच्चय अंतर \(A\setminus B\) में वे तत्व होते हैं जो \(A\) में हों, लेकिन \(B\) में न हों। अतः \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) में से \(B\) के तत्व हटाने पर \(\{4,5\}\) प्राप्त होता है। विकल्प C गलत है क्योंकि \(-3\), \(B\) में भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(x^2\le a^2\) को \(-a\le x\le a\) के रूप में लिखकर पूर्णांक तत्व शीघ्रता से सूचीबद्ध करें। / From \(x^2\le 9\), we get \(-3\le x\le 3\), so \(B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\). The set difference \(A\setminus B\) contains elements that belong to \(A\) but not to \(B\). Thus, removing the elements of \(B\) from \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\) leaves \(\{4,5\}\). Option C is incorrect because \(-3\) also belongs to \(B\). Exam tip: For \(x^2\le a^2\), write \(-a\le x\le a\) and then list the required integers.
प्रतिच्छेद में केवल वे संख्याएँ आती हैं जो दोनों समुच्चयों में हों। 1, समुच्चय \(B\) में शामिल नहीं है क्योंकि वहाँ खुला सिरा है, इसलिए 1 नहीं लिया जाएगा। 4, समुच्चय \(A\) में शामिल है और \(B\) में भी है, इसलिए 4 लिया जाएगा। अतः \(A\cap B=(1,4]\) है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में प्रत्येक सिरे की सम्मिलित या असम्मिलित स्थिति दोनों अंतरालों में जाँचें। / The intersection contains only numbers that belong to both sets. The number 1 is excluded because \(B\) has an open endpoint at 1, while 4 is included because it belongs to both \(A\) and \(B\). Therefore, \(A\cap B=(1,4]\). Exam tip: Check each endpoint in both intervals before writing the final interval.
पहला अंतराल (3) तक और दूसरा (1) से आगे सभी संख्याएं देता है। दोनों मिलकर पूरी \(\mathbb{R}\) बनाते हैं। / The first interval gives all numbers up to (3), and the second gives all numbers from (1) onward. Together they form all of \(\mathbb{R}\).
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{6,12\}\), क्योंकि 6 और 12 दोनों समुच्चयों में समान हैं। अब \(\{6,12\}\setminus C\) में से वे तत्व हटाने हैं जो \(C=\{6,12,18\}\) में हैं। दोनों तत्व \(C\) में मौजूद हैं, इसलिए कोई तत्व शेष नहीं बचता और परिणाम \(\varnothing\) है। परीक्षा-युक्ति: समुच्चय के अंतर \(X\setminus Y\) में केवल वे तत्व रहते हैं जो \(X\) में हों, लेकिन \(Y\) में न हों। / First find the intersection: \(A\cap B=\{6,12\}\), since 6 and 12 are common to both sets. Next, remove from \(\{6,12\}\) every element that belongs to \(C=\{6,12,18\}\). Both elements are in \(C\), so no element remains and the result is \(\varnothing\). Exam tip: In the difference \(X\setminus Y\), retain only those elements that are in \(X\) but not in \(Y\).
(n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), अतः (n\(A\cup B\)=13)। पूरक में (20-13=7) तत्व हैं। / (n(A)=10), (n(B)=6), (n\(A\cap B\)=3), so (n\(A\cup B\)=13). The complement has (20-13=7) elements.
चूँकि \(A\subseteq B\), इसलिए समुच्चय \(B\) के प्रत्येक तत्व या तो \(A\) में होगा या \(A\) में नहीं होगा। जो तत्व \(A\) में नहीं हैं, वे \(B\setminus A\) में होंगे। अतः \(A\) और \(B\setminus A\) को मिलाने पर पूरे \(B\) के तत्व प्राप्त होते हैं, इसलिए \(A\cup(B\setminus A)=B\)। विकल्प \(A\) केवल वही तत्व देता है जो पहले से \(A\) में हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि \(A\subseteq B\), तो \(B\) को \(A\) और \(B\setminus A\) के असंयुक्त भागों में बाँटा जा सकता है। / Since \(A\subseteq B\), every element of \(B\) is either in \(A\) or outside \(A\). The elements of \(B\) outside \(A\) form \(B\setminus A\). Therefore, combining \(A\) with \(B\setminus A\) gives all the elements of \(B\), so \(A\cup(B\setminus A)=B\). Option \(B\) is incorrect because it contains only the elements already in \(A\). Exam tip: when \(A\subseteq B\), the sets \(A\) and \(B\setminus A\) partition \(B\).
\(A\cap B=A\) का अर्थ है कि \(A\) का प्रत्येक तत्व \(B\) में भी उपस्थित है। इसी प्रकार, \(A\cup B=B\) तभी होता है जब \(A\), \(B\) का उपसमुच्चय हो। इसलिए सही निष्कर्ष \(A\subseteq B\) है। विकल्प B केवल तब सही होता जब दोनों समुच्चय समान होते। परीक्षा-युक्ति: \(A\cap B=A\) या \(A\cup B=B\) दिखे, तो सीधे \(A\subseteq B\) निष्कर्ष निकालें। / The statement \(A\cap B=A\) means that every element of \(A\) is also an element of \(B\). Likewise, \(A\cup B=B\) holds when \(A\) is a subset of \(B\). Therefore, \(A\subseteq B\) is correct. Option B would be true only if the two sets were equal. Exam tip: whenever \(A\cap B=A\) or \(A\cup B=B\) appears, conclude directly that \(A\subseteq B\).
समुच्चय \(A\) में वे 18 अवयव शामिल हैं जो \(B\) में नहीं हैं। इसलिए \(A\) और \(B\) के उभयनिष्ठ अवयवों की संख्या \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\) है। अब \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\)। 54 वह मान है जो उभयनिष्ठ अवयवों को घटाए बिना प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना में उभयनिष्ठ अवयवों को एक बार घटाना न भूलें। / The 18 elements in \(A\setminus B\) are the elements of \(A\) that are not in \(B\). Hence, \(n(A\cap B)=n(A)-n(A\setminus B)=30-18=12\). Therefore, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=30+24-12=42\). The value 54 results from adding the set sizes without removing the overlap. Exam tip: In a union, subtract the common elements once because they are counted twice in \(n(A)+n(B)\).
किसी भी समुच्चय \(A\) का प्रत्येक अवयव \(A\cup B\) में होता है। दी गई समानता के कारण वह \(A\cap B\) में भी होगा, इसलिए वह \(B\) में होगा। अतः \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार \(B\subseteq A\), इसलिए \(A=B\)। विकल्प B और C केवल तब सत्य होंगे जब दोनों समुच्चय रिक्त हों, जबकि विकल्प D भी सदैव सत्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: यदि संघ और प्रतिच्छेद समान दिए हों, तो दोनों समुच्चयों की समानता निष्कर्षित करें। / Every element of \(A\) belongs to \(A\cup B\). By the given equality, it must also belong to \(A\cap B\), and hence to \(B\). Thus, \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\subseteq A\), so \(A=B\). Options B and C are true only when both sets are empty, while option D is not always true. Exam tip: Whenever a union equals the corresponding intersection, conclude that the two sets are equal.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x\in\mathbb{N}\mid x\le 12\}\) और \(B=\{x\in\mathbb{N}\mid x\text{ अभाज्य है}\}\) है तथा \(B\) को \(A\) तक सीमित माना गया है, तो \(A\setminus B\) क्या होगा?
यहाँ \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\) है। इस समुच्चय में अभाज्य संख्याएँ \(B=\{2,3,5,7,11\}\) हैं। अतः \(A\setminus B\) में \(A\) के वे सभी तत्व होंगे जो अभाज्य नहीं हैं: \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\)। ध्यान रखें कि 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए वह उत्तर में शामिल होगा। / Here, \(A=\{1,2,3,\ldots,12\}\), and the prime elements of \(A\) are \(B=\{2,3,5,7,11\}\). Therefore, \(A\setminus B\) contains all elements of \(A\) that are not prime, giving \(\{1,4,6,8,9,10,12\}\). Remember that 1 is not a prime number, so it remains in the difference set.
\(A\setminus B=\varnothing\) का अर्थ है कि \(A\) का कोई भी अवयव \(B\) से बाहर नहीं है, इसलिए \(A\subseteq B\)। इसी प्रकार, \(B\setminus A=\varnothing\) से \(B\subseteq A\) प्राप्त होता है। दोनों समावेशों से \(A=B\) निष्कर्षित होता है। विकल्प C और D केवल एकतरफा उचित उपसमुच्चय बताते हैं, जबकि यहाँ दोनों दिशाओं में समावेश है। परीक्षा-युक्ति: दो समुच्चयों की पारस्परिक उपसमुच्चयता उनकी समानता सिद्ध करती है। / The condition \(A\setminus B=\varnothing\) means that no element of \(A\) lies outside \(B\), so \(A\subseteq B\). Similarly, \(B\setminus A=\varnothing\) gives \(B\subseteq A\). Mutual containment implies \(A=B\). Options C and D claim a proper subset relation in only one direction, which contradicts the two given conditions. Exam tip: if each set is a subset of the other, the two sets are equal.
पूरक नियम से (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)') होता है। यह (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)) के बराबर है। / By the complement rule, (A\setminus\(B\cap C\)=A\cap\(B\cap C\)'). This equals (\(A\setminus B\)\cup\(A\setminus C\)).
\(B\cup C\) के तत्व हटाने का मतलब (B) और (C) दोनों से बाहर रहना है। इसलिए उत्तर (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)) है। / Removing elements of \(B\cup C\) means being outside both (B) and (C). Hence the answer is (\(A\setminus B\)\cap\(A\setminus C\)).
समुच्चयों के लिए समावेशन-बहिष्करण सूत्र है: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)। मान रखने पर \(75=46+n(B)-18\), इसलिए \(n(B)=75-46+18=47\)। विकल्प 29 केवल \(75-46\) करने पर मिलता है और प्रतिच्छेद के 18 सदस्यों को समायोजित नहीं करता। परीक्षा में याद रखें कि प्रतिच्छेद को एक बार घटाया जाता है। / For two sets, the inclusion–exclusion formula is \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Substituting the given values gives \(75=46+n(B)-18\), so \(n(B)=75-46+18=47\). The value 29 results from calculating only \(75-46\) and ignoring the overlap of 18 elements. Exam tip: subtract the intersection once when finding the union of two sets.
ठीक एक विषय (=(38-20)+(32-20)=30) है। वेंन आरेख में साझा भाग को दोनों तरफ से अलग करें। / Exactly one subject (=(38-20)+(32-20)=30). In a Venn diagram, separate the common part from both sides.
एक सर्वेक्षण में 90 लोगों में से 52 लोगों को चाय, 47 लोगों को कॉफी और 19 लोगों को चाय तथा कॉफी दोनों पसंद हैं। कितने लोग न तो चाय पसंद करते हैं और न ही कॉफी?
समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से चाय या कॉफी पसंद करने वालों की संख्या = 52 + 47 − 19 = 80। यहाँ 19 को घटाया गया है क्योंकि दोनों पसंद करने वाले लोग दोनों समूहों में दो बार गिने गए हैं। इसलिए न चाय और न ही कॉफी पसंद करने वाले = 90 − 80 = 10। परीक्षा में ‘दोनों’ दिए होने पर संघ की संख्या निकालने के लिए उसे एक बार घटाना याद रखें। / By the inclusion–exclusion principle, the number of people who like tea or coffee is 52 + 47 − 19 = 80. The 19 people who like both are subtracted once because they were counted in both groups. Hence, the number who like neither is 90 − 80 = 10. Exam tip: when the overlap is given, subtract it once while finding the union.
(A) में (15) सम संख्याएं हैं और (10) के गुणज (3) हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=15-3=12)। / There are (15) even numbers in (A), and (3) multiples of (10). Thus (n\(A\setminus B\)=15-3=12).
पहले समीकरण को \((x-2)(x-3)=0\) लिखने पर \(A=\{2,3\}\) मिलता है। दूसरे समीकरण से \((x-1)(x-3)=0\), अतः \(B=\{1,3\}\)। दोनों समुच्चयों में समान एकमात्र तत्व 3 है, इसलिए \(A\cap B=\{3\}\)। विकल्प B संघ को दर्शाता है, प्रतिच्छेद को नहीं। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में केवल वे तत्व लिखें जो दोनों समुच्चयों में हों। / Factoring the first equation as \((x-2)(x-3)=0\) gives \(A=\{2,3\}\). Factoring the second as \((x-1)(x-3)=0\) gives \(B=\{1,3\}\). The only element common to both sets is 3, so \(A\cap B=\{3\}\). Option B represents the union, not the intersection. Exam tip: for an intersection, retain only the elements present in both sets.
असमानता \(x^2\le 16\) से \(-4\le x\le 4\), अतः \(A=[-4,4]\)। दूसरी ओर, \(B\) में केवल \(x>1\) वाले मान हैं। दोनों समुच्चयों के साझा मान \(1<x\le 4\) हैं, इसलिए \(A\cap B=(1,4]\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=1\), \(B\) में शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: प्रतिच्छेद में दोनों शर्तें एक साथ पूरी होनी चाहिए; खुले और बंद सिरों पर विशेष ध्यान दें। / The inequality \(x^2\le 16\) gives \(-4\le x\le 4\), so \(A=[-4,4]\). Set \(B\) contains only values satisfying \(x>1\). Therefore, the common values satisfy \(1<x\le 4\), giving \(A\cap B=(1,4]\). Option B is incorrect because \(x=1\) is not included in \(B\). Exam tip: In an intersection, both conditions must hold; check carefully whether each endpoint is open or closed.
(B) में (2) शामिल है, इसलिए (A) से (2) और उसके बाद का साझा भाग हटेगा। बचा भाग ((-1,2)) है। / Since (2) is included in (B), (2) and the common part after it are removed from (A). The remaining part is ((-1,2)).
पहले संघ ज्ञात करें: \(B\cup C=\{1,2,4,6,7\}\)। अब \(A\) और इस संघ में उपस्थित समान अवयव लेने पर \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,4\}\) मिलता है। विकल्प B में संघ के वे अवयव भी शामिल हैं जो \(A\) में नहीं हैं, जबकि विकल्प C में \(A\) का अवयव 2 छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: कोष्ठक के अनुसार पहले \(B\cup C\), फिर \(A\) से प्रतिच्छेद करें। / First find the union: \(B\cup C=\{1,2,4,6,7\}\). The elements common to this set and \(A\) are \(1,2,4\), so \(A\cap(B\cup C)=\{1,2,4\}\). Option B incorrectly retains 6 and 7, which are not in \(A\), while option C omits the common element 2. Exam tip: follow the brackets—compute \(B\cup C\) first, then take its intersection with \(A\).
पहले \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\) ज्ञात करते हैं। अब इस संघ से \(C\) के तत्व \(1,2,3,4\) हटाने पर \(\{5,6,7,9\}\) प्राप्त होता है। विकल्प D में 6 को अनावश्यक रूप से हटा दिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \((A\cup B)\setminus C\) में पहले संघ और फिर अंतर निकालें। / First, \(A\cup B=\{1,3,5,6,7,9\}\). Removing the elements of \(C\), namely 1, 2, 3, and 4, leaves \(\{5,6,7,9\}\). Option D is incorrect because it unnecessarily omits 6. Exam tip: for \((A\cup B)\setminus C\), find the union first and then remove the elements of \(C\).
(A) से (B) हटाने पर भी (A) बच रहा है, इसलिए (A) और (B) में कोई साझा तत्व नहीं है। अतः \(A\cap B=\varnothing\) है। / Removing (B) from (A) still leaves (A), so (A) and (B) have no common element. Hence \(A\cap B=\varnothing\).
चूँकि \(A\cap B=\varnothing\), इसलिए A और B असंयुक्त समुच्चय हैं तथा उनमें कोई भी उभयनिष्ठ तत्व नहीं है। अतः समावेशन-बहिष्करण सूत्र से \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\)। 21 या 17 केवल अलग-अलग समुच्चयों की cardinality हैं, संघ की नहीं। परीक्षा-युक्ति: असंयुक्त समुच्चयों के लिए संघ की cardinality सीधे उनकी cardinalities के योग के बराबर होती है। / Since \(A\cap B=\varnothing\), the sets A and B are disjoint and have no common elements. Using the inclusion–exclusion formula, \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=21+17-0=38\). The values 21 and 17 represent the cardinalities of the individual sets, not their union. Exam tip: for disjoint sets, the cardinality of the union is simply the sum of their cardinalities.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए उत्तर ({1,2,3,5,7}) है। / The union is formed from the three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Hence the answer is ({1,2,3,5,7}).
समुच्चय \(A\cup B\) में तीन असंबद्ध भाग शामिल होते हैं: केवल \(A\) के तत्व, केवल \(B\) के तत्व और साझा तत्व \(A\cap B\)। इसलिए \(n(A\cup B)=12+9+6=27\)। विकल्प 21 केवल दोनों अंतर वाले भागों का योग है और उसमें प्रतिच्छेद के 6 तत्व शामिल नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: संघ की गणना करते समय साझा भाग को एक बार अवश्य जोड़ें। / The union \(A\cup B\) consists of three disjoint parts: elements only in \(A\), elements only in \(B\), and the common elements in \(A\cap B\). Hence, \(n(A\cup B)=12+9+6=27\). Option 21 omits the 6 elements in the intersection. Exam tip: When the exclusive parts and the intersection are given, add all three parts exactly once.
\(A\cup B=A\) का अर्थ है कि \(B\) का प्रत्येक तत्व पहले से \(A\) में मौजूद है; अतः \(B\subseteq A\)। इसलिए \(B\setminus A\), अर्थात् \(B\) में मौजूद लेकिन \(A\) में अनुपस्थित तत्वों का समुच्चय, रिक्त समुच्चय \(\varnothing\) है। विकल्प B सही नहीं है, क्योंकि वह केवल तब सही होता जब \(B\) और \(A\) में कोई समान तत्व न हो। परीक्षा-युक्ति: \(X\cup Y=X\) दिखे, तो तुरंत \(Y\subseteq X\) निष्कर्ष निकालें। / The condition \(A\cup B=A\) means that every element of \(B\) is already contained in \(A\); hence, \(B\subseteq A\). Therefore, \(B\setminus A\), the set of elements in \(B\) but not in \(A\), is the empty set \(\varnothing\). Option B is not correct because \(B\setminus A=B\) would require \(A\) and \(B\) to have no common elements. Exam tip: whenever \(X\cup Y=X\), immediately infer that \(Y\subseteq X\).
\(A\cap B=B\) से \(B\subseteq A\) मिलता है, पर \(A\setminus B\) खाली भी हो सकता है और नहीं भी। बाकी कथन सदैव सत्य हैं। / \(A\cap B=B\) gives \(B\subseteq A\), but \(A\setminus B\) may or may not be empty. The other statements are always true.
साझा तत्व (\operatorname{lcm}(4,6)=12) के गुणज होंगे। (50) तक (12,24,36,48) यानी (4) तत्व हैं। / Common elements are multiples of (\operatorname{lcm}(4,6)=12). Up to (50), they are (12,24,36,48), so there are (4) elements.
\(A\) में \(-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\) अर्थात् 9 तत्व हैं। समीकरण \(x^2-2x-3=0\) को \((x-3)(x+1)=0\) लिखने पर \(B=\{-1,3\}\) मिलता है। दोनों तत्व \(A\) में हैं, इसलिए \(A\setminus B\) में 9 में से 2 तत्व हटेंगे और \(9-2=7\) तत्व बचेंगे। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर समुच्चय में हटाए जाने वाले तत्वों की संख्या जाँचें; केवल वही तत्व घटाएँ जो वास्तव में \(A\) में मौजूद हों। / The set \(A\) is \(\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}\), so it has 9 elements. Factoring \(x^2-2x-3=0\) as \((x-3)(x+1)=0\) gives \(B=\{-1,3\}\). Both elements of \(B\) belong to \(A\), so removing them leaves \(9-2=7\) elements in \(A\setminus B\). Exam tip: when finding a set difference, subtract only those elements of the second set that actually belong to the first set.
यदि \(A\triangle B\) को \((A\setminus B)\cup(B\setminus A)\) द्वारा परिभाषित किया गया है और \(n(A\cup B)=40\), \(n(A\cap B)=13\) है, तो \(n(A\triangle B)\) का मान क्या होगा?
सममित अंतर \(A\triangle B\) में वे तत्व होते हैं जो केवल \(A\) या केवल \(B\) में हैं; उभयनिष्ठ तत्व इसमें शामिल नहीं होते। इसलिए \(A\cup B\) से \(A\cap B\) को हटाने पर \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\)। परीक्षा-युक्ति: सममित अंतर की संख्या के लिए सीधे \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) का प्रयोग करें। / The symmetric difference \(A\triangle B\) contains elements that belong to exactly one of the sets, so the common elements are excluded. Hence, \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)=40-13=27\). The closest distractor, 13, is only the cardinality of the intersection, not the symmetric difference. Exam tip: use \(n(A\triangle B)=n(A\cup B)-n(A\cap B)\) when the union and intersection are given.
पहले प्रतिच्छेद ज्ञात करें: \(A\cap B=\{c,d\}\), इसलिए \(|A\cap B|=2\)। यदि किसी समुच्चय में \(n\) तत्व हों, तो उसके घात समुच्चय \(\mathcal{P}(S)\) में \(2^n\) तत्व होते हैं। अतः \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^2=4\)। विकल्प 2 केवल \(A\cap B\) के तत्वों की संख्या बताता है, उसके घात समुच्चय की नहीं। परीक्षा-युक्ति: घात समुच्चय के लिए हमेशा \(2^n\) का प्रयोग करें। / First find the intersection: \(A\cap B=\{c,d\}\), so \(|A\cap B|=2\). A set with \(n\) elements has \(2^n\) elements in its power set. Therefore, \(|\mathcal{P}(A\cap B)|=2^2=4\). Option 2 gives only the number of elements in \(A\cap B\), not in its power set. Exam tip: for a power set, use the formula \(2^n\).
समुच्चय-अंतर का नियम है \(A\setminus B=A\cap B'\)। अतः डी मॉर्गन के नियम से \((A\setminus B)'=(A\cap B')'=A'\cup B\)। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में पूरक के बाद संघ और अंतर के घटकों का सही परिवर्तन नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: पहले अंतर को \(A\cap B'\) में बदलकर फिर डी मॉर्गन का नियम लगाएँ। / The difference of two sets can be written as \(A\setminus B=A\cap B'\). Therefore, by De Morgan’s law, \((A\setminus B)'=(A\cap B')'=A'\cup B\), so option A is correct. Option C does not correctly apply the complement to the intersection form of the difference. Exam tip: rewrite a difference as \(A\cap B'\) before taking its complement.
\(A\setminus B\) में (A) के वे तत्व हैं जो साझा भाग में नहीं हैं। इसलिए (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\))। / \(A\setminus B\) contains elements of (A) that are not in the common part. Hence (n\(A\setminus B\)=n(A)-n\(A\cap B\)).
पहले \(A\setminus B\) निकालते हैं: \(A\) के वे तत्व जो \(B\) में नहीं हैं, \(\{1,4,6\}\), प्राप्त होते हैं। अब इसका \(C=\{3,4,5,8\}\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल साझा तत्व \(4\) मिलता है, इसलिए परिणाम \(\{4\}\) है। विकल्प C केवल \(A\setminus B\) दर्शाता है, जबकि विकल्प D में \(8\) शामिल है, जो \(A\setminus B\) में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: अंतर के बाद प्रतिच्छेद में केवल दोनों समुच्चयों में समान तत्व रखें। / First, find \(A\setminus B\), the elements of \(A\) that are not in \(B\): \(A\setminus B=\{1,4,6\}\). Intersecting this set with \(C=\{3,4,5,8\}\) leaves only the common element \(4\), so the result is \(\{4\}\). Option C is only \(A\setminus B\), while option D incorrectly includes \(8\), which is not in \(A\setminus B\). Exam tip: after taking a difference, retain only the elements common to both sets when taking the intersection.
यह प्रतिच्छेद का संघ पर वितरण है। पहचान वाले प्रश्नों में प्रतीकों की स्थिति ध्यान से देखें। / This is the distributive law of intersection over union. In identity questions, observe the position of symbols carefully.
यह संघ का प्रतिच्छेद पर वितरण है। दोनों वितरण नियम अलग-अलग रूपों में याद रखें। / This is the distributive law of union over intersection. Remember both forms of the distributive law separately.
यह अवशोषण नियम का रूप है: \(A\cup(A\cap B)=A\)। इसका कारण यह है कि \(A\cap B\), समुच्चय \(A\) का ही उपसमुच्चय होता है; इसलिए उसे \(A\) के साथ संघ लेने पर नया अवयव नहीं जुड़ता। वितरण नियम में संघ और प्रतिच्छेद के पदों का अलग-अलग विस्तार होता है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा में \(A\cup(A\cap B)\) और \(A\cap(A\cup B)\) दोनों को अवशोषण नियम के मानक रूप के रूप में पहचानें। / This is the absorption law: \(A\cup(A\cap B)=A\). Since \(A\cap B\) is a subset of \(A\), taking its union with \(A\) adds no new element. The distributive law expands a union or intersection across another operation, so option B is not applicable here. Exam tip: remember both standard absorption forms, \(A\cup(A\cap B)=A\) and \(A\cap(A\cup B)=A\).
यह अवशोषण नियम का रूप है: \(A\cap(A\cup B)=A\)। क्योंकि \(A\cup B\) में समुच्चय \(A\) के सभी अवयव पहले से शामिल होते हैं, इसलिए उनके प्रतिच्छेद से फिर \(A\) ही प्राप्त होता है। यह क्रमविनिमेय नियम नहीं है, क्योंकि उसमें केवल समुच्चयों का क्रम बदला जाता है। परीक्षा में \(A\cup(A\cap B)=A\) को भी अवशोषण नियम के दूसरे रूप के रूप में पहचानें। / This is the absorption law: \(A\cap(A\cup B)=A\). Since every element of \(A\) is already contained in \(A\cup B\), their intersection is simply \(A\). It is not the commutative law, which only changes the order of the sets. For exams, also remember the second absorption form, \(A\cup(A\cap B)=A\).
\(A\cap B'\) में वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो \(A\) में हैं और \(B\) में नहीं हैं। समुच्चय अंतर \(A\setminus B\) की परिभाषा भी यही है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में इसके विपरीत, वे अवयव आते हैं जो \(B\) में हैं लेकिन \(A\) में नहीं। परीक्षा में याद रखें: \(A\setminus B=A\cap B'\)। / The set \(A\cap B'\) contains all elements that belong to \(A\) but do not belong to \(B\). By definition, this is \(A\setminus B\), so option A is correct. Option B, \(B\setminus A\), reverses the roles of the two sets. Exam tip: remember the identity \(A\setminus B=A\cap B'\).
दोनों पूर्णांक अंतराल जुड़े हुए हैं और बीच में कोई खाली स्थान नहीं है। इसलिए संघ (-5) से (6) तक के सभी पूर्णांक हैं। / The two integer intervals are connected with no gap. Therefore the union is all integers from (-5) to (6).
\(C\setminus B\) में (B) से बाहर के तत्व होते हैं। \(A\subseteq B\) होने से (A) का कोई तत्व वहां नहीं होगा। / \(C\setminus B\) contains elements outside (B). Since \(A\subseteq B\), no element of (A) can be there.
\(A\setminus B=\varnothing\) से \(A\subseteq B\) है। \(A\cap B\ne\varnothing\) बताता है कि (A) खाली नहीं है। / \(A\setminus B=\varnothing\) gives \(A\subseteq B\). \(A\cap B\ne\varnothing\) shows that (A) is not empty.
(n\(A\cup B\)=n(B)) से \(A\subseteq B\) है। इसलिए \(A\setminus B=\varnothing\) और संख्या (0) है। / Since (n\(A\cup B\)=n(B)), we have \(A\subseteq B\). Hence \(A\setminus B=\varnothing\) and the number is (0).
यहाँ \(A\cup B=[0,8]\) और \(A\cap B=(3,5)\) है। संघ से उभयनिष्ठ भाग हटाने पर \([0,3]\cup[5,8]\) प्राप्त होता है। ध्यान दें कि \(3\) केवल \(A\) में और \(5\) केवल \(B\) में है, इसलिए दोनों सिरों को शामिल किया जाएगा। परीक्षा-युक्ति: खुले और बंद सिरों को प्रत्येक समुच्चय की मूल शर्तों से जाँचें। / Here, \(A\cup B=[0,8]\) and \(A\cap B=(3,5)\). Removing the common part from the union gives \([0,3]\cup[5,8]\). Notice that \(3\) belongs only to \(A\), while \(5\) belongs only to \(B\), so both endpoints are included. Exam tip: determine each interval endpoint from the original inequalities before performing set operations.
यदि \(n(A\cup B\cup C)=86\), \(n(A)=38\), \(n(B)=34\), \(n(C)=31\), \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=10\) और \(n(C\cap A)=9\) है, तो \(n(A\cap B\cap C)\) का मान क्या है?
तीन समुच्चयों के समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के अनुसार, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\)। मान रखने पर \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), इसलिए \(x=14\)। अतः सही उत्तर 14 है। परीक्षा-युक्ति: तीनों समुच्चयों के प्रतिच्छेद को अंत में जोड़ना न भूलें, क्योंकि वह पहले घटाए गए युग्मीय प्रतिच्छेदों में तीन बार शामिल होता है। / By the inclusion–exclusion principle for three sets, \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting the given values gives \(86=38+34+31-12-10-9+x=72+x\), so \(x=14\). Therefore, the correct answer is 14. Exam tip: remember to add the three-way intersection at the end because it is included three times in the pairwise intersections that were subtracted.
तीन समुच्चयों के सूत्र से (20+13+8-6-4-2+1=30) मिलता है। परीक्षा में युग्म प्रतिच्छेद घटाकर त्रिक प्रतिच्छेद जोड़ें। / Using the three-set formula gives (20+13+8-6-4-2+1=30). In exams, subtract pairwise intersections and add the triple intersection.
संघ तीन असंबद्ध भागों \(A\setminus B\), \(B\setminus A\) और \(A\cap B\) से बनता है। इसलिए (n\(A\cap B\)=70-22-31=17)। / The union is made of three disjoint parts \(A\setminus B\), \(B\setminus A\), and \(A\cap B\). Therefore (n\(A\cap B\)=70-22-31=17).
