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असमानता 8a<b9 का अर्थ है कि a का मान b से कम है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में बराबरी 8a=b9 और विकल्प C में बड़ी संख्या 8a>b9 दर्शाई गई है। परीक्षा में < चिह्न का खुला भाग बड़ी संख्या की ओर होता है। / The inequality 8a<b9 means that the value of a is less than the value of b, so option A is correct. Option B represents equality 8a=b9, while option C represents a greater-than relation 8a>b9. In an exam, remember that the open side of < faces the larger value.
B. \(x\), 7 से बड़ा या उसके बराबर है/\(x\) is greater than or equal to 7
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) का अर्थ ‘बड़ा या बराबर’ होता है। इसलिए \(x\ge 7\) में \(x=7\) और 7 से बड़ी सभी संख्याएँ शामिल हैं। विकल्प A गलत है, क्योंकि उसमें \(x=7\) शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\ge\) को ‘greater than or equal to’ और \(\le\) को ‘less than or equal to’ पढ़ें। / The symbol \(\ge\) means ‘greater than or equal to’. Therefore, \(x\ge 7\) includes \(x=7\) as well as every number greater than 7. Option A is incorrect because it excludes \(x=7\). Exam tip: read \(\ge\) as ‘greater than or equal to’ and \(\le\) as ‘less than or equal to’.
(2x+3<9) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक है। रैखिक असमानता में \(x^2\) या (xy) नहीं होता। / In (2x+3<9), the variable has power (1), so it is linear. A linear inequality does not contain \(x^2\) or (xy).
\(x=3\) रखने पर \(3<4\) सत्य प्राप्त होता है, इसलिए 3 इस असमिकता का समाधान है। विकल्प 4 सही नहीं है, क्योंकि \(4<4\) असत्य है; असमिकता में '<' का अर्थ 4 से strictly छोटा है। परीक्षा में किसी विकल्प को जाँचने के लिए उसका मान सीधे असमिकता में रखकर तुलना करें। / Substituting \(x=3\) gives \(3<4\), which is true, so 3 is a solution. The closest distractor, 4, is not valid because \(4<4\) is false; the symbol '<' means strictly less than 4. In an exam, test each option by substituting its value into the inequality.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(2\le 2\) सत्य है। परीक्षा में \(\le\) और (<) को अलग रखें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(2\le 2\) is true. In exams distinguish \(\le\) from (<).
‘से अधिक’ का अर्थ ‘से बड़ा’ होता है, इसलिए y का मान 10 से बड़ा होगा और असमानता y > 10 लिखी जाएगी। विकल्प A में y को 10 से छोटा, विकल्प C में बराबर और विकल्प D में 10 से छोटा या बराबर बताया गया है। परीक्षा-युक्ति: ‘more than’ या ‘greater than’ दिखे तो सामान्यतः > चिह्न लगाएँ। / “More than” means “greater than,” so the value of y must be greater than 10, giving y > 10. Option A represents y less than 10, option C represents equality, and option D represents y less than or equal to 10. Exam tip: translate “more than” or “greater than” as the symbol >.
“12 से अधिक नहीं” का अर्थ है कि p का मान 12 से कम या 12 के बराबर हो सकता है। इसलिए असमिका \(p\le 12\) होगी। विकल्प D \(p<12\) गलत है, क्योंकि उसमें p = 12 की सम्भावना शामिल नहीं होती। परीक्षा-युक्ति: “not more than” और “at most” का अनुवाद \(\le\) में करें। / “Not more than 12” means that p may be less than or equal to 12, so the correct inequality is \(p\le 12\). Option D, \(p<12\), is incorrect because it excludes the value p = 12. Exam tip: translate “not more than” and “at most” as \(\le\).
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से असमानता की दिशा नहीं बदलती। जोड़ या घटाव में चिह्न वैसा ही रहता है। / Adding the same number to both sides does not change the inequality direction. In addition or subtraction the sign stays the same.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। केवल ऋणात्मक गुणा या भाग में चिह्न पलटता है। / Multiplying by a positive number does not reverse the sign. The sign reverses only with negative multiplication or division.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलट जाता है। यह बहुत सामान्य गलती है। / When multiplying by a negative number, the inequality sign reverses. This is a very common mistake.
दोनों ओर (-2) से भाग देने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-4)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलना न भूलें। / Dividing by (-2) reverses the sign, so (x>-4). Do not forget sign reversal in negative division.
B. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-2) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में (-2) शामिल है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर हैं। बंद बिंदु बराबरी को दिखाता है। / The sign \(\ge\) includes (-2), and greater numbers are to the right. A closed circle shows equality.
(7) संख्या (6) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) में केवल सीमा तक के मान आते हैं। / The number (7) is greater than (6), so it is not included. The sign \(\le\) includes values only up to the boundary.
\(3\le 3\) सत्य है क्योंकि बराबरी शामिल है। ऐसे प्रश्नों में हर विकल्प अलग से जाँचें। / The statement \(3\le 3\) is true because equality is included. Check each option separately in such questions.
\(r\le 9\) में (9) और उससे छोटी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी समाधान होता है। / In \(r\le 9\), (9) and numbers smaller than (9) are included. With equality signs, the boundary value is also a solution.
“40 या उससे अधिक” का अर्थ है कि अंक 40 भी हो सकते हैं और 40 से अधिक भी, इसलिए सही असमानता \(s\ge 40\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(s>40\) में 40 अंक शामिल नहीं होते। परीक्षा टिप: “या अधिक” के लिए \(\ge\), जबकि “या कम” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “40 or more” means that the score may be exactly 40 or any value greater than 40, so the correct inequality is \(s\ge 40\). Option A is incorrect because \(s>40\) excludes a score of exactly 40. Exam tip: use \(\ge\) for “or more” and \(\le\) for “or less.”
से अधिक नहीं का अर्थ अधिकतम (15) है इसलिए \(w\le 15\)। वास्तविक जीवन में अधिकतम शब्द \(\le\) देता है। / Not exceed means at most (15), so \(w\le 15\). In real-life statements, maximum gives \(\le\).
‘से कम’ का अर्थ 100 से सख्ती से कम होता है, इसलिए सही असमानता \(p<100\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(p\le 100\) में \(p=100\) भी शामिल होता है, जबकि प्रश्न में कीमत 100 रुपये से कम बताई गई है। परीक्षा में ‘से कम’ के लिए \(<\) और ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\le\) याद रखें। / “Less than” means strictly smaller than 100, so the correct inequality is \(p<100\). Option B is incorrect because \(p\le 100\) also includes \(p=100\), which is not allowed here. In exams, remember that “less than” uses \(<\), while “less than or equal to” uses \(\le\).
“18 वर्ष से कम नहीं” का अर्थ है “कम से कम 18 वर्ष”, इसलिए आयु 18 के बराबर या उससे अधिक हो सकती है: \(a\ge 18\)। विकल्प B \(a\le 18\) अधिकतम 18 वर्ष का अर्थ देता है, जो प्रश्न के अर्थ के विपरीत है। परीक्षा में “कम से कम” को \(\ge\) और “अधिकतम” को \(\le\) से जोड़कर याद रखें। / “Not less than 18” means “at least 18,” so the age can be 18 or any greater value: \(a\ge 18\). Option B, \(a\le 18\), means the age is at most 18 and reverses the intended condition. In exams, remember that “at least” corresponds to \(\ge\), while “at most” corresponds to \(\le\).
दिए गए मान x=2 को जाँचने पर x\le 2 का अर्थ 2\le 2 होता है, जो सत्य है क्योंकि इसमें बराबरी की अनुमति है। विकल्प A, B और D में क्रमशः 2>5, 2<1 और 2\ge4 असत्य हैं। परीक्षा में याद रखें कि \le और \ge में बराबरी शामिल होती है। / Substituting x=2 into the options, x\le 2 becomes 2\le 2, which is true because equality is included. Options A, B and D give the false statements 2>5, 2<1 and 2\ge4, respectively. Exam tip: the symbols \le and \ge include equality.
(5-x>2) से (-x>-3) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x<3)। (-x) आने पर चिह्न पलटना याद रखें। / From (5-x>2), we get (-x>-3), and dividing by a negative gives (x<3). When (-x) appears, remember to reverse the sign.
पहले (2) घटाएँ फिर (4) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (2), then divide by (4), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(3-2x\le 9\) से \(-2x\le 6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\ge -3\)। ऋणात्मक भाग दिशा पलटता है। / From \(3-2x\le 9\), we get \(-2x\le 6\), and division by (-2) gives \(x\ge -3\). Negative division reverses the direction.
B. समाधान (-1) और उससे बाईं ओर हैं/Solutions are (-1) and to its left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा और उससे छोटी संख्याएँ शामिल होती हैं। संख्या रेखा पर छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। / The sign \(\le\) includes the boundary and smaller numbers. On the number line, smaller numbers are to the left.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (4) शामिल नहीं है। इसलिए मान (1,2,3) हैं। / Natural numbers are taken from (1), and (4) is not included. Therefore the values are (1,2,3).
‘कम से कम 6’ का अर्थ है कि \(x\), 6 के बराबर या 6 से अधिक हो सकता है। इसलिए \(x\ge 6\) सही है। विकल्प B में \(x\le 6\) का अर्थ 6 से कम या बराबर होता है, जो विपरीत दिशा है। परीक्षा में ‘कम से कम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) याद रखें। / ‘At least 6’ means that \(x\) can be equal to 6 or greater than 6. Therefore, \(x\ge 6\) is correct. Option B, \(x\le 6\), means less than or equal to 6, which expresses the opposite direction. In exams, remember \(\ge\) for ‘at least’ and \(\le\) for ‘at most’.
‘अधिकतम 20’ का अर्थ है कि \(n\) का मान 20 या 20 से कम हो सकता है, इसलिए \(n\le 20\) सही है। \(n<20\) में 20 शामिल नहीं होता, इसलिए वह निकटतम विकल्प होते हुए भी सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) और ‘न्यूनतम’ के लिए \(\ge\) का प्रयोग करें। / ‘At most 20’ means that \(n\) can be 20 or any value less than 20, so \(n\le 20\) is correct. The inequality \(n<20\) excludes 20, making it incorrect even though it is the closest distractor. Exam tip: use \(\le\) for ‘at most’ and \(\ge\) for ‘at least’.
असमानता a > b के दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या k से गुणा करने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती, इसलिए ak > bk सही है। विकल्प B तब होता जब k ऋणात्मक होता। इसी प्रकार किसी संख्या को दोनों पक्षों में जोड़ने या घटाने पर दिशा वही रहती है, इसलिए विकल्प C और D भी गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: धनात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर दिशा समान रहती है, जबकि ऋणात्मक संख्या से करने पर दिशा उलट जाती है। / Multiplying both sides of a > b by the positive number k does not reverse the inequality, so ak > bk is correct. Option B would be possible only if k were negative. Adding or subtracting the same number preserves the direction, so options C and D are also incorrect. Exam tip: multiplication or division by a positive number keeps the inequality sign unchanged; multiplication or division by a negative number reverses it.
दोनों ओर (-4) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-4)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-4) reverses the sign, so (x<-4). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (2) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय चिह्न की दिशा अर्थ से जाँचें। / Dividing both sides by (2) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the sign direction.
(2x-1<7) से (2x<8) और (x<4) मिलता है इसलिए सीमा के पास (x=4) संतुष्ट नहीं करता बल्कि सही जाँच में \(2\cdot4-1=7\) है इसलिए यह सख्त नहीं है। सही विकल्प को जाँचते समय सख्त चिह्न का ध्यान रखें। / From (2x-1<7), we get (2x<8) and (x<4), so (x=4) does not satisfy the strict inequality. Check strict signs carefully while testing options.
संभव पूर्णांक (3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (4) मान हैं। \(\le\) में बायां सिरा शामिल है पर (<) में दायां सिरा शामिल नहीं है। / The possible integers are (3,4,5,6), so there are (4) values. The sign \(\le\) includes the left endpoint but (<) excludes the right endpoint.
\(7-3x\ge 1\) से \(-3x\ge -6\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 2\) मिलता है। ऋणात्मक संख्या से भाग देते समय चिह्न पलटता है। / From \(7-3x\ge 1\), we get \(-3x\ge -6\), and dividing by (-3) gives \(x\le 2\). The sign reverses when dividing by a negative number.
((1) बताता है कि (1) शामिल नहीं है और (6]) बताता है कि (6) शामिल है। इसलिए \(1<x\le 6\) सही है। / The symbol ((1) shows that (1) is not included and (6]) shows that (6) is included. Therefore \(1<x\le 6\) is correct.
कम से कम (25) का अर्थ \(n\ge 25\) और अधिकतम (40) का अर्थ \(n\le 40\) है। दोनों को मिलाकर \(25\le n\le 40\) मिलता है। / At least (25) means \(n\ge 25\), and at most (40) means \(n\le 40\). Combining both gives \(25\le n\le 40\).
पहले दोनों ओर (3) घटाएँ तो (6<3x) मिलता है और फिर (3) से भाग देने पर (x>2) आता है। असमानता को पलटकर लिखते समय दिशा का अर्थ जरूर जाँचें। / First subtract (3) from both sides to get (6<3x), then divide by (3) to get (x>2). When rewriting an inequality, always check the meaning of its direction.
A. (x) संख्या (8) से बड़ी है/(x) is greater than (8)
Explanation
Simple Explanation
चिह्न (>) बताता है कि बाईं ओर का मान बड़ा है। परीक्षा में चिह्न की खुली तरफ बड़ी संख्या होती है। / The sign (>) means the value on the left is greater. In exams the open side of the sign faces the greater number.
\(\le\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(-3\le -3\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा अलग से जाँचें। / The sign \(\le\) includes equality, so \(-3\le -3\) is true. Always check the boundary value separately.
\(5x-2\ge 13\) में चर की घात (1) है इसलिए यह रैखिक असमानता है। \(x^2\) या (xy) वाला रूप रैखिक नहीं माना जाता। / In \(5x-2\ge 13\), the variable has power (1), so it is a linear inequality. Forms with \(x^2\) or (xy) are not linear.
(4) संख्या (5) से छोटी है इसलिए \(x\ge 5\) को संतुष्ट नहीं करती। विकल्पों को सीधे असमानता में रखकर जाँचें। / The number (4) is less than (5), so it does not satisfy \(x\ge 5\). Check options by substituting them directly.
“से कम” का अर्थ < होता है, इसलिए “t, 11 से कम है” को \(t<11\) लिखा जाता है। विकल्प A में असमानता की दिशा उलटकर “t, 11 से अधिक है” दर्शाया गया है, जबकि विकल्प C और D क्रमशः “कम या बराबर” तथा “बराबर” बताते हैं। परीक्षा टिप: “less than” पढ़ते समय छोटे मान की ओर खुला भाग रखें। / “Less than” is represented by <, so “t is less than 11” is written as \(t<11\). Option A reverses the inequality and means “t is greater than 11,” while C and D mean “less than or equal to” and “equal to,” respectively. Exam tip: For “less than,” the variable must have the smaller value.
“9 से कम नहीं” का अर्थ है “9 या उससे अधिक”, इसलिए सही असमिका \(z\ge 9\) है। इसमें बराबरी की संभावना भी शामिल होती है, अर्थात \(z=9\) भी मान्य है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(z\le 9\) का अर्थ 9 से कम या बराबर होता है। परीक्षा-युक्ति: “कम नहीं” को “कम से कम” समझें और \(\ge\) का प्रयोग करें। / “Not less than 9” means “9 or more,” so the correct inequality is \(z\ge 9\). It includes equality, meaning \(z=9\) is also allowed. Option B is incorrect because \(z\le 9\) means less than or equal to 9. Exam tip: interpret “not less than” as “at least” and use \(\ge\).
समान संख्या जोड़ने पर असमानता की दिशा नहीं बदलती। दोनों पक्षों पर एक ही क्रिया करें। / Adding the same number does not change the direction of an inequality. Apply the same operation to both sides.
समान संख्या घटाने से चिह्न नहीं बदलता। घटाव में केवल मान बदलता है दिशा नहीं। / Subtracting the same number does not change the sign. In subtraction only the value changes, not the direction.
धनात्मक संख्या (6) से गुणा करने पर दिशा वही रहती है। केवल ऋणात्मक गुणा में चिह्न पलटता है। / Multiplication by the positive number (6) keeps the direction the same. The sign reverses only in negative multiplication.
ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। (-2) से गुणा करते समय दिशा बदलना जरूरी है। / Multiplying by a negative number reverses the inequality sign. While multiplying by (-2), changing the direction is necessary.
(x=4) रखने पर \(2\cdot4+3=11\) और \(11\le 11\) सत्य है। बराबरी वाला चिह्न सीमा मान को स्वीकार करता है। / For (x=4), \(2\cdot4+3=11\), and \(11\le 11\) is true. A sign with equality accepts the boundary value.
(x=4) रखने पर \(4\cdot4-2=14\) और (14>10) सत्य है। सख्त असमानता में सीमा मान नहीं चलता। / For (x=4), \(4\cdot4-2=14\), and (14>10) is true. A strict inequality does not include the boundary value.
B. (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर/Closed circle at (-1) and right side
Explanation
Simple Explanation
\(\ge\) में सीमा शामिल होती है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए (-1) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / The sign \(\ge\) includes the boundary, and greater numbers are to the right. So use a closed circle at (-1) and shade right.
गोल कोष्ठक बताता है कि (4) शामिल नहीं है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए (x>4) सही है। / The parenthesis shows that (4) is not included, and the values lie to the right. Therefore (x>4) is correct.
(6) संख्या (5) से बड़ी है इसलिए शामिल नहीं है। \(\le\) सीमा को शामिल करता है लेकिन उसके बाहर के मान नहीं। / The number (6) is greater than (5), so it is not included. The sign \(\le\) includes boundaries but not outside values.
\(r\le 0\) में (0) और उससे छोटी संख्याएँ शामिल हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\le 0\), (0) and smaller numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
‘कम से कम \(33\)’ का अर्थ \(33\) या \(33\) से अधिक होता है, इसलिए सही असमानता \(m\ge 33\) है। विकल्प A में \(33\) शामिल नहीं है, जबकि विकल्प C और D \(33\) से कम या उसके बराबर अंक दर्शाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ‘कम से कम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) चिन्ह याद रखें। / ‘At least \(33\)’ means \(33\) or more, so the correct inequality is \(m\ge 33\). Option A excludes exactly \(33\), while options C and D represent marks less than or equal to \(33\). Exam tip: associate ‘at least’ with \(\ge\) and ‘at most’ with \(\le\).
“20 किलोग्राम से अधिक नहीं” का अर्थ है कि भार 20 किलोग्राम से कम या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए असमानता \(w\le 20\) होगी। विकल्प A गलत है क्योंकि उसमें 20 किलोग्राम का भार शामिल नहीं है, जबकि “अधिक नहीं” में बराबरी शामिल होती है। परीक्षा-युक्ति: “अधिकतम”, “से अधिक नहीं” और “at most” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “Not more than 20 kilograms” means that the weight can be less than or equal to 20 kilograms. Therefore, the inequality is \(w\le 20\). Option A is incorrect because it excludes a weight of exactly 20 kilograms, whereas “not more than” includes equality. Exam tip: Use \(\le\) for phrases such as “at most” and “not more than.”
‘से कम’ का अर्थ 250 से strictly छोटा होता है, इसलिए सही असमानता \(p<250\) है। विकल्प B \(p\le250\) में 250 के बराबर कीमत भी शामिल है, जो प्रश्न में नहीं कहा गया है। परीक्षा में ‘से कम’ के लिए \(<\) और ‘से कम या बराबर’ के लिए \(\le\) चिन्ह याद रखें। / ‘Less than’ means strictly smaller than 250, so the correct inequality is \(p<250\). Option B, \(p\le250\), also includes a price equal to 250, which is not stated in the question. In exams, remember that ‘less than’ uses \(<\), while ‘less than or equal to’ uses \(\le\).
“16 वर्ष से कम नहीं” का अर्थ है “कम-से-कम 16 वर्ष”, इसलिए आयु 16 के बराबर या उससे अधिक हो सकती है: \(a\ge 16\)। विकल्प D गलत है क्योंकि \(a>16\) में 16 वर्ष की आयु को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा में “कम नहीं” या “at least” पढ़ते ही \(\ge\) का प्रयोग करें। / “Not less than 16 years” means “at least 16 years,” so the age may be equal to 16 or greater: \(a\ge 16\). Option D is incorrect because \(a>16\) excludes the age of exactly 16 years. In an exam, translate “not less than” or “at least” as \(\ge\).
दिए गए मान x=7 को विकल्प C में रखने पर 7>4 मिलता है, जो सत्य है। विकल्प A में 7<5 और विकल्प B में 7\le6 असत्य हैं; विकल्प D एक असमानता नहीं बल्कि समीकरण है और 7=5 भी असत्य है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में दिए गए मान को प्रत्येक विकल्प में रखकर जाँचें। / Substituting x=7 into option C gives 7>4, which is true. Options A and B give 7<5 and 7\le6, both false; option D is an equation rather than an inequality, and 7=5 is also false. In such questions, substitute the given value into each option and verify it.
(8-x<3) से (-x<-5) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (8-x<3), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (4) घटाएँ फिर (6) से भाग दें तो \(x\le 3\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (4), then divide by (6), giving \(x\le 3\). Keep the order correct in two-step questions.
\(10-2x\ge 4\) से \(-2x\ge -6\) और (-2) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(10-2x\ge 4\), we get \(-2x\ge -6\), and division by (-2) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
A. (x) (3) से बड़ा और (8) से छोटा या बराबर है/(x) is greater than (3) and less than or equal to (8)
Explanation
Simple Explanation
\(3<x\le 8\) में (3) शामिल नहीं है पर (8) शामिल है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(3<x\le 8\), (3) is not included but (8) is included. Read a compound inequality from both sides.
प्राकृतिक संख्याएँ (1) से शुरू मानी जाती हैं और (5) शामिल है। इसलिए \(x\in{1,2,3,4,5}\) सही है। / Natural numbers are taken from (1), and (5) is included. Therefore \(x\in{1,2,3,4,5}\) is correct.
“अधिकतम \(30\)” का अर्थ है कि मान \(30\) के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\le 30\) है। विकल्प B, \(n<30\), में \(n=30\) को शामिल नहीं किया गया है। परीक्षा-युक्ति: “at most” के लिए \(\le\) और “at least” के लिए \(\ge\) चिन्ह चुनें। / “At most \(30\)” means that the value can be \(30\) or any number less than \(30\). Therefore, \(n\le 30\) is correct. Option B, \(n<30\), excludes the value \(n=30\). Exam tip: use \(\le\) for “at most” and \(\ge\) for “at least.”
“12 से अधिक” का अर्थ है कि \(s\) का मान 12 से बड़ा हो और 12 के बराबर न हो, इसलिए सही असमानता \(s>12\) है। विकल्प D \(s\ge 12\) में 12 के बराबर होने की संभावना भी शामिल है। परीक्षा-युक्ति: “से अधिक” के लिए \(>\), जबकि “से अधिक या बराबर” के लिए \(\ge\) प्रयोग करें। / “Greater than 12” means that \(s\) must be larger than 12 and cannot equal 12, so \(s>12\) is correct. Option D, \(s\ge 12\), also includes the value 12. Exam tip: use \(>\) for “more than” and \(\ge\) for “more than or equal to.”
दोनों ओर (4) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (4) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-3) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x>-6)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-3) reverses the sign, so (x>-6). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (4) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (20) का अर्थ \(n\ge 20\) और अधिकतम (45) का अर्थ \(n\le 45\) है। दोनों को मिलाकर \(20\le n\le 45\) मिलता है। / At least (20) means \(n\ge 20\), and at most (45) means \(n\le 45\). Combining both gives \(20\le n\le 45\).
पहले दोनों ओर (7) जोड़ें तो (5x<25) मिलता है फिर (5) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (7) to both sides to get (5x<25), then divide by (5). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (2) से भाग देने पर \(x+3\ge 7\) और फिर \(x\ge 4\) मिलता है। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (2) to get \(x+3\ge 7\), then \(x\ge 4\). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6) हैं इसलिए कुल (5) मान हैं। सख्त चिह्न वाले किनारे को शामिल न करें। / The possible integers are (2,3,4,5,6), so there are (5) values. Do not include the endpoint with a strict sign.
\(x^2-4<0\) में चर की घात (2) है इसलिए यह रैखिक नहीं है। रैखिक रूप में चर की घात (1) होती है। / In \(x^2-4<0\), the variable has power (2), so it is not linear. In a linear form, the variable has power (1).
([-4) बताता है कि (-4) शामिल है और (2)) बताता है कि (2) शामिल नहीं है। इसलिए \(-4\le x<2\) सही है। / The symbol ([-4) shows that (-4) is included and (2)) shows that (2) is not included. Therefore \(-4\le x<2\) is correct.
कम से कम (18) का अर्थ (18) या उससे अधिक है इसलिए \(2x\ge 18\)। शब्द कम से कम को \(\ge\) से जोड़ें। / At least (18) means (18) or more, so \(2x\ge 18\). Connect the phrase at least with \(\ge\).
दोनों ओर (5) से गुणा करने पर (x>-5) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (5) gives (x>-5). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(4-x\le 0\) से \(-x\le -4\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 4\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(4-x\le 0\), we get \(-x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 4\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-3) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-3x\ge -6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-3) reverses the inequality sign. Therefore \(-3x\ge -6\) is correct.
\(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए \(0\ge 0\) सत्य है। सीमा मान को हमेशा ध्यान से जाँचें। / The sign \(\ge\) includes equality, so \(0\ge 0\) is true. Always check the boundary value carefully.
“कम से कम 50” का अर्थ 50 या 50 से अधिक होता है, इसलिए m का मान 50 के बराबर भी हो सकता है और उससे बड़ा भी। अतः सही असमानता \(m\ge 50\) है। विकल्प A \(m>50\) गलत है क्योंकि उसमें m=50 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: “कम से कम” के लिए \(\ge\) और “अधिकतम” के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / “At least 50” means 50 or more, so m may be equal to 50 or greater than 50. Hence, the correct inequality is \(m\ge 50\). Option A, \(m>50\), is incorrect because it excludes m=50. Exam tip: use \(\ge\) for “at least” and \(\le\) for “at most.”
“75 से अधिक नहीं” का अर्थ है कि c का मान 75 से कम या 75 के बराबर हो सकता है। इसलिए सही असमिका \(c\le 75\) है। विकल्प A \(c<75\) में 75 को शामिल नहीं किया गया है, जबकि “नहीं” के साथ बराबरी संभव है। परीक्षा-युक्ति: “not more than” को “at most” और \(\le\) से याद रखें। / “Not more than 75” means that c can be less than or equal to 75, so the correct inequality is \(c\le 75\). Option A, \(c<75\), wrongly excludes the value 75. Exam tip: translate “not more than” or “at most” as \(\le\).
धनात्मक संख्या (3) से गुणा करने पर चिह्न नहीं पलटता। ऋणात्मक गुणा में ही दिशा बदलती है। / Multiplying by the positive number (3) does not reverse the sign. The direction changes only in negative multiplication.
दोनों ओर (4) से भाग देने पर \(x\ge 5\) मिलता है। धनात्मक भाग में दिशा नहीं बदलती। / Dividing both sides by (4) gives \(x\ge 5\). Division by a positive number does not change the direction.
(x=3) रखने पर \(3\cdot3+2=11\) और (11<14) सत्य है। विकल्प को मूल असमानता में रखकर जाँचें। / For (x=3), \(3\cdot3+2=11\), and (11<14) is true. Check an option by substituting it in the original inequality.
A. (2) पर खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा/Open circle at (2) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(x>2) में (2) शामिल नहीं है और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। इसलिए खुला बिंदु और दाईं ओर रेखा बनेगी। / In (x>2), (2) is not included and greater numbers lie to the right. So use an open circle and shade right.
B. (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर/Closed circle at (-4) and left side
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। इसलिए (-4) पर बंद बिंदु और बाईं ओर रेखा होगी। / The sign \(\le\) includes the boundary, and smaller numbers lie to the left. So use a closed circle at (-4) and shade left.
वर्ग कोष्ठक बताता है कि (-1) शामिल है और मान दाईं ओर हैं। इसलिए \(x\ge -1\) सही है। / The square bracket shows that (-1) is included and values lie to the right. Therefore \(x\ge -1\) is correct.
\(r\ge -2\) में (-2) और उससे बड़ी संख्याएँ आती हैं। बराबरी वाले चिह्न में सीमा मान भी हल होता है। / In \(r\ge -2\), (-2) and greater numbers are included. With an equality sign, the boundary value is also a solution.
“45 या उससे अधिक” का अर्थ है कि अंक 45 के बराबर भी हो सकते हैं या 45 से अधिक हो सकते हैं। इसलिए सही असमानता \(s\ge 45\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(s>45\) में 45 शामिल नहीं है। परीक्षा में “या अधिक” या “कम से कम” पढ़ते ही \(\ge\) का प्रयोग करें। / “45 or more” means that the marks may be exactly 45 or greater than 45. Therefore, the correct inequality is \(s\ge 45\). Option A is incorrect because \(s>45\) excludes 45. In exams, translate “or more” or “at least” as \(\ge\).
“12 किलोग्राम से अधिक नहीं” का अर्थ है कि भार 12 किलोग्राम के बराबर या उससे कम हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(w\le 12\) है। विकल्प A गलत है क्योंकि \(w<12\) में 12 किलोग्राम का भार शामिल नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: “अधिकतम”, “से अधिक नहीं” या “at most” दिखे तो \(\le\) का प्रयोग करें। / “Not more than 12 kilograms” means that the weight can be equal to 12 kilograms or less than 12 kilograms. Therefore, the correct inequality is \(w\le 12\). Option A is incorrect because \(w<12\) excludes a weight of exactly 12 kilograms. Exam tip: phrases such as “maximum,” “not more than,” and “at most” indicate \(\le\).
“30 रुपये से कम” का अर्थ है कि कीमत 30 के बराबर नहीं हो सकती; इसलिए \(p<30\) सही है। विकल्प B में 30 रुपये की कीमत भी शामिल है, जो “से कम” के अर्थ के विरुद्ध है। परीक्षा में “से कम” के लिए \(<\) और “से कम या बराबर” के लिए \(\le\) चिह्न याद रखें। / “Less than 30 rupees” means that the price cannot be equal to 30, so \(p<30\) is correct. Option B includes the value 30, which is not allowed by the phrase “less than.” In exams, remember that “less than” uses \(<\), while “less than or equal to” uses \(\le\).
‘कम से कम 5 वर्ष’ का अर्थ 5 वर्ष या उससे अधिक होता है, इसलिए आयु के लिए \(a\ge 5\) सही असमानता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(a\le 5\) का अर्थ 5 वर्ष या उससे कम होता है। परीक्षा में ‘कम से कम’ को \(\ge\) और ‘अधिकतम’ को \(\le\) से जोड़कर याद रखें। / ‘At least 5 years’ means 5 years or more, so the correct inequality is \(a\ge 5\). Option B is incorrect because \(a\le 5\) means 5 years or less. In exams, remember that ‘at least’ corresponds to \(\ge\), while ‘at most’ corresponds to \(\le\).
दिए गए मान \(x=-1\) को विकल्प B में रखने पर \(-1\le -1\) प्राप्त होता है, जो सत्य है क्योंकि इसमें बराबरी शामिल है। विकल्प A में \(-1<-3\) असत्य है; विकल्प C और D भी \(-1\) के लिए सत्य नहीं हैं। परीक्षा में असमानता जाँचने के लिए दिए गए मान को सीधे प्रतिस्थापित करें और समानता वाले चिह्नों पर विशेष ध्यान दें। / Substituting \(x=-1\) in option B gives \(-1\le -1\), which is true because equality is included. Option A gives the false statement \(-1<-3\), and options C and D are also false for \(x=-1\). In an exam, substitute the given value directly and check carefully whether equality is included in the inequality sign.
(9-x<4) से (-x<-5) और ऋणात्मक से भाग देने पर (x>5)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटता है। / From (9-x<4), we get (-x<-5), and dividing by a negative gives (x>5). The sign reverses when removing (-x).
पहले (5) घटाएँ फिर (2) से भाग दें तो \(x\le 6\)। दो चरणों वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First subtract (5), then divide by (2), giving \(x\le 6\). Keep the order correct in two-step questions.
\(15-3x\ge 6\) से \(-3x\ge -9\) और (-3) से भाग देने पर \(x\le 3\)। ऋणात्मक भाग में दिशा बदलती है। / From \(15-3x\ge 6\), we get \(-3x\ge -9\), and division by (-3) gives \(x\le 3\). Negative division changes the direction.
B. समाधान (-3) से दाईं ओर हैं और (-3) शामिल नहीं है/Solutions are to the right of (-3) and (-3) is not included
Explanation
Simple Explanation
(x>-3) में (-3) शामिल नहीं होता और बड़ी संख्याएँ दाईं ओर होती हैं। संख्या रेखा पर खुला बिंदु लगाएँ। / In (x>-3), (-3) is not included and greater numbers lie to the right. Use an open circle on the number line.
A. (x) (0) या उससे बड़ा और (10) से छोटा है/(x) is (0) or more and less than (10)
Explanation
Simple Explanation
\(0\le x<10\) में (0) शामिल है पर (10) शामिल नहीं है। संयुक्त असमानता को दोनों तरफ से पढ़ें। / In \(0\le x<10\), (0) is included but (10) is not included. Read a compound inequality from both sides.
n का न्यूनतम मान 18 होने का अर्थ है कि n, 18 के बराबर या उससे बड़ा हो सकता है। इसलिए सही असमानता \(n\ge 18\) है। विकल्प A और B, n की अधिकतम सीमा 18 से संबंधित हैं, जबकि विकल्प D में 18 शामिल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ‘न्यूनतम’ के लिए \(\ge\) और ‘अधिकतम’ के लिए \(\le\) का प्रयोग करें। / If the minimum value of n is 18, then n can be equal to 18 or any value greater than 18. Hence, \(n\ge 18\) is correct. Options A and B describe an upper limit of 18, while option D excludes 18 itself. Exam tip: use \(\ge\) for a minimum value and \(\le\) for a maximum value.
‘25 से कम या बराबर’ का अर्थ है कि \(u\), 25 से छोटा हो सकता है या ठीक 25 के बराबर भी हो सकता है। इसका प्रतीक \(\le\) है, इसलिए सही असमानता \(u\le 25\) है। विकल्प A में 25 के बराबर होने की स्थिति शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: ‘या बराबर’ दिखने पर \(\le\) या \(\ge\) में लगा बराबरी का चिन्ह अवश्य देखें। / ‘Less than or equal to 25’ means that \(u\) may be smaller than 25 or exactly equal to 25. This is represented by \(\le\), so \(u\le 25\) is correct. Option A excludes the case \(u=25\). Exam tip: when ‘or equal to’ is stated, choose the inequality symbol that includes the equality bar.
दोनों ओर समान संख्या जोड़ने से दिशा नहीं बदलती। इसलिए (a+5>b+5) हमेशा सही है। / Adding the same number to both sides does not change the direction. Therefore (a+5>b+5) is always true.
धनात्मक संख्या से गुणा करने पर असमानता की दिशा वही रहती है। (k>0) की शर्त जरूरी है। / Multiplication by a positive number keeps the inequality direction the same. The condition (k>0) is necessary.
जब किसी असमानता के दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या \(k\) से गुणा किया जाता है, तो असमानता का चिह्न उलट जाता है। इसलिए \(a>b\) से \(ak<bk\) प्राप्त होता है और विकल्प B सही है। विकल्प D भी गलत है, क्योंकि ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर भी असमानता का चिह्न उलटकर \(\frac{a}{k}<\frac{b}{k}\) होगा। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करते समय असमानता का चिह्न अवश्य बदलें। / When both sides of an inequality are multiplied by a negative number \(k\), the inequality sign reverses. Thus, from \(a>b\), we get \(ak<bk\), so option B is correct. Option D is also incorrect because division by a negative number reverses the sign, giving \(\frac{a}{k}<\frac{b}{k}\). Exam tip: Reverse the inequality sign whenever you multiply or divide both sides by a negative number.
दोनों ओर (6) से गुणा करने पर \(x\le 12\) मिलता है। धनात्मक गुणा में चिह्न नहीं पलटता। / Multiplying both sides by (6) gives \(x\le 12\). Positive multiplication does not reverse the sign.
दोनों ओर (-5) से गुणा करने पर चिह्न पलटेगा इसलिए (x<-15)। ऋणात्मक गुणा में दिशा बदलती है। / Multiplying both sides by (-5) reverses the sign, so (x<-15). Negative multiplication changes the direction.
दोनों ओर (6) से भाग देने पर (3<x) यानी (x>3) मिलता है। रूप बदलते समय दिशा का अर्थ जाँचें। / Dividing both sides by (6) gives (3<x), that is (x>3). When rewriting, check the meaning of the direction.
कम से कम (12) का अर्थ \(g\ge 12\) और अधिकतम (28) का अर्थ \(g\le 28\) है। दोनों को मिलाकर \(12\le g\le 28\) मिलता है। / At least (12) means \(g\ge 12\), and at most (28) means \(g\le 28\). Combining both gives \(12\le g\le 28\).
पहले दोनों ओर (5) जोड़ें तो \(6x\ge 24\) मिलता है फिर (6) से भाग दें। धनात्मक भाग में चिह्न नहीं बदलता। / First add (5) to both sides to get \(6x\ge 24\), then divide by (6). Division by a positive number does not change the sign.
पहले (3) से भाग देने पर (x-2<5) मिलता है और फिर (x<7)। कोष्ठक वाले प्रश्न में क्रम सही रखें। / First divide by (3) to get (x-2<5), then (x<7). Keep the order correct in bracket questions.
संभव पूर्णांक (2,3,4,5,6,7) हैं इसलिए कुल (6) मान हैं। \(\le\) सीमा को शामिल करता है पर (<) सीमा को नहीं। / The possible integers are (2,3,4,5,6,7), so there are (6) values. The sign \(\le\) includes the endpoint but (<) does not.
((-3) बताता है कि (-3) शामिल नहीं है और (5]) बताता है कि (5) शामिल है। इसलिए \(-3<x\le 5\) सही है। / The symbol ((-3) shows that (-3) is not included and (5]) shows that (5) is included. Therefore \(-3<x\le 5\) is correct.
संख्या में (4) जोड़ने का रूप (x+4) है और अधिक है का चिह्न (>) है। इसलिए (x+4>10) सही है। / Adding (4) to a number is written as (x+4), and greater than uses (>). Therefore (x+4>10) is correct.
दोनों ओर (7) से गुणा करने पर (x>14) मिलता है। धनात्मक गुणा में असमानता की दिशा नहीं बदलती। / Multiplying both sides by (7) gives (x>14). Positive multiplication does not change the inequality direction.
\(7-x\ge 2\) से \(-x\ge -5\) मिलता है और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\le 5\)। (-x) हटाते समय चिह्न पलटें। / From \(7-x\ge 2\), we get \(-x\ge -5\), and dividing by a negative gives \(x\le 5\). Reverse the sign when removing (-x).
ऋणात्मक संख्या (-2) से गुणा करने पर असमानता का चिह्न पलटता है। इसलिए \(-2x\le 6\) सही है। / Multiplying by the negative number (-2) reverses the inequality sign. Therefore \(-2x\le 6\) is correct.
पहले (2) से भाग देने पर \(3-x\le 4\) मिलता है और फिर \(-x\le 1\) से \(x\ge -1\) आता है। ऋणात्मक चर हटाते समय चिह्न पलटना याद रखें। / First divide by (2) to get \(3-x\le 4\), then \(-x\le 1\) gives \(x\ge -1\). Remember to reverse the sign when removing a negative variable.
प्रश्न में प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू मानी गई हैं। इसलिए \(x\le 6\) को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याएँ \(1,2,3,4,5,6\) हैं। चूँकि असमिका में \(\le\) है, इसलिए 6 भी हल समुच्चय में शामिल होगा। विकल्प B में 0 शामिल है, जबकि यहाँ प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू मानी गई हैं। परीक्षा में \(\le\) या \(\ge\) होने पर सीमा का मान शामिल करना याद रखें। / The question specifies that natural numbers start from 1. Therefore, the natural numbers satisfying \(x\le 6\) are \(1,2,3,4,5,6\). Since the inequality sign is \(\le\), the boundary value 6 is included in the solution set. Option B incorrectly includes 0, which is excluded under the convention stated here. In an exam, remember that \(\le\) and \(\ge\) include the boundary value.
\(x=5\) रखने पर विकल्प A में \(x-1=4\) मिलता है, इसलिए \(4>5\) असत्य है। अन्य विकल्पों में क्रमशः \(6\ge6\), \(10\le10\) और \(5<8\) सत्य हैं। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: किसी दिए हुए मान की जाँच करते समय पहले चर का मान रखें, फिर असमानता का चिह्न जाँचें। / Substituting \(x=5\) in option A gives \(x-1=4\), so \(4>5\) is false. The other options give \(6\ge6\), \(10\le10\), and \(5<8\), all of which are true. Therefore, A is correct. Exam tip: Substitute the given value first, then check whether the inequality sign remains valid.
\(x=3\) रखने पर बायाँ पक्ष \(3(3)+4=13\) हो जाता है। इसलिए असमानता \(13\le 13\) बनती है, जो सत्य है क्योंकि \(\le\) में बराबरी का मान भी शामिल होता है। अतः \(x=3\) असमानता का हल है। विकल्प B गलत है, क्योंकि वह बराबरी को स्वीकार नहीं करता। परीक्षा-युक्ति: किसी मान को हल मानने के लिए उसे मूल असमानता में रखकर जाँचें। / Substituting \(x=3\) makes the left-hand side \(3(3)+4=13\). Thus, the inequality becomes \(13\le 13\), which is true because \(\le\) includes equality. Therefore, \(x=3\) is a solution. Option B is incorrect because it ignores the equality case. Exam tip: Always substitute a proposed value into the original inequality to verify whether it is a solution.
असमानता \(x\le -3\) में \(-3\) से छोटा या उसके बराबर कोई भी मान हल होता है। \(-4\le -3\) सत्य है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C का \(-2\) \(-3\) से बड़ा है, इसलिए वह हल नहीं है। परीक्षा में ऋणात्मक संख्याओं की तुलना करते समय संख्या रेखा का प्रयोग करें। / For \(x\le -3\), any value less than or equal to \(-3\) is a solution. Since \(-4\le -3\) is true, option A is correct. The closest distractor, \(-2\), is greater than \(-3\), so it does not satisfy the inequality. In exams, use a number line to compare negative numbers accurately.
([2) बताता है कि (2) शामिल है और (9)) बताता है कि (9) शामिल नहीं है। इसलिए \(2\le x<9\) सही है। / The bracket ([2) shows (2) is included and (9)) shows (9) is not included. Hence \(2\le x<9\) is correct.
