Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. (-2) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (-2) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge -2\) मिलता है। \(\ge\) के कारण सीमा शामिल होती है और दाईं ओर छायांकन होगा। / Solving gives \(x\ge -2\). Because of \(\ge\), the boundary is included and shading goes right.
हल करने पर \(-3x\le 6\) और फिर \(x\ge -2\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देते समय चिह्न बदलना न भूलें। / Solving gives \(-3x\le 6\) and then \(x\ge -2\). Remember to reverse the sign when dividing by a negative.
हल करने पर \(5x\le 15\) और \(x\le 3\) मिलता है। \(\le\) में (3) शामिल होगा। / Solving gives \(5x\le 15\) and \(x\le 3\). The sign \(\le\) includes (3).
खुला सिरा सीमा को बाहर रखता है और बंद सिरा सीमा को शामिल करता है। इसलिए \(-1<x\le 6\) सही है। / An open endpoint excludes the boundary and a closed endpoint includes it. Hence \(-1<x\le 6\) is correct.
वर्ग कोष्ठक (-4) को शामिल करता है और गोल कोष्ठक (3) को बाहर रखता है। इसलिए \(-4\le x<3\) होगा। / The square bracket includes (-4) and the parenthesis excludes (3). Therefore the form is \(-4\le x<3\).
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x<5\) मिलता है। इसलिए बायाँ सिरा बंद और दायाँ सिरा खुला है। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x<5\). Hence the left endpoint is closed and the right endpoint is open.
पहला भाग (-2) को शामिल करता है और दूसरा भाग (4) को बाहर रखता है। अलग भागों के लिए \(\cup\) का प्रयोग करें। / The first part includes (-2) and the second part excludes (4). Use \(\cup\) for separate parts.
B. (5) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (5) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x-2\ge 3\) और \(x\ge 5\) मिलता है। सीमा शामिल होने से भरा वृत्त बनेगा। / Solving gives \(x-2\ge 3\) and \(x\ge 5\). Since the boundary is included, use a closed circle.
हल करने पर (2x+1<15) और (x<7) मिलता है। कठोर असमता में (7) शामिल नहीं होगा। / Solving gives (2x+1<15) and (x<7). A strict inequality does not include (7).
बाहर की छायांकन दो अलग क्षेत्रों को दिखाती है और खुले वृत्त सीमाओं को बाहर रखते हैं। इसलिए (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) सही है। / Outward shading shows two separate regions and open circles exclude the endpoints. Hence (\(-\infty,-5\)\cup\(1,\infty\)) is correct.
B. \(x\le -7\) या \(x\ge 3\)/\(x\le -7\) or \(x\ge 3\)
Explanation
Simple Explanation
भरे वृत्त दोनों सीमाओं को शामिल करते हैं और बाहर की छायांकन दो बाहरी क्षेत्रों को दिखाती है। इसलिए बराबरी सहित या का प्रयोग होगा। / Closed circles include both endpoints and outward shading shows two outside regions. So inclusive inequalities with or are used.
पहले (3) से गुणा करें और फिर (1) जोड़ें तो \(-5\le x<13\) मिलता है। इसलिए अंतराल ([-5,13)) है। / First multiply by (3) and then add (1) to get \(-5\le x<13\). Therefore the interval is ([-5,13)).
दोनों अंतरालों में सामान्य भाग (0) से (8) तक है और दोनों मान शामिल हैं। इसलिए ([0,8]) सही है। / The common part of both intervals is from (0) to (8), and both values are included. Hence ([0,8]) is correct.
पहला अंतराल (2) से पहले खत्म होता है और दूसरा (2) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / The first interval ends before (2), and the second starts after (2). Therefore there is no common point.
हल करने पर (-2x>-6) और फिर (x<3) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न उलटता है। / Solving gives (-2x>-6) and then (x<3). The sign reverses when dividing by a negative.
हल करने पर \(-4x\ge -16\) और \(x\le 4\) मिलता है। बराबरी शामिल होने से (4) पर बंद सिरा होगा। / Solving gives \(-4x\ge -16\) and \(x\le 4\). Since equality is included, (4) is a closed endpoint.
(1) जोड़कर \(3<3x\le 12\) और फिर \(1<x\le 4\) मिलता है। इसलिए ((1,4]) सही है। / Adding (1) gives \(3<3x\le 12\), then \(1<x\le 4\). Hence ((1,4]) is correct.
दोनों का समान भाग (-3) से (0) तक है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल हैं। / The common part is from (-3) to (0). Both endpoints are included in this intersection.
दोनों अंतराल (5) पर जुड़े हुए हैं और (1) तथा (9) शामिल नहीं हैं। इसलिए मिलकर ((1,9)) बनता है। / The intervals meet at (5), while (1) and (9) are excluded. Together they form ((1,9)).
(4) से गुणा करने पर \(-4\le x+2\le 12\) और फिर \(-6\le x\le 10\) मिलता है। दोनों सीमाएँ शामिल हैं। / Multiplying by (4) gives \(-4\le x+2\le 12\), then \(-6\le x\le 10\). Both endpoints are included.
A. (-2) से (6) तक छायांकन और (3) पर खाली वृत्त/Shading from (-2) to (6) with an open circle at (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\setminus{3}\) का अर्थ है (3) को हटाना। इसलिए बंद अंतराल में (3) पर खाली वृत्त दिखेगा। / The notation \(\setminus{3}\) means remove (3). So an open circle appears at (3) inside the closed interval.
यह दोनों ओर की सभी संख्याएँ लेता है लेकिन (2) को छोड़ देता है। संख्या रेखा पर (2) पर खाली वृत्त होगा। / It takes all numbers on both sides but leaves out (2). On the number line, (2) has an open circle.
\(|x|\le 5\) का अर्थ है \(-5\le x\le 5\)। बराबरी होने से दोनों सिरे बंद होंगे। / \(|x|\le 5\) means \(-5\le x\le 5\). Since equality is present, both endpoints are closed.
(|x|>4) में (x<-4) या (x>4) होता है। दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं इसलिए खुले वृत्त होंगे। / (|x|>4) means (x<-4) or (x>4). Both boundaries are excluded, so open circles are used.
\(|x|\ge 2\) में \(x\le -2\) या \(x\ge 2\) होता है। बराबरी शामिल है इसलिए दोनों बाहरी सिरे बंद होंगे। / \(|x|\ge 2\) means \(x\le -2\) or \(x\ge 2\). Equality is included, so the outer endpoints are closed.
पहले अंतराल में (-2) शामिल है और दूसरा उसके तुरंत बाद शुरू होता है। मिलकर ([-8,5)) बनता है। / The first interval includes (-2), and the second starts just after it. Together they form ([-8,5)).
समान भाग (0) से बड़ा और (3) तक है। (0) शामिल नहीं है लेकिन (3) शामिल है। / The common part is greater than (0) and up to (3). (0) is excluded but (3) is included.
हल करने पर \(2x-2\le x+4\) और \(x\le 6\) मिलता है। \(\le\) होने से (6) शामिल है। / Solving gives \(2x-2\le x+4\) and \(x\le 6\). Since \(\le\) is present, (6) is included.
हल करने पर (3x+6>2x-1) और (x>-7) मिलता है। कठोर असमता होने से (-7) खुला रहेगा। / Solving gives (3x+6>2x-1) and (x>-7). Since the inequality is strict, (-7) remains open.
सरल करने पर \(3-2x\ge 1\), फिर \(-2x\ge -2\) और \(x\le 1\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर चिह्न बदलता है। / Simplifying gives \(3-2x\ge 1\), then \(-2x\ge -2\), and \(x\le 1\). The sign reverses when dividing by a negative.
C. (2) और (9) दोनों शामिल नहीं हैं/Both (2) and (9) are not included
Explanation
Simple Explanation
खाली वृत्त सीमा को समाधान से बाहर रखता है। इसलिए दोनों अंतिम बिंदु शामिल नहीं होंगे। / Open circles keep boundary points out of the solution. Therefore both endpoints are not included.
(0) हटाने का अर्थ है (0) पर खाली वृत्त लगाना। बाकी (-3) और (7) शामिल रहेंगे। / Removing (0) means placing an open circle at (0). The endpoints (-3) and (7) remain included.
दूसरा अंतराल (-4) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई खाली जगह नहीं बचती। संयुक्त अंतराल ([-10,2]) है। / The second interval includes (-4), so no gap remains in the middle. The combined interval is ([-10,2]).
समान भाग (1) से शुरू होकर (6) से पहले तक है। (1) शामिल है और (6) शामिल नहीं है। / The common part starts at (1) and goes up to but not including (6). (1) is included and (6) is excluded.
([2,5]) में (2) और (5) शामिल हैं इसलिए बाहर का भाग उन्हें शामिल नहीं करेगा। इसलिए दोनों सीमाएँ खुली रहेंगी। / Since ([2,5]) includes (2) and (5), the outside part will not include them. Thus both boundaries are open.
((-1,4)) में (-1) और (4) शामिल नहीं हैं इसलिए पूरक में दोनों शामिल होंगे। अतः बाहरी भाग बंद सिरों के साथ होगा। / ((-1,4)) does not include (-1) and (4), so the complement includes both. Hence the outside regions have closed endpoints.
B. (1) पर भरा वृत्त और दाईं ओर/Closed circle at (1) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(5-2x\le 3\), फिर \(-2x\le -2\) और \(x\ge 1\) मिलता है। सीमा शामिल है इसलिए (1) बंद होगा। / Solving gives \(5-2x\le 3\), then \(-2x\le -2\), and \(x\ge 1\). The boundary is included, so (1) is closed.
पहले अंतराल में (0) शामिल है और दूसरा (0) के बाद शुरू होता है। इसलिए कोई खाली जगह नहीं रहती और ([-5,4]) बनता है। / The first interval includes (0), and the second starts after (0). So no gap remains and the result is ([-5,4]).
दोनों अंतरालों का केवल सामान्य बिंदु (1) है। इसलिए संख्या रेखा पर (1) पर भरा बिंदु होगा। / The only common point of the two intervals is (1). So the number line has a closed point at (1).
खुला सिरा (a) को बाहर रखता है और बंद सिरा (b) को शामिल करता है। इसलिए अंतराल ((a,b]) होगा। / The open endpoint excludes (a), and the closed endpoint includes (b). Therefore the interval is ((a,b]).
A. (2) पर खाली वृत्त और दाईं ओर छायांकन/Open circle at (2) and shading right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर (x>2) मिलता है। कठोर असमता में सीमा शामिल नहीं होती इसलिए खाली वृत्त बनता है। / Solving gives (x>2). A strict inequality excludes the boundary so an open circle is used.
हल करने पर \(-5x\le 15\) और फिर \(x\ge -3\) मिलता है। ऋणात्मक से भाग देने पर असमता का चिह्न बदलता है। / Solving gives \(-5x\le 15\) and then \(x\ge -3\). The inequality sign reverses when dividing by a negative.
दोनों अंतरालों का समान भाग (-2) से बड़ा और (4) से छोटा है। दोनों सीमाएँ इस समान भाग में शामिल नहीं हैं। / The common part is greater than (-2) and less than (4). Both endpoints are excluded in this intersection.
दूसरा अंतराल (-1) को शामिल करता है इसलिए बीच में कोई अंतर नहीं बचता। संयुक्त भाग (5) से पहले तक की सभी संख्याएँ देता है। / The second interval includes (-1), so no gap remains. The union gives all numbers before (5).
मूल अंतराल में (-4) शामिल है लेकिन (2) शामिल नहीं है। पूरक में (-4) बाहर और (2) शामिल होगा। / The original interval includes (-4) but excludes (2). In the complement, (-4) is excluded and (2) is included.
हल करने पर \(5\le 2x-3<15\) और फिर \(4\le x<9\) मिलता है। इसलिए (4) शामिल है लेकिन (9) शामिल नहीं है। / Solving gives \(5\le 2x-3<15\) and then \(4\le x<9\). Therefore (4) is included but (9) is excluded.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0,1,2) हैं। (3) खुला सिरा है इसलिए उसे नहीं गिनते। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0,1,2). The endpoint (3) is open, so it is not counted.
