Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (4) पर खाली गोला और दाईं ओर रेखा/Open circle at (4) and line to the right
Explanation
Simple Explanation
(>) में सीमा संख्या शामिल नहीं होती इसलिए खाली गोला लगेगा। परीक्षा में दिशा चिन्ह से तय करें। / In (>), the boundary number is not included, so use an open circle. In exams, decide direction from the inequality sign.
C. (-2) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (-2) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
चिह्न \(\ge\) में बराबरी शामिल होती है इसलिए बंद बिंदु लगेगा। परीक्षा में दिशा हमेशा बड़े मानों की ओर देखें। / The sign \(\ge\) includes equality so the dot is closed. In exams always check the direction toward greater values.
B. (-3) पर भरा गोला और बाईं ओर रेखा/Closed circle at (-3) and line to the left
Explanation
Simple Explanation
\(\le\) में सीमा संख्या शामिल होती है और छोटी संख्याएँ बाईं ओर होती हैं। परीक्षा में भरे गोले का अर्थ शामिल समझें। / In \(\le\), the boundary number is included and smaller numbers lie to the left. In exams, a closed circle means included.
B. (-4) पर खुला बिंदु और (1) पर बंद बिंदु/Open dot at (-4) and closed dot at (1)
Explanation
Simple Explanation
गोल कोष्ठक वाला सिरा शामिल नहीं होता और वर्ग कोष्ठक वाला सिरा शामिल होता है। परीक्षा में (() को खुला और ([) को बंद याद रखें। / A round bracket endpoint is not included and a square bracket endpoint is included. In exams remember (() means open and ([) means closed.
A. (2) पर खाली गोला (7) पर भरा गोला और बीच का भाग/Open circle at (2) closed circle at (7) and shaded between
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ सीमा शामिल नहीं और (]) का अर्थ सीमा शामिल है। परीक्षा में कोष्ठक देखकर गोला चुनें। / The bracket (() means not included and (]) means included. In exams, choose the circle type from the bracket.
खुला बिंदु बताता है कि (3.5) शामिल नहीं है और बाईं दिशा छोटे मान दिखाती है। परीक्षा में खुले बिंदु के लिए सख्त असमानता लिखें। / The open dot shows that (3.5) is not included and the left direction shows smaller values. In exams write a strict inequality for an open dot.
A. (5) पर बंद बिंदु और दाईं ओर रेखा/Closed dot at (5) and ray to the right
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(x\ge 5\) मिलता है इसलिए (5) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाएगी। परीक्षा में पहले असमानता सरल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(x\ge 5\) so (5) is included and the ray goes right. In exams simplify the inequality first then draw the number line.
B. (-4) पर भरा गोला और (2) पर खाली गोला/Closed circle at (-4) and open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
(-4) शामिल है पर (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में \(\le\) को भरा और (<) को खाली गोला मानें। / The number (-4) is included but (2) is not included. In exams, treat \(\le\) as closed and (<) as open.
खुले सिरों का अर्थ है कि (0) और (6) दोनों शामिल नहीं हैं। परीक्षा में दोनों खुले बिंदुओं के लिए ((0,6)) लिखें। / Open endpoints mean both (0) and (6) are not included. In exams write ((0,6)) for two open dots.
भरा गोला (6) को शामिल करता है और दाईं ओर बड़ी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में \(\infty\) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक रखें। / A closed circle includes (6), and numbers to the right are greater. In exams, always use an open bracket with \(\infty\).
खाली गोला सीमा को हटाता है और बाईं ओर छोटी संख्याएँ होती हैं। परीक्षा में बाईं दिशा को (<) से जोड़ें। / An open circle excludes the boundary and the left side has smaller numbers. In exams, connect left shading with (<).
(3) शामिल है और उससे छोटी सभी संख्याएँ ली गई हैं। परीक्षा में (]) को \(\le\) से मिलाएँ। / The number (3) is included and all smaller numbers are taken. In exams, match (]) with \(\le\).
([0,4)) में (0) शामिल है लेकिन (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में अंतिम कोष्ठक खुले होने पर अंतिम संख्या हटाएँ। / In ([0,4)), (0) is included but (4) is not included. In exams, exclude the endpoint with an open bracket.
पूर्णांक (-4,-3,-2,-1,0) हैं इसलिए कुल (5) हैं। परीक्षा में खुले सिरों को गिनती से बाहर रखें। / The integers are (-4,-3,-2,-1,0), so there are (5). In exams, keep open endpoints out of counting.
A. \(x\ge 3\) इसलिए (3) पर भरा गोला और दाईं ओर/\(x\ge 3\), so closed circle at (3) and right side
Explanation
Simple Explanation
हल करने पर \(3x\ge 9\) और \(x\ge 3\) मिलता है। परीक्षा में पहले हल करें फिर संख्या रेखा बनाएं। / Solving gives \(3x\ge 9\) and \(x\ge 3\). In exams, solve first and then draw the number line.
A. (x<4) इसलिए (4) पर खाली गोला और बाईं ओर/(x<4), so open circle at (4) and left side
Explanation
Simple Explanation
हल (2x<8) से (x<4) है। परीक्षा में कठोर असमानता के लिए खाली गोला लगाएँ। / The solution is (2x<8), so (x<4). In exams, use an open circle for a strict inequality.
सभी भागों को (2) से भाग देने पर \(-3\le x\le 5\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में हर भाग पर वही क्रिया करें। / Dividing all parts by (2) gives \(-3\le x\le 5\). In exams, apply the same operation to every part of a compound inequality.
सभी भागों को (2) से गुणा करने पर \(2<x\le 8\) मिलता है। परीक्षा में अंतिम सीमा शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / Multiplying all parts by (2) gives \(2<x\le 8\). In exams, check carefully whether each endpoint is included.
पूर्णांक (-2,-1,0,1,2,3) हैं इसलिए कुल (6) हैं। परीक्षा में बंद अंतराल में दोनों सिरों को गिनें। / The integers are (-2,-1,0,1,2,3), so the total is (6). In exams, count both endpoints in a closed interval.
दोनों गोले खाली हैं इसलिए दोनों सीमाएँ शामिल नहीं हैं। परीक्षा में खाली गोला खुले कोष्ठक से लिखें। / Both circles are open, so both endpoints are excluded. In exams, write an open circle using an open bracket.
भरा गोला (7) को शामिल करता है और बाईं ओर (7) से छोटी संख्याएँ हैं। परीक्षा में भरा गोला देखकर बराबरी का चिन्ह जोड़ें। / A closed circle includes (7), and the left side contains numbers less than (7). In exams, add equality when you see a closed circle.
C. इसमें (-2) शामिल नहीं है पर (4) शामिल है/It does not include (-2) but includes (4)
Explanation
Simple Explanation
(() का अर्थ (-2) बाहर और (]) का अर्थ (4) अंदर है। परीक्षा में बाएँ और दाएँ कोष्ठक अलग-अलग जाँचें। / The bracket (() means (-2) is out and (]) means (4) is in. In exams, check left and right brackets separately.
पहला भाग (-1) से छोटा है और दूसरा भाग (3) सहित उससे बड़ा है। परीक्षा में \(\cup\) को या के रूप में पढ़ें। / The first part is less than (-1), and the second part is (3) and greater. In exams, read \(\cup\) as or.
दोनों का सामान्य भाग (4) से बड़ा और (6) तक है। परीक्षा में साथ वाली शर्त का मतलब प्रतिच्छेद होता है। / The common part is greater than (4) and up to (6). In exams, conditions taken together mean intersection.
(-5) शामिल है और (2) शामिल नहीं है। परीक्षा में दोनों शर्तों को मिलाकर बीच का साझा भाग लें। / (-5) is included and (2) is not included. In exams, combine both conditions and take the common middle part.
\([3,\infty\)) दाईं ओर अनंत तक जाता है इसलिए अंतिम दायाँ बिंदु नहीं है। परीक्षा में \(\infty\) को वास्तविक बिंदु न मानें। / \([3,\infty\)) extends endlessly to the right, so it has no final right endpoint. In exams, do not treat \(\infty\) as an actual point.
D. सभी (0) से छोटी वास्तविक संख्याएँ/All real numbers less than (0)
Explanation
Simple Explanation
(\(-\infty,0\)) में (0) शामिल नहीं है और उससे छोटी सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। परीक्षा में खुले कोष्ठक का ध्यान रखें। / (\(-\infty,0\)) excludes (0) and contains all real numbers less than it. In exams, pay attention to the open bracket.
केवल अलग-अलग पूर्णांक बिंदु भरे हैं इसलिए \(x\in\mathbb{Z}\) होगा। परीक्षा में रेखा और अलग बिंदुओं में अंतर पहचानें। / Only separate integer points are filled, so \(x\in\mathbb{Z}\). In exams, distinguish a shaded line segment from separate points.
असमानता में (5) वह संख्या है जहाँ से दिशा तय होती है। परीक्षा में सीमा बिंदु पहले पहचानें। / In the inequality, (5) is the number from which the direction is decided. In exams, identify the boundary point first.
हल करने पर \(-2x\le -4\) और ऋणात्मक से भाग देने पर \(x\ge 2\) मिलता है। परीक्षा में चिन्ह पलटना जरूरी है। / Solving gives \(-2x\le -4\), and dividing by a negative gives \(x\ge 2\). In exams, reversing the sign is essential.
सभी भागों में (1) घटाने पर \(3<x\le 7\) मिलता है। परीक्षा में संयुक्त असमानता में दोनों सीमाएँ साथ बदलें। / Subtracting (1) from all parts gives \(3<x\le 7\). In exams, change both boundaries together in a compound inequality.
(-2) शामिल नहीं है इसलिए उससे ठीक छोटा पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले अंतिम बिंदु को उत्तर न चुनें। / (-2) is not included, so the integer just before it is (-3). In exams, do not choose an open endpoint.
(-4) शामिल नहीं है इसलिए अगला पूर्णांक (-3) है। परीक्षा में खुले बाएँ बिंदु के बाद वाला पूर्णांक लें। / (-4) is not included, so the next integer is (-3). In exams, take the integer after an open left endpoint.
B. केवल (2) पर भरा बिंदु/Only a closed point at (2)
Explanation
Simple Explanation
([2,2]) में केवल (2) शामिल होता है। परीक्षा में समान सीमाओं वाले बंद अंतराल को एक बिंदु मानें। / ([2,2]) contains only (2). In exams, treat a closed interval with equal endpoints as a single point.
कोई संख्या (3) से बड़ी और (3) से छोटी साथ-साथ नहीं हो सकती। परीक्षा में समान सीमाओं वाले खुले अंतराल को रिक्त मानें। / No number can be greater than (3) and less than (3) at the same time. In exams, an open interval with equal endpoints is empty.
A. पूरी संख्या रेखा पर रेखा और (2) पर खाली गोला/Whole number line shaded with an open circle at (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x\neq 2\) में (2) को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ आती हैं। परीक्षा में हटाए गए बिंदु को खाली गोले से दिखाएँ। / In \(x\neq 2\), all real numbers except (2) are included. In exams, show the excluded point with an open circle.
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2\) ऋणात्मक नहीं होता। परीक्षा में सार्वत्रिक सत्य असमानता को पूरी रेखा से दिखाएँ। / For any real (x), \(x^2\) is never negative. In exams, represent an always true inequality by the whole line.
वास्तविक संख्या का वर्ग कभी (0) से छोटा नहीं होता। परीक्षा में असंभव शर्त को रिक्त समुच्चय लिखें। / The square of a real number is never less than (0). In exams, write an impossible condition as the empty set.
\(|x|\ge 4\) का अर्थ (0) से दूरी कम से कम (4) है। परीक्षा में दूरी अधिक हो तो बाहरी भाग लें। / \(|x|\ge 4\) means the distance from (0) is at least (4). In exams, when distance is greater, take the outside parts.
(-2) शामिल नहीं है लेकिन (2) शामिल है। परीक्षा में पूर्णांक शर्त होने पर अलग-अलग बिंदु दिखाएँ। / (-2) is not included but (2) is included. In exams, show separate points when the condition is over integers.
B. पूरी संख्या रेखा पर (1) को छोड़कर/Entire number line except (1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों भाग (1) से छोटे और बड़े सभी मान लेते हैं पर (1) नहीं लेते। परीक्षा में संघ में दोनों भाग जोड़ें। / The two parts take all values less than and greater than (1), but not (1). In exams, combine both parts for union.
दोनों शर्तों को एक साथ केवल (0) पूरा करता है। परीक्षा में प्रतिच्छेद का अर्थ साझा भाग होता है। / Only (0) satisfies both conditions together. In exams, intersection means the common part.
(\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है पर उससे बड़े मान शामिल हैं। परीक्षा में खुले बाएँ सिरे को बाहर रखें। / In (\(1,\infty\)), (1) is not included but greater values are included. In exams, exclude the open left endpoint.
दोनों सीमाएँ समान और शामिल हैं इसलिए केवल (-6) बिंदु मिलेगा। परीक्षा में इसे एक भरे बिंदु से दिखाएँ। / Both boundaries are equal and included, so only the point (-6) is obtained. In exams, show it as one closed point.
साझा भाग (2) से बड़ा और (5) सहित है। परीक्षा में प्रतिच्छेद में केवल ओवरलैप लिखें। / The common part is greater than (2) and includes (5). In exams, write only the overlap for intersection.
पहला भाग (2) तक खुला है और दूसरा (2) से शुरू होकर शामिल है इसलिए बीच में अंतर नहीं रहता। परीक्षा में जुड़े हुए अंतराल को मिलाकर लिखें। / The first part is open up to (2), and the second starts at (2) included, so no gap remains. In exams, merge connected intervals.
दोनों अंतराल (4) को बाहर रखते हैं इसलिए (4) शामिल नहीं है। परीक्षा में संघ में भी खुले छूटे बिंदु पर ध्यान दें। / Both intervals exclude (4), so (4) is not included. In exams, watch for missing open points even in a union.
(-1) शामिल है और रेखा दाईं ओर जाती है इसलिए \(x\ge -1\) होगा। परीक्षा में ([ ) को बराबरी सहित पढ़ें। / (-1) is included and the line goes right, so \(x\ge -1\). In exams, read ([ ) as including equality.
A. (x>7) इसलिए (7) पर खाली गोला और दाईं ओर/(x>7), so open circle at (7) and right side
Explanation
Simple Explanation
दोनों ओर (3) से गुणा कर (x-1>6) और (x>7) मिलता है। परीक्षा में पहले सीमा मान निकालें फिर गोला और दिशा तय करें। / Multiplying both sides by (3) gives (x-1>6), so (x>7). In exams, find the boundary first and then choose circle and direction.
