Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(5) स्वरों को एक ब्लॉक मानकर \(4!\cdot5!=2880\) व्यवस्थाएं मिलती हैं। परीक्षा में साथ रहने की शर्त में ब्लॉक विधि लगाएं। / Treat the (5) vowels as one block to get \(4!\cdot5!=2880\) arrangements. In exams, use the block method for together conditions.
पहले बिना (R) के अक्षरों की \(\frac{5!}{2!}=60\) व्यवस्थाएं बनती हैं और (6) gaps में दो (R) \(\binom{6}{2}\) तरीकों से रखे जाते हैं। कुल \(60\cdot15=900\) है। / First arrange the non-(R) letters in \(\frac{5!}{2!}=60\) ways and place two (R)'s in \(\binom{6}{2}\) gaps. The total is \(60\cdot15=900\).
अंतिम अंक (0) या (5) होगा और दोनों cases अलग-अलग गिनने होंगे। कुल \(^{7}P_4+6\cdot{}^{6}P_3=840+420=1260\) है। / The last digit is (0) or (5), and both cases must be counted separately. The total is \(^{7}P_4+6\cdot{}^{6}P_3=840+420=1260\).
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं और साथ बैठने वाली \(6!\cdot2!\) हैं। इसलिए उत्तर (5040-1440=3600) है। / Total circular arrangements are (7!), and together cases are \(6!\cdot2!\). Hence the answer is (5040-1440=3600).
दो (N) को एक ब्लॉक मानें तो इकाइयां (NN,B,A,A,A) हैं। संख्या \(\frac{5!}{3!}=20\) होगी। / Treat the two (N)'s as one block, giving units (NN,B,A,A,A). The number is \(\frac{5!}{3!}=20\).
पहले पुरुषों को गोल में ((5-1)!) तरीकों से बैठाएं और फिर महिलाओं को (5!) तरीकों से gaps में रखें। कुल \(4!\cdot5!=2880\) है। / First seat the men around the circle in ((5-1)!) ways and then place the women in gaps in (5!) ways. The total is \(4!\cdot5!=2880\).
इकाई स्थान (0) हो तो \(6\cdot5\cdot4\) और इकाई स्थान (2,4,6) हो तो \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) तरीके हैं। कुल (120+300=420) है। / If the unit digit is (0), there are \(6\cdot5\cdot4\) ways, and if it is (2,4,6), there are \(3\cdot5\cdot5\cdot4\) ways. The total is (120+300=420).
कुल (7!) से साथ वाली \(6!\cdot2!\) और दोनों सिरों वाली \(2!\cdot5!\) व्यवस्थाएं घटाएं। overlap साथ नहीं हो सकता, इसलिए (5040-1440-240=3360) मिलता है। / Subtract together cases \(6!\cdot2!\) and both-end cases \(2!\cdot5!\) from (7!). There is no overlap because both-end positions are not together, so the result is (5040-1440-240=3360).
(9) अक्षरों में (M,T,E) दो-दो बार हैं, इसलिए \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\)। परीक्षा में हर repeated letter का factorial हर में रखें। / There are (9) letters with (M,T,E) each repeated twice, so \(\frac{9!}{2!2!2!}=45360\). In exams, put each repeated letter factorial in the denominator.
विशेष झंडे का स्थान (5) तरीकों से चुनें और बाकी (4) स्थान (8) झंडों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरें। कुल \(5\cdot{}^{8}P_4=8400\) है। / Choose the position of the particular flag in (5) ways and fill the other (4) positions from (8) flags in \(^{8}P_4\) ways. The total is \(5\cdot{}^{8}P_4=8400\).
(6) अलग-अलग गणित और (4) अलग-अलग विज्ञान की पुस्तकों को पंक्ति में ऐसे कितने तरीकों से रखें कि विज्ञान की सभी पुस्तकें साथ हों लेकिन गणित की पुस्तकें जरूरी नहीं?
विज्ञान की (4) पुस्तकों को एक ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां हैं। कुल \(7!\cdot4!=120960\) है। / Treat the (4) science books as one block, giving (7) units. The total is \(7!\cdot4!=120960\).
पहला अंक (5,6,7,8) होना चाहिए और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। cases गिनने पर कुल (900) संख्याएं मिलती हैं। / The first digit must be (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Counting the cases gives (900) numbers.
पहले (5) लोगों को \(\binom{8}{5}\) तरीकों से चुनें और फिर गोल में ((5-1)!) तरीकों से बैठाएं। कुल \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\) है। / First choose (5) people in \(\binom{8}{5}\) ways and then seat them around a circle in ((5-1)!) ways. The total is \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\).
(10) अक्षरों में (S) तीन, (T) तीन और (I) दो बार है। इसलिए \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\) है। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice. Hence \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\).
यह (6) वस्तुओं का derangement है जिसकी संख्या (!6=265) होती है। परीक्षा में कोई भी सही स्थान पर न हो तो derangement सोचें। / This is a derangement of (6) objects, whose number is (!6=265). In exams, when none is in the correct place, think derangement.
कुल वैध (5)-अंकीय संख्याएं \(8\cdot{}^{8}P_4\) हैं और बिना (0) वाली \(^{8}P_5\) हैं। अंतर (13440-6720=6720) है। / Total valid (5)-digit numbers are \(8\cdot{}^{8}P_4\), and those without (0) are \(^{8}P_5\). The difference is (13440-6720=6720).
दो छात्रों को ब्लॉक मानकर पहले साथ वाली \(6!\cdot2!\) व्यवस्थाएं लें और तीसरे के end cases घटाएं। उत्तर (1200) है। / Treat the two students as a block, count \(6!\cdot2!\) together arrangements and subtract cases where the third is at an end. The answer is (1200).
दो मोतियों को एक ब्लॉक मानें, तो (7) इकाइयों की necklace संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) है और ब्लॉक के अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (720) है। / Treat the two beads as one block, so the necklace count for (7) units is (\frac{(7-1)!}{2}), with (2!) internal ways. The total is (720).
हजार स्थान पर (4,5,6,7) में से (4) विकल्प हैं और बाकी \(8\cdot7\cdot6\) तरीके हैं। कुल (1344) है। / The thousands place has (4) choices from (4,5,6,7), and the remaining places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1344).
(11) अक्षरों में (E) तीन, (N) तीन, (G) दो और (I) दो बार हैं। संख्या \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\) है। / There are (11) letters with (E) three times, (N) three times, (G) twice and (I) twice. The number is \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\).
विशेष वस्तु हटाने पर (9) वस्तुएं बचती हैं। इसलिए \(^{9}P_4=3024\) तरीके होंगे। / After excluding the particular object, (9) objects remain. Hence the number of ways is \(^{9}P_4=3024\).
पहले पुरुषों को (6!) तरीकों से बैठाएं और (7) gaps में (4) महिलाएं \(^{7}P_4\) तरीकों से रखें। कुल \(6!\cdot{}^{7}P_4=604800\) है। / Arrange the men first in (6!) ways and place (4) women in (7) gaps in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(6!\cdot{}^{7}P_4=604800\).
पहला अंक (3,4,5,6,7) हो सकता है और बाकी (4) स्थान \(^{7}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(5\cdot840=4200\) है। / The first digit can be (3,4,5,6,7), and the remaining (4) places are filled in \(^{7}P_4\) ways. The total is \(5\cdot840=4200\).
विशेष रंग के लिए (2) स्थान हैं और बाकी (3) स्थान (6) रंगों से \(^{6}P_3\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(2\cdot120=240\) है। / The particular colour has (2) possible positions, and the remaining (3) positions are filled from (6) colours in \(^{6}P_3\) ways. The total is \(2\cdot120=240\).
(11) अक्षरों में (B) दो और (I) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (11) letters with (B) twice and (I) twice. Hence \(\frac{11!}{2!2!}=9979200\) arrangements are possible.
गलत होने वाले (2) पत्र \(\binom{8}{2}\) तरीकों से चुनें और वे आपस में बदलेंगे। इसलिए \(\binom{8}{2}\cdot!2=28\) है। / Choose the (2) incorrect letters in \(\binom{8}{2}\) ways and they must swap. Hence \(\binom{8}{2}\cdot!2=28\).
बाकी (2) अंक (6) अंकों में से \(\binom{6}{2}\) तरीकों से चुनें और (4) अंकों को (4!) तरीकों से सजाएं। कुल \(15\cdot24=360\) है। / Choose the other (2) digits from (6) digits in \(\binom{6}{2}\) ways and arrange the (4) digits in (4!) ways. The total is \(15\cdot24=360\).
विशेष छात्र के लिए (3) अंदरूनी स्थान हैं और बाकी (4) स्थान (8) छात्रों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरेंगे। कुल \(3\cdot1680=5040\) है। / The particular student has (3) inner positions, and the remaining (4) places are filled from (8) students in \(^{8}P_4\) ways. The total is \(3\cdot1680=5040\).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (5!) ब्लॉक व्यवस्थाएं और प्रत्येक ब्लॉक में (2!) तरीके हैं। कुल (5!\cdot(2!)5=3840) है। / Treat each couple as one block, giving (5!) block arrangements and (2!) ways inside each block. The total is (5!\cdot(2!)5=3840).
(11) अक्षरों में (T) दो बार है और बाकी अलग हैं। इसलिए \(\frac{11!}{2!}=19958400\) है। / There are (11) letters with (T) repeated twice and all others distinct. Hence \(\frac{11!}{2!}=19958400\).
दो विशेष वस्तुओं के स्थानों में (4) का अंतर होना चाहिए, ऐसे (4) position-pairs हैं और order (2!) है। बाकी (6!) तरीकों से सजेंगे, कुल \(4\cdot2!\cdot6!=5760\) है। / The two particular objects must have positions differing by (4), giving (4) position-pairs and (2!) orders. The remaining objects arrange in (6!) ways, so the total is \(4\cdot2!\cdot6!=5760\).
अंतिम स्थान पर (1,3,5,7) के (4) विकल्प हैं और पहला स्थान (0) नहीं हो सकता। कुल \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\) है। / There are (4) choices (1,3,5,7) for the last place, and the first place cannot be (0). The total is \(4\cdot7\cdot{}^{7}P_3=5880\).
तीन विशेष लोगों को एक ब्लॉक मानें, तो (5) इकाइयों की गोल व्यवस्था ((5-1)!) है और अंदर (3!) तरीके हैं। कुल \(24\cdot6=144\) है। / Treat the three particular people as one block, giving (5) units around a circle with ((5-1)!) arrangements and (3!) internal ways. The total is \(24\cdot6=144\).
(8) अक्षरों में (S) चार और (A) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{8!}{4!2!}=840\) व्यवस्थाएं होंगी। / There are (8) letters with (S) four times and (A) twice. Hence \(\frac{8!}{4!2!}=840\) arrangements are possible.
कुल \(^{10}P_4\) में से विशेष छात्र के सचिव बनने वाली \(^{9}P_3\) व्यवस्थाएं घटाएं। उत्तर (5040-504=4536) है। / Subtract the cases where the particular student is secretary, \(^{9}P_3\), from total \(^{10}P_4\). The answer is (5040-504=4536).
पहला अंक (3) निश्चित है और अंतिम स्थान के लिए (4) सम विकल्प हैं। बीच के (3) स्थान \(7\cdot6\cdot5\) तरीकों से भरेंगे, कुल (840) है। / The first digit is fixed as (3), and the last place has (4) even choices. The middle (3) places are filled in \(7\cdot6\cdot5\) ways, giving (840).
दो विशेष पुस्तकों में से एक \(\binom{2}{1}\) तरीकों से और बाकी (4) पुस्तकें (6) में से चुनें। फिर (5!) से सजाएं, कुल \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\) है। / Choose exactly one of the two particular books in \(\binom{2}{1}\) ways and the other (4) books from (6). Then arrange (5!) ways, giving \(2\cdot\binom{6}{4}\cdot5!=3600\).
(12) अक्षरों में (E) चार, (N) तीन और (D) दो बार हैं। इसलिए \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\) है। / There are (12) letters with (E) four times, (N) three times and (D) twice. Hence \(\frac{12!}{4!3!2!}=1663200\).
दो कुर्सियां खाली निश्चित हैं, इसलिए (6) व्यक्तियों को बाकी (6) कुर्सियों पर (6!) तरीकों से बैठाएं। उत्तर (720) है। / The two empty chairs are fixed, so seat (6) persons on the remaining (6) chairs in (6!) ways. The answer is (720).
तीन वस्तुओं को fixed-order ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां बनती हैं। इसलिए (7!=5040) व्यवस्थाएं होंगी। / Treat the three objects as a fixed-order block, giving (7) units. Hence there are (7!=5040) arrangements.
हजार स्थान पर (1,2,3) के (3) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(8\cdot7\cdot6\) तरीकों से भरेंगे। कुल (1008) है। / The thousands place has (3) choices (1,2,3), and the remaining (3) places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1008).
हर जोड़े को एक ब्लॉक मानें, तो (4) ब्लॉकों की गोल व्यवस्था ((4-1)!) है और अंदर ((2!)4) तरीके हैं। कुल (96) है। / Treat each couple as one block, so (4) blocks have ((4-1)!) circular arrangements and ((2!)4) internal ways. The total is (96).
विशेष छात्र के लिए अंतिम (3) positions हैं और बाकी (3) positions (7) छात्रों से \(^{7}P_3\) तरीकों से भरते हैं। कुल \(3\cdot210=630\) है। / The particular student has (3) non-first positions, and the other (3) positions are filled from (7) students in \(^{7}P_3\) ways. The total is \(3\cdot210=630\).
(1) और (8) को ब्लॉक मानें और बाकी (3) अंक (6) में से चुनें। कुल \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\) है। / Treat (1) and (8) as a block and choose the other (3) digits from (6). The total is \(\binom{6}{3}\cdot4!\cdot2!=960\).
कुल (9!) में से तीनों विशेष पुस्तकों के साथ वाले \(7!\cdot3!\) cases घटाएं। उत्तर (362880-30240=332640) है। / Subtract cases where the three particular books are together, \(7!\cdot3!\), from total (9!). The answer is (362880-30240=332640).
गलत होने वाले (2) पत्र \(\binom{7}{2}\) तरीकों से चुने जाते हैं और वे derange होकर केवल (1) तरीके से बदलते हैं। उत्तर (21) है। / Choose the (2) incorrect letters in \(\binom{7}{2}\) ways, and they derange in only (1) way. The answer is (21).
चार (S) को एक ब्लॉक मानें, तो (8) इकाइयों में (I) चार और (P) दो बार हैं। संख्या \(\frac{8!}{4!2!}=840\) है। / Treat the four (S)'s as one block, giving (8) units with (I) four times and (P) twice. The number is \(\frac{8!}{4!2!}=840\).
कुल गोल व्यवस्थाएं (7!) हैं। विशेष वस्तु के दोनों पड़ोसी वे दो दी गई वस्तुएं हों तो उन्हें विशेष वस्तु के पास (2!) तरीकों से रखकर बाकी (5!) तरीके मिलते हैं। उत्तर (5040-240=4800) है। / Total circular arrangements are (7!). If the particular object has the two given objects as neighbours, they can be placed around it in (2!) ways and the rest in (5!) ways. The answer is (5040-240=4800).
पहले अंक के लिए (5) विषम विकल्प और अंतिम अंक के लिए (5) सम विकल्प हैं। बीच के (4) स्थान (8) अंकों से \(^{8}P_4\) तरीकों से भरेंगे, कुल \(5\cdot5\cdot1680=42000\) है। / There are (5) odd choices for the first digit and (5) even choices for the last digit. The middle (4) places are filled from (8) digits in \(^{8}P_4\) ways, giving \(5\cdot5\cdot1680=42000\).
(8) अलग-अलग व्यक्तियों की पंक्ति व्यवस्था में पहला विशेष व्यक्ति दूसरे विशेष व्यक्ति से पहले और तीसरा विशेष व्यक्ति चौथे विशेष व्यक्ति से पहले हो, तो कितनी व्यवस्थाएं होंगी?
कुल (8!) व्यवस्थाओं में दोनों स्वतंत्र order conditions आधी-आधी व्यवस्थाएं रखती हैं। इसलिए उत्तर \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\) है। / Out of total (8!) arrangements, each independent order condition keeps half the arrangements. Hence the answer is \(\frac{8!}{2\cdot2}=10080\).
