Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(16!) को \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) लिखने पर मान (3360) मिलता है। परीक्षा में बड़े फैक्टोरियल को छोटे फैक्टोरियल तक फैलाएं। / Writing (16!) as \(16\cdot15\cdot14\cdot13!\) gives (3360). In exams, expand the larger factorial up to the smaller factorial.
\( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \) है। हर में आए छोटे फैक्टोरियल को सही मान से बदलें। / \( \frac{13\cdot12\cdot11}{3!}=\frac{1716}{6}=286 \). Replace the small factorial in the denominator correctly.
(12!-11!=11!(12-1)) और \( \frac{11!}{10!}=11 \), इसलिए मान (121) है। घटाव में सामान्य फैक्टर जरूर निकालें। / (12!-11!=11!(12-1)) and \( \frac{11!}{10!}=11 \), so the value is (121). Always take a common factor in subtraction.
यह ((n+2)(n+1)=132) देता है और \(12\cdot11=132\), इसलिए (n=10) है। लगातार गुणकों को पहचानें। / It gives ((n+2)(n+1)=132), and \(12\cdot11=132\), so (n=10). Recognize consecutive factors.
यह (n(n-1)(n-2)=504) है और \(9\cdot8\cdot7=504\)। ऐसे प्रश्नों में तीन लगातार घटते गुणक देखें। / It is (n(n-1)(n-2)=504), and \(9\cdot8\cdot7=504\). In such questions, look for three consecutive decreasing factors.
((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। नीचे वाले फैक्टोरियल तक ही विस्तार करें। / ((n+3)!=(n+3)(n+2)(n+1)!), so two factors remain. Expand only up to the denominator factorial.
((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), इसलिए उत्तर (n(n+2)) है। पहले (n!) को सामान्य फैक्टर बनाएं। / ((n+1)!+n!=n!((n+1)+1)=n!(n+2)), so the answer is (n(n+2)). First take (n!) as the common factor.
\( \frac{9!}{7!}=72 \) और \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), इसलिए मान (12) है। गुणन में अलग-अलग अनुपात काटें। / \( \frac{9!}{7!}=72 \) and \( \frac{5!}{6!}=\frac{1}{6} \), so the value is (12). Cancel separate ratios in multiplication.
पहला अनुपात (210) और दूसरा (120) है, इसलिए भाग \( \frac{7}{4} \) है। भाग को अनुपात की तरह हल करें। / The first ratio is (210) and the second is (120), so the quotient is \( \frac{7}{4} \). Solve division as a ratio.
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{2}{13}=70\) नहीं; सही विकल्पों में मान नहीं है। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{2}{13}=70\); the correct value is not among the options.
पहला भाग (455) है और \(455\cdot\frac{3}{13}=105\) है। कठिन गुणन में पहले कटौती करें। / The first part is (455), and \(455\cdot\frac{3}{13}=105\). In hard multiplication, cancel first.
दोनों पद क्रमशः (91) और (78) हैं, इसलिए योग (169) है। जोड़ने से पहले हर पद अलग निकालें। / The two terms are (91) and (78), so the sum is (169). Find each term separately before adding.
पहला पद (153) और दूसरा (136) है, इसलिए अंतर (17) है। निकट फैक्टोरियल पदों का अंतर सावधानी से घटाएं। / The first term is (153) and the second is (136), so the difference is (17). Subtract nearby factorial terms carefully.
दोनों पद (210) और (120) हैं, इसलिए योग (330) है। संयोजन जैसे रूपों में छोटे हर को सही रखें। / The two terms are (210) and (120), so the sum is (330). In combination-like forms, keep the small denominator correct.
यह ((2n+1)(2n)=306) है और \(17\cdot16=272\) नहीं; सही समीकरण के लिए कोई पूर्णांक (n) नहीं मिलेगा। / It is ((2n+1)(2n)=306), and no integer (n) satisfies it. Check whether the matched consecutive factors fit the form.
यह ((2n+1)(2n)=272) है और \(17\cdot16=272\), इसलिए (2n=16) और (n=8)। पहले लगातार गुणकों को पहचानें। / It is ((2n+1)(2n)=272), and \(17\cdot16=272\), so (2n=16) and (n=8). Identify the consecutive factors first.
((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), इसलिए दो गुणक बचते हैं। सूचक वाले पद को एक इकाई की तरह संभालें। / ((3n+1)!=(3n+1)(3n)(3n-1)!), so two factors remain. Handle the indexed term as one unit.
यह ((3n+1)(3n)=156) है और \(13\cdot12=156\), इसलिए (3n=12) और (n=4)। रूप पहचानकर मान रखें। / It is ((3n+1)(3n)=156), and \(13\cdot12=156\), so (3n=12) and (n=4). Identify the form and substitute.
( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) और ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), इसलिए उत्तर मिलता है। अनुपात को दो भागों में तोड़ें। / ( \frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) ) and ( \frac{n!}{(n+2)!}=\frac{1}{(n+2)(n+1)} ), so the answer follows. Break the ratio into two parts.
सरल रूप (3(n+2)(n+1)) है, इसलिए ((n+2)(n+1)=90)। \(10\cdot9=90\), अतः (n=8)। / The simplified form is (3(n+2)(n+1)), so ((n+2)(n+1)=90). Since \(10\cdot9=90\), (n=8).
अंतिम शून्यों की संख्या \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \) है। शून्य गिनने में (5) के गुणकों को गिनें। / The number of ending zeros is \( \left\lfloor\frac{20}{5}\right\rfloor=4 \). To count zeros, count multiples of (5).
घात \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \) है। (25) जैसे उच्च गुणकों को न भूलें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{30}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{30}{25}\right\rfloor=7 \). Do not forget higher multiples such as (25).
घात \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \) है। अभाज्य घात के लिए भागफल जोड़ते हैं। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{15}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{15}{9}\right\rfloor=6 \). For a prime exponent, add the quotients.
\(180=2^2\cdot3^2\cdot5\) है और (6!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंड जांचें। / \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\), and (6!) contains all these factors. For divisibility, check prime factors.
पहला पद (210) और दूसरा (190) है, इसलिए अंतर (20) है। पास-पास वाले पदों में घटाव सावधानी से करें। / The first term is (210) and the second is (190), so the difference is (20). Subtract nearby terms carefully.
दोनों पद (495) और (330) हैं, इसलिए अनुपात \( \frac{3}{2} \) है। बड़े मानों को सरल अनुपात में बदलें। / The two terms are (495) and (330), so the ratio is \( \frac{3}{2} \). Convert large values into a simple ratio.
पहला पद \(8\cdot7\cdot6=336\) और दूसरा \(7\cdot6\cdot5=210\) है। योग (546) है। / The first term is \(8\cdot7\cdot6=336\) and the second is \(7\cdot6\cdot5=210\). The sum is (546).
पहला पद (126) और दूसरा (70) है, इसलिए अंतर (56) है। हर पद को अलग सरल करें। / The first term is (126) and the second is (70), so the difference is (56). Simplify each term separately.
यह ((n+5)(n+4)(n+3)=1320) है और \(13\cdot12\cdot11=1716\) नहीं; \(12\cdot11\cdot10=1320\), इसलिए (n=7)। / It is ((n+5)(n+4)(n+3)=1320). Since \(12\cdot11\cdot10=1320\), (n=7).
सरल रूप (3n(n+1)) है, इसलिए (n(n+1)=110)। \(10\cdot11=110\), इसलिए (n=10)। / The simplified form is (3n(n+1)), so (n(n+1)=110). Since \(10\cdot11=110\), (n=10).
पहला भाग (171) है और \(171\cdot\frac{2}{19}=18\)। गुणन से पहले (19) से कटौती करें। / The first part is (171), and \(171\cdot\frac{2}{19}=18\). Cancel by (19) before multiplying.
\(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\) और \(4!=1\cdot4!\), इसलिए कुल (36) नहीं बल्कि (36) है। / \(6!=30\cdot4!\), \(5!=5\cdot4!\), and \(4!=1\cdot4!\), so the total is (36).
विस्तार ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)) है, इसलिए (n) शामिल नहीं है। हर वाले (n!) तक कटौती हो जाती है। / The expansion is ((n+4)(n+3)(n+2)(n+1)), so (n) is not included. Cancellation stops at the denominator (n!).
(n=4) रखने पर \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \) मिलता है। मान रखने से पहले सामान्य रूप समझें। / Putting (n=4) gives \( \frac{8!}{4!}=8\cdot7\cdot6\cdot5=1680 \). Understand the general form before substituting.
मान \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \) है। भाग में दोनों तरफ तीन-तीन गुणक लिखें। / The value is \( \frac{17\cdot16\cdot15}{8\cdot7\cdot6}=\frac{255}{28} \). In division, write three factors on both sides.
यह \((n+2)(n+1)n(n-1)=3024\) है। \(9\cdot8\cdot7\cdot6=3024\), इसलिए (n=7)। / It is \((n+2)(n+1)n(n-1)=3024\). Since \(9\cdot8\cdot7\cdot6=3024\), (n=7).
\((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), इसलिए तीन गुणक बचते हैं। हर तक विस्तार करना न भूलें। / \((n+6)!=(n+6)(n+5)(n+4)(n+3)!\), so three factors remain. Do not forget to expand up to the denominator.
पहला पद (1001) और दूसरा (286) है, इसलिए अंतर (715) है। ऐसे प्रश्नों में दोनों पद अलग-अलग निकालकर घटाएं। / The first term is (1001) and the second is (286), so the difference is (715). In such questions, calculate both terms separately and subtract.
ऊपर और नीचे के समान गुणक कटने पर \( \frac{n+4}{n} \) बचता है। बड़े अनुपात को पहले गुणनफल में बदलें। / After canceling the common factors in numerator and denominator, \( \frac{n+4}{n} \) remains. First convert large ratios into products.
घात \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \) है। अभाज्य घात निकालते समय सभी भागफल जोड़ें। / The exponent is \( \left\lfloor\frac{14}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{14}{8}\right\rfloor=11 \). Add all quotients while finding a prime exponent.
\(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\) है और (7!) में ये सभी गुणक मिल जाते हैं। विभाज्यता में अभाज्य गुणनखंडों की जरूरत पूरी करें। / \(1008=2^4\cdot3^2\cdot7\), and (7!) contains all these factors. For divisibility, satisfy all prime factor requirements.
((n+3)!) सामान्य लेने पर ऊपर ((n+3)!(n+5)) बनता है। भाग देने पर ((n+3)(n+5)) मिलता है। / Taking ((n+3)!) common gives ((n+3)!(n+5)) in the numerator. Dividing gives ((n+3)(n+5)).
सरल रूप ((n+3)(n+5)) है, इसलिए ((n+3)(n+5)=120)। \(10\cdot12=120\), इसलिए (n=7)। / The simplified form is ((n+3)(n+5)), so ((n+3)(n+5)=120). Since \(10\cdot12=120\), (n=7).
पहला पद (1320) और दूसरा \(2\cdot330=660\) है, इसलिए अंतर (660) है। गुणांक वाले पद में पहले गुणा पूरा करें। / The first term is (1320) and the second is \(2\cdot330=660\), so the difference is (660). Complete the multiplication in the coefficient term first.
