Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
हर x∈A पर
2
x
लगाने से 2,3,4 मिलते हैं। नियम आधारित प्रश्नों में इनपुट और आउटपुट का क्रम न बदलें। / Applying
2
x
to each x∈A gives 2,3,4. In rule based questions do not reverse input and output.
A. क्योंकि (A) के प्रत्येक तत्व की (B) में ठीक एक छवि है/Because every element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
प्रत्येक (A) के तत्व (1) और (2) की (B) में ठीक एक-एक छवि है। परीक्षा में फलन जांचते समय पहले डोमेन के हर तत्व की छवि गिनें। / Each element (1) and (2) of (A) has exactly one image in (B). In exams, first count the image of every domain element to test a function.
हर प्रथम अवयव 2,4,6 ठीक एक बार आया है। दो इनपुट का समान आउटपुट 5 होना फलन में सही है। / Each first component 2,4,6 appears exactly once. Two inputs having the same output 5 is allowed in a function.
पहले विकल्प में 7 के दो अलग प्रतिबिंब 2 और 3 हैं। एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन नहीं बनाते। / In the first option, 7 has two different images 2 and 3. One input with two different outputs does not form a function.
युग्म (−1,1) से −1 का प्रतिबिंब 1 है। ऋणात्मक इनपुट को भी उसी तरह पढ़ें जैसे धनात्मक इनपुट को पढ़ते हैं। / From the pair (−1,1), the image of −1 is 1. Read negative inputs the same way as positive inputs.
प्रांत क्रमित युग्मों के प्रथम अवयवों से बनता है। इसलिए प्रांत {3,5,7} है। / The domain is formed by the first components of ordered pairs. Hence the domain is {3,5,7}.
परिसर सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय है। यहां प्राप्त मान 4,6,8,10 हैं। / The range is the set of all second components. Here the obtained values are 4,6,8,10.
कुल फलनों की संख्या ∣B∣
∣A∣
=2
4
होती है। याद रखें आधार सहप्रांत और घात प्रांत से आता है। / The number of functions is ∣B∣
∣A∣
=2
4
. Remember that the base comes from the codomain and the exponent from the domain.
हर प्रांत तत्व के लिए B में 4 विकल्प हैं। इसलिए कुल फलन ∣B∣
∣A∣
=4
3
होंगे। / Each domain element has 4 choices in B. Therefore total functions are ∣B∣
∣A∣
=4
3
.
सहप्रांत में केवल 9 है, इसलिए हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब 9 होगा। कोई प्रांत तत्व छूटना नहीं चाहिए। / The codomain has only 9, so every domain element maps to 9. No domain element should be left out.
तत्समक फलन में हर तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म (x,x) के रूप में हैं। / In an identity function, every element maps to itself. Therefore all pairs are of the form (x,x).
सभी इनपुट का मान समान 6 है, इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन भी वैध फलन होता है। / All inputs have the same value 6, so it is a constant function. A constant function is also a valid function.
सभी युग्मों का द्वितीय अवयव 0 है। परिसर में दोहराव नहीं लिखा जाता, इसलिए {0} सही है। / The second component of all pairs is 0. Repetition is not written in the range, so {0} is correct.
युग्म (20,2) से 20 का प्रतिबिंब 2 है। फलन मान के लिए वही युग्म चुनें जिसमें इनपुट दिया हो। / From the pair (20,2), the image of 20 is 2. Choose the pair whose input is given.
पहले विकल्प में 2 प्रथम अवयव के रूप में नहीं है। फलन में प्रांत का हर तत्व शामिल होना चाहिए। / In the first option, 2 is not present as a first component. In a function every domain element must be included.
A से B में हर संबंध A×B का उपसमुच्चय होता है। फलन भी ऐसा ही विशेष संबंध है। / Every relation from A to B is a subset of A×B. A function is also such a special relation.
पहले विकल्प में 1 और 2 दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। अन्य विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार जुड़ा है। / In the first option, both 1 and 2 have exactly one image. In the other options, an input is missing or mapped twice.
ग्राफ में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या ∣A∣=3 है। / The graph has one pair for each element of the domain. Therefore the number of pairs is ∣A∣=3.
रिक्त प्रांत से एक रिक्त फलन होता है। सूत्र से भी ∣B∣
0
=1 मिलता है। / From an empty domain there is one empty function. The formula also gives ∣B∣
0
=1.
प्रांत में 0 है लेकिन सहप्रांत खाली है, इसलिए 0 का कोई प्रतिबिंब नहीं मिल सकता। अतः कोई फलन नहीं बनेगा। / The domain contains 0 but the codomain is empty, so 0 cannot get an image. Hence no function is possible.
1 और 2 का समान प्रतिबिंब a है, फिर भी हर इनपुट का केवल एक मान है। इसलिए यह फलन है। / 1 and 2 have the same image a, yet every input has only one value. Therefore it is a function.
एक ही इनपुट k के दो मान तभी संभव हैं जब दोनों समान हों। इसलिए m=4 होना चाहिए। / Two values for the same input k are possible only when both are equal. Therefore m=4 must hold.
a+7=12 से a=5 मिलता है। ऐसे प्रश्नों में f(a) को दिए गए मान के बराबर रखें। / From a+7=12, we get a=5. In such questions set f(a) equal to the given value.
A. क्योंकि x=4 के दो अलग मान हैं/Because x=4 has two different values
Explanation
Simple Explanation
एक ही x के लिए दो अलग y मान फलन की शर्त तोड़ते हैं। तालिका में दोहराए गए इनपुट को हमेशा जांचें। / Two different y values for the same x break the function condition. Always check repeated inputs in a table.
p से दो तीर निकल रहे हैं, इसलिए p के दो प्रतिबिंब हैं। एक इनपुट के दो प्रतिबिंब फलन में नहीं हो सकते। / Two arrows leave p, so p has two images. One input cannot have two images in a function.
f(4)=4+1=5, इसलिए (4,5) ग्राफ में होगा। ग्राफ में पहला स्थान इनपुट का होता है। / f(4)=4+1=5, so (4,5) will be in the graph. In a graph pair the first place is for the input.
A. परिसर B का उपसमुच्चय होता है/The range is a subset of B
Explanation
Simple Explanation
फलन के सभी प्राप्त मान B में होते हैं। इसलिए परिसर B का उपसमुच्चय होता है। / All obtained values of a function lie in B. Therefore the range is a subset of B.
युग्म (3,9) में 3 का प्रतिबिंब 9 है। ऐसे प्रश्नों में द्वितीय अवयव देखकर प्रथम अवयव पहचानें। / In the pair (3,9), the image of 3 is 9. In such questions identify the first component by looking at the second component.
A. क्योंकि 3 का कोई प्रतिबिंब नहीं है/Because 3 has no image
Explanation
Simple Explanation
प्रांत A का 3 किसी भी युग्म में प्रथम अवयव नहीं है। फलन में हर प्रांत तत्व का प्रतिबिंब होना चाहिए। / The element 3 of domain A is not the first component in any pair. Every domain element must have an image in a function.
जो इनपुट किसी आउटपुट तक जाता है, वह उसका पूर्व प्रतिबिंब कहलाता है। पूर्व प्रतिबिंब प्रांत से आता है। / The input that maps to an output is called its preimage. A preimage comes from the domain.
प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए 2 विकल्प हैं, इसलिए कुल 2
2
=4 फलन हैं। गिनती में विकल्पों को गुणा करें। / Each domain element has 2 choices, so the total number of functions is 2
2
=4. Multiply the choices in counting.
पहले विकल्प में सभी इनपुट का प्रतिबिंब a है। इसलिए यह स्थिर फलन है। / In the first option, all inputs have image a. Therefore it is a constant function.
A. क्योंकि 2 के दो प्रतिबिंब हैं/Because 2 has two images
Explanation
Simple Explanation
2 दो अलग द्वितीय अवयवों 2 और 3 से जुड़ा है। यह फलन की अद्वितीयता शर्त तोड़ता है। / 2 is related to two different second components 2 and 3. This breaks the uniqueness condition of a function.
y=x+2 से x=2,3,4 पर 4,5,6 मिलते हैं। सेट बिल्डर रूप को युग्मों में बदलते समय नियम लगाएं। / From y=x+2, for x=2,3,4 we get 4,5,6. Apply the rule while converting set builder form into pairs.
A. दो अलग इनपुट का समान आउटपुट हो सकता है/Two different inputs can have the same output
Explanation
Simple Explanation
−1 और 1 दोनों का मान 1 आता है। इसलिए समान आउटपुट होना फलन में स्वीकार्य है। / Both −1 and 1 give value 1. Therefore having the same output is acceptable in a function.
A. हर प्रथम अवयव का ठीक एक द्वितीय अवयव है या नहीं/Whether each first component has exactly one second component
Explanation
Simple Explanation
फलन की जांच में प्रथम अवयवों को देखना सबसे जरूरी है। कोई प्रथम अवयव दो अलग द्वितीय अवयवों से नहीं जुड़ना चाहिए। / Checking first components is most important while testing a function. No first component should be linked with two different second components.
A. क्योंकि इसमें प्रत्येक x∈A का B में ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because each x∈A has exactly one image in B
Explanation
Simple Explanation
हर फलन संबंध है, पर हर संबंध फलन नहीं होता। फलन बनने के लिए ठीक एक प्रतिबिंब की शर्त जरूरी है। / Every function is a relation, but every relation is not a function. The condition of exactly one image is necessary for a function.
