Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
रेखीय फलन (f(x)=x+3) हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है। परीक्षा में हर रेखीय फलन का प्रांत सामान्यतः \(\mathbb{R}\) लें। / The linear function (f(x)=x+3) is defined for every real (x). In exams, the domain of a basic linear function is usually \(\mathbb{R}\).
किसी भी वास्तविक (x) के लिए \(x^2 \ge 0\) होता है। इसलिए सबसे छोटा मान (0) है और परिसर \([0,\infty\)) है। / For every real (x), \(x^2 \ge 0\). So the least value is (0), and the range is \([0,\infty\)).
वर्गमूल वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([0,\infty\)) है। / For the square root to be real, \(x \ge 0\) is required. Hence the domain is \([0,\infty\)).
हर में (x) है, इसलिए (x=0) पर फलन परिभाषित नहीं है। परीक्षा में हर को (0) न बनने दें। / The denominator is (x), so the function is not defined at (x=0). In exams, make sure the denominator is not (0).
यह स्थिर फलन है और हर (x) पर मान (5) ही देता है। स्थिर फलन का परिसर एकल समुच्चय होता है। / This is a constant function and gives only the value (5). The range of a constant function is a singleton set.
(f(3)=2(3)-1=5) है। मान निकालते समय (x) की जगह दिए गए मान को रखें। / (f(3)=2(3)-1=5). To evaluate a function, substitute the given value in place of (x).
वर्गमूल के अंदर \(x-2 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge 2\) और प्रांत \([2,\infty\)) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x-2 \ge 0\). Thus \(x \ge 2\), so the domain is \([2,\infty\)).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2+1 \ge 1\) है। न्यूनतम मान (1) पर मिलता है। / Since \(x^2 \ge 0\), we have \(x^2+1 \ge 1\). The minimum value is (1).
हर (x-4) है, इसलिए (x=4) पर हर (0) बनता है। इसीलिए (4) को प्रांत से हटाते हैं। / The denominator is (x-4), so at (x=4) it becomes (0). Hence (4) is excluded from the domain.
A. प्रांत \(\mathbb{R}\), परिसर \(\mathbb{R}\)/Domain \(\mathbb{R}\), range \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
घन फलन हर वास्तविक (x) के लिए परिभाषित है और हर वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए दोनों \(\mathbb{R}\) हैं। / The cubic function is defined for every real (x) and can take every real value. Hence both are \(\mathbb{R}\).
(1,2,3) रखने पर मान (2,3,4) मिलते हैं। सीमित प्रांत में हर तत्व पर फलन लगाएँ। / Substituting (1,2,3) gives (2,3,4). For a finite domain, apply the function to each element.
वर्गमूल के अंदर \(x+3 \ge 0\) होना चाहिए। इसलिए \(x \ge -3\) है। / The expression inside the square root must satisfy \(x+3 \ge 0\). Therefore \(x \ge -3\).
(|x-2|) का मान कभी ऋणात्मक नहीं होता और (x=2) पर (0) हो जाता है। इसलिए न्यूनतम मान (0) है। / (|x-2|) is never negative and becomes (0) at (x=2). Hence the minimum value is (0).
हर (x+1) है, इसलिए (x=-1) पर हर (0) हो जाता है। इस मान को प्रांत से हटाते हैं। / The denominator is (x+1), so it becomes (0) at (x=-1). This value is removed from the domain.
वर्गमूल के लिए \(9-x^2 \ge 0\) चाहिए। इससे \(x^2 \le 9\), यानी \(-3 \le x \le 3\) मिलता है। / For the square root, \(9-x^2 \ge 0\) is needed. This gives \(x^2 \le 9\), that is \(-3 \le x \le 3\).
शर्त \(9-x^2 \ge 0\) से ([-3,3]) मिलता है। सिरों को शामिल करें क्योंकि वर्गमूल (0) हो सकता है। / The condition \(9-x^2 \ge 0\) gives ([-3,3]). Include the endpoints because the square root can be (0).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2-4 \ge -4\) है। न्यूनतम मान (x=0) पर (-4) है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2-4 \ge -4\). The minimum value is (-4) at (x=0).
\(x^2\) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए \(x^2-4\) का न्यूनतम मान (-4) है। अतः परिसर \([-4,\infty\)) है। / The minimum value of \(x^2\) is (0), so the minimum value of \(x^2-4\) is (-4). Hence the range is \([-4,\infty\)).
((-1)2=1), \(0^2=0\), और \(1^2=1\) हैं। अलग-अलग प्राप्त मान ({0,1}) हैं। / ((-1)2=1), \(0^2=0\), and \(1^2=1\). The distinct output values are ({0,1}).
हर \(x^2\) है और (x=0) पर यह (0) बनता है। इसलिए (0) प्रांत में नहीं होगा। / The denominator is \(x^2\), and it becomes (0) at (x=0). Therefore (0) is not in the domain.
\(x \ne 0\) होने पर \(x^2>0\), इसलिए \(\frac{1}{x^2}>0\) है। मान (0) कभी नहीं मिलता। / When \(x \ne 0\), \(x^2>0\), so \(\frac{1}{x^2}>0\). The value (0) is never obtained.
\(x^2\) का सबसे छोटा मान (0) होता है। इसलिए \(x^2+4\) का सबसे छोटा मान (4) है। / The least value of \(x^2\) is (0). Therefore the least value of \(x^2+4\) is (4).
क्योंकि \(x^2 \ge 0\), इसलिए \(x^2+4 \ge 4\) है। अतः परिसर \([4,\infty\)) है। / Since \(x^2 \ge 0\), \(x^2+4 \ge 4\). Hence the range is \([4,\infty\)).
\(\sqrt{x^2}\) का मान हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, इसलिए यह (|x|) के बराबर है। सामान्य गलती इसे सीधे (x) लिखना है। / \(\sqrt{x^2}\) is always non-negative, so it equals (|x|). A common mistake is writing it directly as (x).
A. जिसका हर मान \(\mathbb{R}\) में हो/Its every value lies in \(\mathbb{R}\)
Explanation
Simple Explanation
वास्तविक मान वाला फलन वह है जिसके निर्गत मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। यहाँ मुख्य ध्यान सहप्रांत या मानों पर होता है। / A real valued function has output values in the real numbers. The key focus is on the codomain or values.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में (A) इनपुट समुच्चय है। इसलिए (A) प्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), (A) is the input set. Hence (A) is called the domain.
\(f:A\to\mathbb{R}\) में \(\mathbb{R}\) वह समुच्चय है जिसमें मान जाने हैं। यह सहप्रांत कहलाता है। / In \(f:A\to\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) is the set where outputs are expected to lie. It is called the codomain.
((-2)2=4) और \(2^2=4\), इसलिए केवल एक अलग मान मिलता है। परिसर में दोहराए गए मान एक बार लिखते हैं। / ((-2)2=4) and \(2^2=4\), so only one distinct value is obtained. Repeated values are written once in the range.
शर्त \(4-2x \ge 0\) से \(x \le 2\) मिलता है। इसलिए प्रांत (\(-\infty,2]\) है। / The condition \(4-2x \ge 0\) gives \(x \le 2\). Thus the domain is (\(-\infty,2]\).
(|x|) का न्यूनतम मान (0) है, इसलिए (3-|x|) अधिकतम (3) होगा। यह (x=0) पर मिलता है। / The minimum value of (|x|) is (0), so (3-|x|) is maximum at (3). This occurs at (x=0).
(|x|) जितना बड़ा होगा, (3-|x|) उतना छोटा होगा। अधिकतम (3) है और नीचे कोई सीमा नहीं है। / As (|x|) becomes larger, (3-|x|) becomes smaller. The maximum is (3), and there is no lower bound.
(f(5)=\frac{5+1}{2}=3) है। भिन्न वाले फलन में पहले कोष्ठक का मान निकालें। / (f(5)=\frac{5+1}{2}=3). In a fractional expression, evaluate the numerator carefully first.
वर्ग ((x-1)2) हमेशा (0) या धनात्मक है। (x=1) पर न्यूनतम (0) मिलता है। / The square ((x-1)2) is always (0) or positive. At (x=1), the minimum (0) is obtained.
((x+2)2) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए पूरा फलन न्यूनतम (1) देता है। / The minimum value of ((x+2)2) is (0). Therefore the whole function has minimum value (1).
\(x^2+4\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए हर कभी (0) नहीं बनता। / \(x^2+4\) is positive for every real (x). Therefore the denominator never becomes (0).
\(\sqrt{x}\) वास्तविक होने के लिए \(x \ge 0\) चाहिए। (2) से गुणा करने पर प्रांत नहीं बदलता। / For \(\sqrt{x}\) to be real, \(x \ge 0\) is needed. Multiplication by (2) does not change the domain.
\(\sqrt{x}\ge 0\) होता है, इसलिए \(2\sqrt{x}\ge 0\) है। (x=0) पर मान (0) मिलता है। / \(\sqrt{x}\ge 0\), so \(2\sqrt{x}\ge 0\). At (x=0), the value is (0).
हर में \(\sqrt{x-1}\) है, इसलिए (x-1>0) चाहिए। इस कारण (x>1) और प्रांत (\(1,\infty\)) है। / The denominator is \(\sqrt{x-1}\), so (x-1>0) is required. Thus (x>1), and the domain is (\(1,\infty\)).
(|x+1|) का न्यूनतम मान (0) है। इसलिए (|x+1|-3) का न्यूनतम मान (-3) है। / The minimum value of (|x+1|) is (0). Therefore the minimum value of (|x+1|-3) is (-3).
