Reflexivity fixes the (5) diagonal pairs, and symmetry lets the remaining pairs be chosen in unordered pairs. Therefore the number is \(2^{\frac{5(5-1)}{2}}=2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(2^{10}\). Reflexivity fixes the (5) diagonal pairs, and symmetry lets the remaining pairs be chosen in unordered pairs. Therefore the number is \(2^{\frac{5(5-1)}{2}}=2^{10}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती होने से (5) विकर्ण युग्म निश्चित हो जाते हैं और सममितता में बाकी युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(2^{\frac{5(5-1)}{2}}=2^{10}\) है।
A. प्रतिवर्ती है पर सममित नहीं/Reflexive but not symmetric
Step 1
Concept
All ((a,a)) pairs are present, so (R) is reflexive. Since ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, it is not symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric. All ((a,a)) pairs are present, so (R) is reflexive. Since ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
सभी ((a,a)) मौजूद हैं, इसलिए (R) प्रतिवर्ती है। ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं है।
For every \(a\in A\), \(a\le a\), so it is reflexive. If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. प्रतिवर्ती और संक्रमी / Reflexive and transitive. For every \(a\in A\), \(a\le a\), so it is reflexive. If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
हर \(a\in A\) के लिए \(a\le a\), इसलिए प्रतिवर्ती है। यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए संक्रमी है।
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
Every reverse pair is present, so (R) is symmetric. But ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. Every reverse pair is present, so (R) is symmetric. But ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
हर उल्टा युग्म मौजूद है, इसलिए (R) सममित है। लेकिन ((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
All ordered pairs of \(A\times A\) are in (R), so it is the universal relation. It is also called the full relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सार्वत्रिक संबंध / Universal relation. All ordered pairs of \(A\times A\) are in (R), so it is the universal relation. It is also called the full relation.
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) के सभी क्रमित युग्म (R) में हैं, इसलिए यह सार्वत्रिक संबंध है। इसे पूर्ण संबंध भी कहा जाता है।
There is no ordered pair in (R), so it is an empty relation. On non-empty (A), it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (R) रिक्त संबंध है / (R) is an empty relation. There is no ordered pair in (R), so it is an empty relation. On non-empty (A), it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(R) में कोई क्रमित युग्म नहीं है, इसलिए यह रिक्त संबंध है। गैर-रिक्त (A) पर यह प्रतिवर्ती नहीं होगा।
Elements with the same parity are related, so reflexive, symmetric, and transitive properties all hold. Hence (R) is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. समतुल्य संबंध / Equivalence relation. Elements with the same parity are related, so reflexive, symmetric, and transitive properties all hold. Hence (R) is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
समान parity वाले अवयव जुड़े हैं, इसलिए प्रतिवर्ती, सममित और संक्रमी तीनों गुण मिलते हैं। अतः (R) समतुल्य संबंध है।
A. प्रतिवर्ती और संक्रमी पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
Every \(a\mid a\), so it is reflexive, and divisibility is transitive. But \(1\mid2\) while \(2\nmid1\), so it is not symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. प्रतिवर्ती और संक्रमी पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric. Every \(a\mid a\), so it is reflexive, and divisibility is transitive. But \(1\mid2\) while \(2\nmid1\), so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
हर \(a\mid a\), इसलिए प्रतिवर्ती है, और भाग्यता संक्रमी होती है। लेकिन \(1\mid2\) पर \(2\nmid1\), इसलिए सममित नहीं है।
In a reflexive relation, (4) diagonal pairs are fixed. The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(2^{12}\). In a reflexive relation, (4) diagonal pairs are fixed. The remaining (16-4=12) pairs are free, so the number is \(2^{12}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती संबंध में (4) diagonal युग्म निश्चित होते हैं। बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{12}\) है।
If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) hold while ((1,3)) does not, so it is not transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सममित है / It is symmetric. If (|a-b|=1), then (|b-a|=1), so it is symmetric. But ((1,2)) and ((2,3)) hold while ((1,3)) does not, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
यदि (|a-b|=1), तो (|b-a|=1), इसलिए सममित है। लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) होने पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमी नहीं है।
In the inverse, order is reversed, so the original condition (a-b=3) becomes (y-x=3). Do not forget the direction when variables are swapped.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(x,y):y-x=3}). In the inverse, order is reversed, so the original condition (a-b=3) becomes (y-x=3). Do not forget the direction when variables are swapped.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम में क्रम बदलता है, इसलिए मूल शर्त (a-b=3) नई शर्त (y-x=3) बनती है। चर बदलते समय संबंध की दिशा न भूलें।
B. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a=2a) is even, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सममित पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. If (a+b) is odd, then (b+a) is also odd, so it is symmetric. But (a+a=2a) is even, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (a+b) विषम है, तो (b+a) भी विषम है, इसलिए सममित है। लेकिन (a+a=2a) सम है, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
For (5) elements, the number of pairs with (a<b) is \(\binom{5}{2}=10\). In such questions, count each unordered pair in the correct ordered direction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (10). For (5) elements, the number of pairs with (a<b) is \(\binom{5}{2}=10\). In such questions, count each unordered pair in the correct ordered direction.
Step 3
Exam Tip
(5) अवयवों में (a<b) वाले युग्मों की संख्या \(\binom{5}{2}=10\) है। ऐसे प्रश्नों में unordered जोड़ी को सही ordered दिशा में गिनें।
B. अप्रतिवर्ती और संक्रमी/Irreflexive and transitive
Step 1
Concept
(a<a) is never true, so it is irreflexive. If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. अप्रतिवर्ती और संक्रमी / Irreflexive and transitive. (a<a) is never true, so it is irreflexive. If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
(a<a) कभी सत्य नहीं, इसलिए यह अप्रतिवर्ती है। यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c), इसलिए यह संक्रमी है।
\(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), and equality is transitive. Hence it is an equivalence relation.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. समतुल्य संबंध है / It is an equivalence relation. \(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), and equality is transitive. Hence it is an equivalence relation.
Step 3
Exam Tip
\(x^2=x^2\), \(x^2=y^2\Rightarrow y^2=x^2\), और बराबरी की शर्त संक्रमी है। इसलिए यह समतुल्य संबंध है।
For reflexivity, all diagonal pairs are compulsory. The smallest relation keeps only those required pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. ({(1,1),(2,2),(3,3)}). For reflexivity, all diagonal pairs are compulsory. The smallest relation keeps only those required pairs.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवर्ती होने के लिए सभी diagonal युग्म अनिवार्य हैं। न्यूनतम संबंध में केवल वही युग्म रखे जाते हैं।
All three domain elements must appear in some pair, so at least (3) pairs are needed. The (2) range elements can be covered within these (3) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (3). All three domain elements must appear in some pair, so at least (3) pairs are needed. The (2) range elements can be covered within these (3) pairs.
Step 3
Exam Tip
तीनों domain अवयवों को किसी न किसी युग्म में आना होगा, इसलिए कम से कम (3) युग्म चाहिए। range के (2) अवयव इन्हीं (3) युग्मों में कवर किए जा सकते हैं।
A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so it is symmetric. But (\gcd(2,2)=2\ne1), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. (\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), so it is symmetric. But (\gcd(2,2)=2\ne1), so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)), इसलिए यह सममित है। लेकिन (\gcd(2,2)=2\ne1), इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
When only pairs with (a=b) are present, the relation is the identity relation. It is denoted by \(I_A\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पहचान संबंध / Identity relation. When only pairs with (a=b) are present, the relation is the identity relation. It is denoted by \(I_A\).
Step 3
Exam Tip
जब केवल (a=b) वाले युग्म हों, तो संबंध पहचान संबंध होता है। इसे \(I_A\) से दर्शाते हैं।
B. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं/Symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
If \(a\ne b\), then \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((a,a)) never occurs, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive. If \(a\ne b\), then \(b\ne a\), so it is symmetric. But ((a,a)) never occurs, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि \(a\ne b\), तो \(b\ne a\), इसलिए सममित है। लेकिन ((a,a)) कभी नहीं आता, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
A. संक्रमी है पर प्रतिवर्ती नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
The required ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)) is present, so the key transitivity condition holds. Diagonal pairs are absent, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. संक्रमी है पर प्रतिवर्ती नहीं / Transitive but not reflexive. The required ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)) is present, so the key transitivity condition holds. Diagonal pairs are absent, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से जरूरी ((1,3)) मौजूद है, इसलिए transitivity की मुख्य शर्त पूरी है। diagonal युग्म नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
Symmetry lets us infer \((4,3)\notin R\) from \((3,4)\notin R\). But the presence of diagonal pairs is not guaranteed by symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \((3,3)\in R\). Symmetry lets us infer \((4,3)\notin R\) from \((3,4)\notin R\). But the presence of diagonal pairs is not guaranteed by symmetry.
Step 3
Exam Tip
सममितता से \((3,4)\notin R\) होने पर \((4,3)\notin R\) निष्कर्ष निकलता है। लेकिन diagonal युग्मों की उपस्थिति सममितता से निश्चित नहीं होती।
For ((1,1)), (1+1=2) is prime, so it is in (R). However, all listed pairs are actually in (R), so this is a trap question.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,1)). For ((1,1)), (1+1=2) is prime, so it is in (R). However, all listed pairs are actually in (R), so this is a trap question.
Step 3
Exam Tip
((1,1)) के लिए (1+1=2) prime है, इसलिए यह (R) में है। लेकिन विकल्पों में वास्तव में कोई युग्म बाहर नहीं है, इसलिए यह प्रश्न जाल है।
If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not present, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सममित / Symmetric. If (a+b=6), then (b+a=6), so the relation is symmetric. But all ((a,a)) are not present, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
यदि (a+b=6), तो (b+a=6), इसलिए संबंध सममित है। लेकिन सभी ((a,a)) मौजूद नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है।
From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)). Symmetry then also requires ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. ((1,3)) और ((3,1)) / ((1,3)) and ((3,1)). From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)). Symmetry then also requires ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से transitivity के लिए ((1,3)) चाहिए। सममितता के लिए ((3,1)) भी चाहिए।
