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A. जिसमें कोई तत्व नहीं होता/A set with no element
Step 1
Concept
An empty set has no element.
Step 2
Why this answer is correct
So its number of elements is (0).
Step 3
Exam Tip
In exams, remember that \(\varnothing\) and ({}) both denote the empty set. चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई भी तत्व नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसका तत्वों की संख्या (0) होती है। चरण 3: परीक्षा में \(\varnothing\) और ({}) दोनों संकेत पहचानना जरूरी है।
They can be counted completely, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
The set of factors of a fixed number is always limited. चरण 1: (18) के प्राकृतिक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। चरण 2: ये सभी गिने जा सकते हैं, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: किसी निश्चित संख्या के भाजकों का समुच्चय हमेशा सीमित होता है।
When no element satisfies the condition, the set is \(\varnothing\). चरण 1: \(\mathbb{N}\) का पहला तत्व (1) है। चरण 2: (1) से छोटा कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है। चरण 3: ऐसी शर्तों में तत्व न मिलने पर समुच्चय \(\varnothing\) होता है।
In square-based questions, pay close attention to the sign. चरण 1: किसी भी पूर्णांक का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता। चरण 2: इसलिए \(x^2=-4\) को कोई पूर्णांक पूरा नहीं करता। चरण 3: वर्ग वाले प्रश्नों में चिह्न पर विशेष ध्यान दें।
For square-based conditions, first check whether a valid element exists. चरण 1: किसी पूर्णांक का वर्ग (2) नहीं होता। चरण 2: इसलिए दी गई शर्त पूरी करने वाला कोई पूर्णांक नहीं है। चरण 3: वर्ग वाली शर्त में पहले संभव तत्व जाँचें।
Natural numbers up to (12) divisible by (3) are (3,6,9,12).
Step 2
Why this answer is correct
These are exactly the elements of (A).
Step 3
Exam Tip
For equal sets, compare elements rather than order or description. चरण 1: (12) तक (3) से विभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ (3,6,9,12) हैं। चरण 2: यही सभी तत्व (A) में भी हैं। चरण 3: समान समुच्चय में क्रम नहीं, केवल तत्वों की समानता देखी जाती है।
When the domain is real numbers, do not count imaginary solutions. चरण 1: किसी भी वास्तविक संख्या के लिए \(x^2\geq 0\) होता है। चरण 2: इसलिए \(x^2+1\) कभी (0) नहीं हो सकता। चरण 3: वास्तविक संख्या क्षेत्र दिए होने पर काल्पनिक हल न गिनें।
Between consecutive whole-number values, a natural-number set may become empty. चरण 1: (5) और (6) क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ हैं। चरण 2: इनके बीच कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आती। चरण 3: क्रमागत पूर्ण संख्याओं के बीच प्राकृतिक संख्या खोजने पर समुच्चय रिक्त हो सकता है।
In daily-life set questions, read the condition exactly. चरण 1: किसी भी महीने में (32) दिन नहीं होते। चरण 2: इसलिए ऐसा कोई महीना समुच्चय में नहीं आएगा। चरण 3: दैनिक जीवन वाले प्रश्नों में भी शर्त को ठीक से पढ़ें।
With \(\leq\), the boundary values are also included. चरण 1: दिए गए पूर्णांक (-3,-2,-1,0,1,2,3) हैं। चरण 2: कुल (7) तत्व मिलते हैं, इसलिए (n(C)=7)। चरण 3: \(\leq\) होने पर सीमा वाले मान भी शामिल किए जाते हैं।
A. \(\varnothing\) में कोई तत्व नहीं है और \({\varnothing}\) में एक तत्व है/\(\varnothing\) has no element and \({\varnothing}\) has one element
Step 1
Concept
\(\varnothing\) is the empty set.
Step 2
Why this answer is correct
In \({\varnothing}\), the empty set itself is placed as one element.
Step 3
Exam Tip
Count elements by observing the braces carefully. चरण 1: \(\varnothing\) खाली समुच्चय है। चरण 2: \({\varnothing}\) में \(\varnothing\) स्वयं एक तत्व के रूप में रखा गया है। चरण 3: कोष्ठक देखकर तत्वों की संख्या गिनें।
Odd natural numbers \(1,3,5,7,\ldots\) continue without end.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last element.
Step 3
Exam Tip
When the list keeps going forever, the set is infinite. चरण 1: विषम प्राकृतिक संख्याएँ \(1,3,5,7,\ldots\) चलती रहती हैं। चरण 2: इनका कोई अंतिम तत्व नहीं है। चरण 3: जब सूची बिना अंत के आगे बढ़े, समुच्चय अपरिमित माना जाता है।
A. जिसके तत्वों की संख्या गिनी जा सके/Its elements can be counted completely
Step 1
Concept
A finite set has a limited number of elements.
Step 2
Why this answer is correct
Its elements can be counted completely.
Step 3
Exam Tip
Remember that the empty set is also finite. चरण 1: परिमित समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित होती है। चरण 2: उन्हें पूरा गिना जा सकता है। चरण 3: याद रखें कि रिक्त समुच्चय भी परिमित माना जाता है।
For consecutive even numbers starting at (2), divide the last number by (2). चरण 1: यह (2) से (50) तक की सम संख्याओं का समुच्चय है। चरण 2: ऐसे तत्वों की संख्या \(50\div 2=25\) है। चरण 3: क्रमागत सम संख्याओं में अंतिम संख्या को (2) से भाग देना उपयोगी रहता है।
A. \(A=\{23,29\}\), परिमित/\(A=\{23,29\}\), finite
Step 1
Concept
The prime numbers between (20) and (30) are (23) and (29).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(A=\{23,29\}\) and it has limited elements.
Step 3
Exam Tip
A prime number has no factors except (1) and itself. चरण 1: (20) और (30) के बीच अभाज्य संख्याएँ (23) और (29) हैं। चरण 2: इसलिए \(A=\{23,29\}\) और इसमें सीमित तत्व हैं। चरण 3: अभाज्य संख्या में (1) और स्वयं को छोड़कर कोई गुणनखंड नहीं होता।
Elements such as \(101,102,103,\ldots\) keep continuing.
Step 2
Why this answer is correct
There is no last number.
Step 3
Exam Tip
If counting goes on without an end, the set is infinite. चरण 1: \(101,102,103,\ldots\) जैसे तत्व लगातार मिलते जाते हैं। चरण 2: इनकी कोई अंतिम संख्या नहीं है। चरण 3: जब गिनती बिना अंत के चलती रहे, समुच्चय अपरिमित होता है।
Multiples such as \(7,14,21,28,\ldots\) keep appearing.
Step 2
Why this answer is correct
There is no end to such multiples in natural numbers.
Step 3
Exam Tip
When all multiples are asked, usually check for infiniteness. चरण 1: \(7,14,21,28,\ldots\) जैसे गुणज लगातार मिलते हैं। चरण 2: प्राकृतिक संख्याओं में ऐसे गुणजों का अंत नहीं है। चरण 3: सभी गुणज पूछे जाएँ तो प्रायः अपरिमितता जाँचें।
Whole numbers less than (10) are \(0,1,2,\ldots,9\).
Step 3
Exam Tip
If a complete limited list is possible, the set is finite. चरण 1: पूर्ण संख्याएँ (0) से शुरू होती हैं। चरण 2: (10) से छोटी पूर्ण संख्याएँ \(0,1,2,\ldots,9\) हैं। चरण 3: सीमित सूची मिल जाए तो समुच्चय परिमित होता है।
Do not call sets unequal just because repetition is shown differently. चरण 1: समुच्चय में दोहराए गए तत्व केवल एक बार गिने जाते हैं। चरण 2: दोनों में अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 3: दोहराव देखकर समुच्चयों को असमान न मानें।
For \(x^2=4\), the natural solution is only (x=2).
Step 3
Exam Tip
If the domain is \(\mathbb{N}\), do not include the negative solution. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में केवल धनात्मक प्राकृतिक संख्याएँ आती हैं। चरण 2: \(x^2=4\) के प्राकृतिक हल में (x=2) ही होगा। चरण 3: क्षेत्र \(\mathbb{N}\) हो तो ऋणात्मक हल न लें।
In geometry, many sets of points or lines are infinite. चरण 1: एक रेखा पर असंख्य बिंदु होते हैं। चरण 2: उन्हें पूरी तरह गिना नहीं जा सकता। चरण 3: ज्यामिति में बिंदुओं या रेखाओं से बने कई समुच्चय अपरिमित होते हैं।
Lines can be drawn through a point in endlessly many directions.
Step 2
Why this answer is correct
Their number is not limited.
Step 3
Exam Tip
Use geometric visualization to identify finite and infinite sets. चरण 1: एक बिंदु से अनेक दिशाओं में रेखाएँ खींची जा सकती हैं। चरण 2: ऐसी रेखाओं की संख्या सीमित नहीं है। चरण 3: ज्यामितीय कल्पना बनाकर परिमित और अपरिमित पहचानें।
In prime-number questions, remember the special role of (2). चरण 1: (2) ही एकमात्र सम अभाज्य संख्या है। चरण 2: (2) से बड़ी कोई सम अभाज्य संख्या नहीं होती। चरण 3: अभाज्य संख्या वाले प्रश्नों में (2) की विशेष भूमिका याद रखें।
A. यह रिक्त नहीं है और इसमें एक तत्व है/It is not empty and has one element
Step 1
Concept
The set ({0}) contains (0) as an element.
Step 2
Why this answer is correct
Hence it is not empty.
Step 3
Exam Tip
Understand the difference between (0) and no element. चरण 1: ({0}) में (0) एक तत्व के रूप में मौजूद है। चरण 2: इसलिए यह रिक्त नहीं है। चरण 3: (0) और कोई तत्व नहीं में अंतर जरूर समझें।
In integers, \(x^2=9\) has two solutions, (x=-3) and (x=3).
Step 2
Why this answer is correct
Both are integers, so both are included.
Step 3
Exam Tip
In square equations, check both positive and negative solutions according to the domain. चरण 1: पूर्णांकों में \(x^2=9\) के दो हल (x=-3) और (x=3) हैं। चरण 2: दोनों पूर्णांक हैं, इसलिए दोनों शामिल होंगे। चरण 3: वर्ग समीकरण में क्षेत्र देखकर धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हल जाँचें।
\(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\) satisfy the condition.
Step 2
Why this answer is correct
\(4^2=16\) does not satisfy it.
Step 3
Exam Tip
In inequalities, test values in order from small numbers. चरण 1: \(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\) शर्त पूरी करते हैं। चरण 2: \(4^2=16\) शर्त पूरी नहीं करता। चरण 3: असमता में छोटे मानों से क्रम से जाँच करना आसान रहता है।
The positive divisors of (24) are (1,2,3,4,6,8,12,24).
Step 2
Why this answer is correct
This complete list is limited, so the set is finite.
Step 3
Exam Tip
While counting divisors, check them in factor pairs. चरण 1: (24) के धनात्मक भाजक (1,2,3,4,6,8,12,24) हैं। चरण 2: यह पूरी सूची सीमित है, इसलिए समुच्चय परिमित है। चरण 3: भाजक गिनते समय जोड़े बनाकर जाँचें।
The equation (x+3=x) leads to the impossible statement (3=0).
Step 2
Why this answer is correct
So no natural number satisfies it.
Step 3
Exam Tip
An impossible equation gives an empty solution set. चरण 1: समीकरण (x+3=x) से (3=0) जैसी असंभव बात मिलती है। चरण 2: इसलिए कोई प्राकृतिक संख्या शर्त पूरी नहीं करती। चरण 3: असंभव समीकरण का हल समुच्चय रिक्त होता है।
A. यह ({0}) है, इसलिए परिमित है/It is ({0}), so it is finite
Step 1
Concept
\(x^2=0\) only when (x=0).
Step 2
Why this answer is correct
Since (0) is a real number, the set is ({0}).
Step 3
Exam Tip
A one-element set is finite, not empty. चरण 1: \(x^2=0\) तभी होगा जब (x=0)। चरण 2: (0) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए समुच्चय ({0}) है। चरण 3: एक तत्व वाला समुच्चय परिमित होता है, रिक्त नहीं।
Between (0) and (1), many rational numbers such as \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), and \(\frac{2}{3}\) exist.
Step 2
Why this answer is correct
Such elements do not end.
Step 3
Exam Tip
Rational numbers between two numbers form an infinite set. चरण 1: (0) और (1) के बीच अनेक परिमेय संख्याएँ जैसे \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\) हैं। चरण 2: ऐसे तत्वों की संख्या समाप्त नहीं होती। चरण 3: दो संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ अपरिमित होती हैं।
There is no integer between two consecutive integers. चरण 1: (0) और (1) के बीच कोई पूर्णांक नहीं आता। चरण 2: इसलिए शर्त पूरी करने वाला कोई तत्व नहीं है। चरण 3: दो क्रमागत पूर्णांकों के बीच पूर्णांक नहीं होता।
Between (0) and (1), there are many decimal, rational, and irrational numbers.
Step 2
Why this answer is correct
Their number is not limited.
Step 3
Exam Tip
Intervals of real numbers are generally infinite. चरण 1: (0) और (1) के बीच दशमलव, परिमेय और अपरिमेय कई संख्याएँ होती हैं। चरण 2: इनकी संख्या सीमित नहीं है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अंतराल प्रायः अपरिमित होते हैं।
When two conditions are given, check both together. चरण 1: केवल (2) ही सम और अभाज्य दोनों है। चरण 2: \(4,6,8,\ldots\) सम हैं पर अभाज्य नहीं। चरण 3: दो शर्तें हों तो दोनों को साथ-साथ जाँचें।
Being prime and being composite are different conditions.
Step 2
Why this answer is correct
No natural number satisfies both at the same time.
Step 3
Exam Tip
Opposite conditions together may produce an empty set. चरण 1: अभाज्य और भाज्य होना अलग-अलग स्थितियाँ हैं। चरण 2: कोई भी प्राकृतिक संख्या दोनों स्थितियाँ एक साथ पूरी नहीं करती। चरण 3: विरोधी शर्तें साथ दी हों तो रिक्त समुच्चय मिल सकता है।
No natural number belongs to (B) because \(\mathbb{N}\) starts from (1).
Step 2
Why this answer is correct
So \(B=\varnothing\).
Step 3
Exam Tip
Two empty sets are always equal. चरण 1: (B) में कोई प्राकृतिक संख्या नहीं आएगी क्योंकि \(\mathbb{N}\) (1) से शुरू होता है। चरण 2: इसलिए \(B=\varnothing\)। चरण 3: दो रिक्त समुच्चय हमेशा समान होते हैं।
A. \({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) और ({1,2,3})/\({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) and ({1,2,3})
Step 1
Concept
\({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) gives (1,2,3).
Step 2
Why this answer is correct
The first pair has exactly the same elements.
Step 3
Exam Tip
Equal sets must have every element common on both sides. चरण 1: \({x:x\in\mathbb{N},x\leq 3}\) से (1,2,3) मिलते हैं। चरण 2: पहला जोड़ा समान तत्वों वाला है। चरण 3: समान समुच्चय में हर तत्व दोनों ओर होना चाहिए।
Treat \(\varnothing\) as a set with (0) elements, not as a set containing (0). चरण 1: रिक्त समुच्चय में कोई तत्व नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसकी तत्व संख्या (0) होती है। चरण 3: \(\varnothing\) को (0) तत्व वाला समुच्चय मानें, (0) को तत्व न मानें।
In \({\varnothing}\), the object \(\varnothing\) is one element.
Step 2
Why this answer is correct
So the set has (1) element.
Step 3
Exam Tip
Keep the difference between the empty set and a set containing the empty set. चरण 1: \({\varnothing}\) में \(\varnothing\) एक तत्व है। चरण 2: इसलिए इसमें कुल (1) तत्व है। चरण 3: खाली समुच्चय और खाली समुच्चय वाले समुच्चय में अंतर रखें।
Therefore their number of elements is also the same.
Step 3
Exam Tip
When (A=B), it is safe to write (n(A)=n(B)). चरण 1: समान समुच्चयों में सभी तत्व समान होते हैं। चरण 2: इसलिए उनकी तत्व संख्या भी समान होती है। चरण 3: (A=B) दिया हो तो (n(A)=n(B)) लिखना सुरक्षित है।
To make (A) equal to (B), the third distinct element must be (3).
Step 3
Exam Tip
In equal sets, order may change but elements cannot. चरण 1: (B) में अलग तत्व (1,2,3) हैं। चरण 2: (A) को समान बनाने के लिए तीसरा अलग तत्व (3) होना चाहिए। चरण 3: समान समुच्चय में केवल क्रम बदल सकता है, तत्व नहीं।
In (A), the condition \(x\leq a\) makes (a) the last element.
Step 3
Exam Tip
For equality, compare the last elements. चरण 1: (B) में प्राकृतिक संख्याएँ (1) से (4) तक हैं। चरण 2: (A) में \(x\leq a\) होने से अंतिम तत्व (a) होगा। चरण 3: समानता के लिए अंतिम तत्वों की तुलना करें।
A. (10) से छोटी अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ/Prime natural numbers less than (10)
Step 1
Concept
Prime numbers less than (10) are (2,3,5,7).
Step 2
Why this answer is correct
This list matches (A) exactly.
Step 3
Exam Tip
Convert a descriptive form into roster form to check equality. चरण 1: (10) से छोटी अभाज्य संख्याएँ (2,3,5,7) हैं। चरण 2: यह सूची (A) से पूरी तरह मिलती है। चरण 3: वर्णनात्मक रूप को सूची रूप में बदलकर समानता जाँचें।
The solutions are (x=2) and (x=3), so the set is ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
While writing a solution set, place all values inside braces. चरण 1: (x-2-5x+6=(x-2)(x-3))। चरण 2: हल (x=2) और (x=3) हैं, इसलिए समुच्चय ({2,3}) है। चरण 3: हल समुच्चय लिखते समय सभी मान कोष्ठक में रखें।
In absolute-value questions, check negative, zero, and positive values. चरण 1: (|x|<3) से पूर्णांक (-2,-1,0,1,2) मिलते हैं। चरण 2: कुल (5) तत्व हैं। चरण 3: परिमाण वाले प्रश्नों में ऋणात्मक, शून्य और धनात्मक सभी मान जाँचें।
A one-element set is both singleton and finite. चरण 1: (1) का केवल एक धनात्मक भाजक (1) है। चरण 2: इसलिए समुच्चय ({1}) है। चरण 3: एक तत्व वाला समुच्चय एकल भी होता है और परिमित भी।
Keep the meaning of the number set clear. चरण 1: \(\mathbb{N}\) में ऋणात्मक संख्याएँ नहीं होतीं। चरण 2: इसलिए शर्त पूरी करने वाला कोई तत्व नहीं है। चरण 3: संख्या समुच्चय का अर्थ स्पष्ट रखें।
Sets such as alphabets, days of a week, and months of a year are usually finite. चरण 1: अंग्रेजी वर्णमाला के स्वर (5) माने जाते हैं। चरण 2: उनकी संख्या सीमित है। चरण 3: वर्णमाला, सप्ताह के दिन और महीनों जैसे समुच्चय प्रायः परिमित होते हैं।
If the condition contradicts the definition, the set is empty. चरण 1: त्रिभुज में ठीक (3) भुजाएँ होती हैं। चरण 2: चार भुजाओं वाला त्रिभुज संभव नहीं है। चरण 3: परिभाषा के विरुद्ध शर्त मिले तो समुच्चय रिक्त होगा।
The given number set can restrict the possible solutions. चरण 1: प्राकृतिक संख्या में ऋणात्मक संख्या नहीं आती। चरण 2: \(5^2=25\), इसलिए (5) शामिल होगा। चरण 3: प्रश्न में दिया गया संख्या समुच्चय हलों को सीमित कर सकता है।
(A) and (B) have the same three elements, only the order is changed.
Step 2
Why this answer is correct
(C) does not contain (c), so it is not equal to (A).
Step 3
Exam Tip
For equality, check the presence of every element. चरण 1: (A) और (B) में वही तीन तत्व हैं, केवल क्रम बदला है। चरण 2: (C) में (c) नहीं है, इसलिए वह (A) के समान नहीं है। चरण 3: समानता में हर तत्व की उपस्थिति जाँचें।
