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A. अभाज्य गुणनखंडों का समूह क्रम को छोड़कर निश्चित रहता है/The set of prime factors remains fixed except for order
Step 1
Concept
This theorem says that the prime factorisation of a number greater than 1 is fixed.
Step 2
Why this answer is correct
The order may change, but the prime factors do not change.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not treat changed order as a new factorisation. चरण 1: यह प्रमेय बताता है कि 1 से बड़ी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन निश्चित होता है। चरण 2: क्रम बदल सकता है, पर अभाज्य गुणनखंड नहीं बदलते। चरण 3: परीक्षा में क्रम बदलने को नया गुणनखंडन न मानें।
Since \(7560=2^3\times3^3\times5\times7\), the full factorisation is \(2^3\times3^3\times5\times7\times11\).
Step 3
Exam Tip
Do not leave a composite factor like 7560 in the final answer. चरण 1: \(83160=7560\times11\) लिखें। चरण 2: \(7560=2^3\times3^3\times5\times7\), इसलिए पूरा गुणनखंडन \(2^3\times3^3\times5\times7\times11\) है। चरण 3: अंतिम उत्तर में 7560 जैसा संयुक्त गुणनखंड न छोड़ें।
For HCF, take the smaller powers of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^4\) and \(3^5\).
Step 3
Exam Tip
\(2^4\times3^5=16\times243=3888\), so the answer is 3888. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों की छोटी घात लेते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^4\) और \(3^5\) हैं। चरण 3: \(2^4\times3^5=16\times243=3888\), इसलिए उत्तर 3888 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^6\), \(3^7\), \(5^3\), and \(7^2\).
Step 3
Exam Tip
\(64\times2187\times125\times49=857304000\), so the answer is 857304000. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लेते हैं। चरण 2: बड़ी घातें \(2^6\), \(3^7\), \(5^3\) और \(7^2\) हैं। चरण 3: \(64\times2187\times125\times49=857304000\), इसलिए उत्तर 857304000 है।
Use this relation directly only for two numbers. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(=362880\div144=2520\)। चरण 3: यह संबंध केवल दो संख्याओं पर सीधे प्रयोग करें।
In such questions, directly multiply the two given values. चरण 1: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 2: \(63\times4620=291060\)। चरण 3: ऐसे प्रश्न में दिए गए दोनों मानों को सीधे गुणा करें।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by 3 makes the exponent 4, so the smallest number is 3. चरण 1: \(10800=108\times100=2^4\times3^3\times5^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, पर 3 की घात 3 विषम है। चरण 3: 3 से गुणा करने पर 3 की घात 4 हो जाएगी, इसलिए सबसे छोटी संख्या 3 है।
For a perfect square, all exponents must be even, so the odd powers of 2, 3, and 5 must be reduced.
Step 3
Exam Tip
Dividing by \(2\times3\times5=30\) leaves \(3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(13230=2\times3^3\times5\times7^2\) है। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम चाहिए, इसलिए 2, 3 और 5 की विषम घातें घटानी होंगी। चरण 3: \(2\times3\times5=30\) से भाग देने पर \(3^2\times7^2\) बचेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
For a perfect cube, each exponent must be a multiple of 3.
Step 3
Exam Tip
The powers of 5 and 7 are 1, so multiply by \(5^2\times7^2=1225\). चरण 1: \(7560=2^3\times3^3\times5\times7\)। चरण 2: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 3: 5 और 7 की घात 1 है, इसलिए \(5^2\times7^2=1225\) से गुणा करना होगा।
Since \(42=2\times3\times7\), \(42^3=2^3\times3^3\times7^3\).
Step 3
Exam Tip
42 is composite, so \(42^3\) is not the final prime form. चरण 1: \(74088=42^3\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(42=2\times3\times7\), इसलिए \(42^3=2^3\times3^3\times7^3\)। चरण 3: 42 संयुक्त है, इसलिए \(42^3\) अंतिम अभाज्य रूप नहीं है।
The exponents of 2 and 3 are odd, while the others are even.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(2\times3=6\) makes all exponents even. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 2 की घात 7 और 3 की घात 5 विषम हैं, जबकि बाकी घातें सम हैं। चरण 3: \(2\times3=6\) से गुणा करने पर सभी घातें सम हो जाएंगी।
For a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make \(2^7\), \(3^5\), and \(5^4\) into powers 9, 6, and 6.
Step 3
Exam Tip
So the smallest multiplier is \(2^2\times3\times5^2\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^7\) को \(2^9\), \(3^5\) को \(3^6\), और \(5^4\) को \(5^6\) बनाना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा गुणक \(2^2\times3\times5^2\) है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 4 and in (b) is 6.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (4+6=10). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 4 है और (b) में 3 की घात 6 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (4+6=10) होगी।
The total power is (5+2=7). चरण 1: (xy) में समान आधार 5 की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 5 की घात 5 है और (y) में 5 की घात 2 है। चरण 3: कुल घात (5+2=7) होगी।
The common factors are 2 and 3, with smaller powers \(2^7\) and \(3^6\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the HCF is \(2^7\times3^6\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। चरण 2: समान गुणनखंड 2 और 3 हैं, छोटी घातें \(2^7\) और \(3^6\) हैं। चरण 3: इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^7\times3^6\) है।
The highest powers are \(2^{10}\), \(3^8\), \(5^2\), and \(7^3\).
Step 3
Exam Tip
So the correct form is \(2^{10}\times3^8\times5^2\times7^3\). चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: बड़ी घातें \(2^{10}\), \(3^8\), \(5^2\) और \(7^3\) हैं। चरण 3: इसलिए सही रूप \(2^{10}\times3^8\times5^2\times7^3\) है।
Product of the two numbers is \(48\times3360=161280\).
Step 2
Why this answer is correct
One number is 240, so the other is \(161280\div240=672\).
Step 3
Exam Tip
As a check, the HCF of 240 and 672 is 48. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(48\times3360=161280\) होगा। चरण 2: एक संख्या 240 है, इसलिए दूसरी संख्या \(161280\div240=672\) है। चरण 3: जांच के लिए 240 और 672 का महत्तम समापवर्तक 48 मिलता है।
Product of the two numbers is \(72\times2520=181440\).
Step 2
Why this answer is correct
The other number is \(181440\div360=504\).
Step 3
Exam Tip
To check, the HCF of 360 and 504 is 72. चरण 1: दोनों संख्याओं का गुणनफल \(72\times2520=181440\) होगा। चरण 2: दूसरी संख्या \(181440\div360=504\) है। चरण 3: उत्तर की जांच के लिए 360 और 504 का महत्तम समापवर्तक 72 है।
Comparing with the given form gives (a=3). चरण 1: 7560 का अभाज्य गुणनखंडन करें। चरण 2: \(7560=756\times10=2^3\times3^3\times5\times7\)। चरण 3: दिए गए रूप से तुलना करने पर (a=3) है।
\(945=3^3\times5\times7\), so \(15120=2^4\times3^3\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Comparing gives (b=3). चरण 1: \(15120=16\times945\) लिखें। चरण 2: \(945=3^3\times5\times7\), इसलिए \(15120=2^4\times3^3\times5\times7\)। चरण 3: तुलना करने पर (b=3) है।
Total (7+5+4+1=17), so the answer is 17. चरण 1: दोहराव सहित गिनने के लिए घातों को जोड़ते हैं। चरण 2: \(2^7\) से 7, \(3^5\) से 5, \(5^4\) से 4 और 11 से 1 गुणनखंड मिलता है। चरण 3: कुल (7+5+4+1=17), इसलिए उत्तर 17 है।
When counting distinct prime factors, do not add exponents.
Step 2
Why this answer is correct
The prime factors here are 2, 3, 5, and 11.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the number of distinct prime factors is 4. चरण 1: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड गिनते समय घातों को नहीं जोड़ते। चरण 2: यहां अभाज्य गुणनखंड 2, 3, 5 और 11 हैं। चरण 3: इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या 4 है।
There is no common prime factor, so they are co-prime. चरण 1: पहली संख्या में अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं। चरण 2: दूसरी संख्या में अभाज्य गुणनखंड 5 और 7 हैं। चरण 3: कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए वे सह-अभाज्य हैं।
Therefore, the LCM will be 2431. चरण 1: सह-अभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक 1 होता है। चरण 2: दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। चरण 3: इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य 2431 होगा।
4 and 16 are composite, so they should not be written in the final prime form. चरण 1: 16384 को बार-बार 2 से भाग दें। चरण 2: \(16384=2^{14}\) होता है। चरण 3: 4 और 16 संयुक्त हैं, इसलिए उन्हें अंतिम अभाज्य रूप में नहीं लिखना चाहिए।
Since \(210=2\times3\times5\times7\), \(210^2=2^2\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
In a perfect square, every prime exponent is even. चरण 1: \(44100=210^2\) पहचाना जा सकता है। चरण 2: \(210=2\times3\times5\times7\), इसलिए \(210^2=2^2\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य घात सम होती है।
All these factors are present in the prime factorisation of (n).
Step 3
Exam Tip
Therefore, (n) must be divisible by 5265. चरण 1: \(5265=3^4\times5\times13\) है। चरण 2: ये सभी गुणनखंड (n) के अभाज्य गुणनखंडन में मौजूद हैं। चरण 3: इसलिए (n), 5265 से अवश्य विभाज्य होगा।
In (n), the powers are \(2^6\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(675=3^3\times5^2\), which needs power 3 of 3.
Step 3
Exam Tip
Since (n) has only \(3^2\), (n) will not be divisible by 675. चरण 1: (n) में 2 की घात 6, 3 की घात 2 और 5 की घात 2 है। चरण 2: 675 का अभाज्य गुणनखंडन \(3^3\times5^2\) है, जिसमें 3 की घात 3 चाहिए। चरण 3: (n) में 3 की घात केवल 2 है, इसलिए (n), 675 से विभाज्य नहीं होगा।
In larger products, simplifying powers first is safer. चरण 1: \(2^8=256\) और \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(256\times27\times5=34560\)। चरण 3: बड़े गुणन में पहले घातों को सरल करना सुरक्षित रहता है।
Calculate \(2^4=16\), \(3^5=243\), and \(5^3=125\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times125=486000\).
Step 3
Exam Tip
Simplifying powers first makes the calculation easier. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), और \(5^3=125\) निकालें। चरण 2: \(16\times243\times125=486000\)। चरण 3: घातों को पहले सरल करने से गणना कम कठिन होती है।
The higher power is 7, so the answer is 7. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 2 की घातें 4 और 7 हैं। चरण 3: बड़ी घात 7 है, इसलिए उत्तर 7 होगा।
In HCF, take the smaller power of the common prime.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 7 are 1 and 2.
Step 3
Exam Tip
The smaller power is 1, so the answer is 1. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 7 की घातें 1 और 2 हैं। चरण 3: छोटी घात 1 है, इसलिए उत्तर 1 है।
For a perfect cube, exponents must be multiples of 3.
Step 2
Why this answer is correct
We must make \(2^8\), \(3^4\), and \(5^2\) into powers 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\). चरण 1: पूर्ण घन के लिए घातें 3 के गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^8\) को \(2^9\), \(3^4\) को \(3^6\), और \(5^2\) को \(5^3\) बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\) है।
For a perfect square, all exponents must be even, but the exponent of 3 is 3.
Step 3
Exam Tip
Dividing by 3 gives \(2^4\times3^2\times7^2\), a perfect square. चरण 1: \(21168=2^4\times3^3\times7^2\)। चरण 2: पूर्ण वर्ग के लिए सभी घातें सम होनी चाहिए, लेकिन 3 की घात 3 है। चरण 3: 3 से भाग देने पर \(2^4\times3^2\times7^2\) मिलेगा, जो पूर्ण वर्ग है।
In multiplication, exponents of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 7 in (x) is 3 and in (y) is 4.
Step 3
Exam Tip
In (xy), the power of 7 is (3+4=7). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 7 की घात 3 है और (y) में 7 की घात 4 है। चरण 3: (xy) में 7 की घात (3+4=7) होगी।
Powers of the same base 2 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 2 in (x) is 7 and in (y) is 6.
Step 3
Exam Tip
The total power is (7+6=13). चरण 1: समान आधार 2 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 2 की घात 7 और (y) में 2 की घात 6 है। चरण 3: कुल घात (7+6=13) होगी।
The distinct prime factors are 3, 5, 7, 11, and 13. चरण 1: \(45045=3465\times13\) लिखें। चरण 2: \(3465=3^2\times5\times7\times11\)। चरण 3: अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड 3, 5, 7, 11 और 13 हैं।
The smaller powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(11^1\).
Step 3
Exam Tip
\(8\times9\times11=792\), so the HCF is 792. चरण 1: समान अभाज्य गुणनखंड 2, 3 और 11 हैं। चरण 2: छोटी घातें \(2^3\), \(3^2\) और \(11^1\) हैं। चरण 3: \(8\times9\times11=792\), इसलिए महत्तम समापवर्तक 792 है।
For LCM, take the highest powers of all prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
The highest powers are \(2^5\), \(3^4\), (5), and \(11^2\).
Step 3
Exam Tip
\(32\times81\times5\times121=1568160\), so the answer is 1568160. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। चरण 2: बड़ी घातें \(2^5\), \(3^4\), (5) और \(11^2\) हैं। चरण 3: \(32\times81\times5\times121=1568160\), इसलिए उत्तर 1568160 है।
\(120=2^3\times3\times5\) and \(8400=2^4\times3\times5^2\times7\).
Step 3
Exam Tip
The power of 2 in the product is (3+4=7). चरण 1: गुणनफल \(=120\times8400\) होगा। चरण 2: \(120=2^3\times3\times5\) और \(8400=2^4\times3\times5^2\times7\)। चरण 3: गुणनफल में 2 की घात (3+4=7) होगी।
66 has no factor 13 and \(30030=2\times3\times5\times7\times11\times13\).
Step 3
Exam Tip
Therefore, the power of 13 in the product is (0+1=1). चरण 1: गुणनफल \(=66\times30030\) होगा। चरण 2: 66 में 13 नहीं है और \(30030=2\times3\times5\times7\times11\times13\) है। चरण 3: इसलिए गुणनफल में 13 की घात (0+1=1) होगी।
169 is composite, so \(169^2\) is not the final prime factorisation. चरण 1: \(28561=169\times169\) है। चरण 2: \(169=13^2\), इसलिए \(28561=13^4\)। चरण 3: 169 संयुक्त है, इसलिए \(169^2\) अंतिम अभाज्य गुणनखंडन नहीं है।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Reduce \(2^8\) to \(2^6\) by dividing by \(2^2\), and reduce \(3^5\) to \(3^3\) by dividing by \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
So the smallest divisor is \(2^2\times3^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: \(2^8\) को \(2^6\) बनाने के लिए \(2^2\) से और \(3^5\) को \(3^3\) बनाने के लिए \(3^2\) से भाग देना होगा। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा भाजक \(2^2\times3^2\) है।
To get the number from prime factorisation, multiply all factors. चरण 1: पहले \(2^5=32\) और \(3^3=27\) निकालें। चरण 2: \(32\times27\times5\times7=30240\)। चरण 3: अभाज्य गुणनखंडन से संख्या पाने के लिए सभी गुणनखंडों का गुणा करें।
For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
In prime powers, the smaller and higher exponents together give the total exponent.
Step 3
Exam Tip
Therefore, the answer is (ab). चरण 1: दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल, उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। चरण 2: अभाज्य घातों में छोटी और बड़ी घात मिलकर कुल घात देती हैं। चरण 3: इसलिए उत्तर (ab) है।
The ratio is \(20736\div288=72\). चरण 1: महत्तम समापवर्तक \(2^5\times3^2=288\) है। चरण 2: लघुत्तम समापवर्त्य \(2^8\times3^4=20736\) है। चरण 3: अनुपात \(20736\div288=72\) होगा।
Powers become \(2^{10}\), \(3^{7}\), and \(5^{7}\).
Step 3
Exam Tip
Counting with repetition gives (10+7+7=24). चरण 1: (xy) में समान आधारों की घातें जुड़ेंगी। चरण 2: 2 की घात (4+6=10), 3 की घात (5+2=7), और 5 की घात (3+4=7) होगी। चरण 3: दोहराव सहित कुल संख्या (10+7+7=24) है।
The higher power is 4, so the answer is 4. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात ली जाती है। चरण 2: 5 की घातें 2 और 4 हैं। चरण 3: बड़ी घात 4 है, इसलिए उत्तर 4 है।
The smaller power is 3, so the answer is 3. चरण 1: महत्तम समापवर्तक में छोटी घात ली जाती है। चरण 2: 3 की घातें 3 और 5 हैं। चरण 3: छोटी घात 3 है, इसलिए उत्तर 3 है।
