Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
The lemma connects dividend, divisor, quotient, and remainder.
Step 2
Why this answer is correct
The correct form is (a=bq+r), where the remainder is at least (0) and less than the divisor.
Step 3
Exam Tip
Always check the range of the remainder in exams. चरण 1: प्रमेय में भाज्य को भाजक, भागफल और शेषफल से जोड़ा जाता है। चरण 2: सही रूप (a=bq+r) है और शेषफल हमेशा (0) से बड़ा या बराबर तथा भाजक से छोटा होता है। चरण 3: परीक्षा में शेषफल की सीमा जरूर जांचें।
A. भागफल (5), शेषफल (5)/Quotient (5), remainder (5)
Step 1
Concept
We can write \(35=6\times5+5\).
Step 2
Why this answer is correct
The quotient is (5) and the remainder is (5), which is less than (6).
Step 3
Exam Tip
The remainder must never be equal to or greater than the divisor. चरण 1: \(35=6\times5+5\) लिखा जा सकता है। चरण 2: यहां भागफल (5) और शेषफल (5) है, जो (6) से छोटा है। चरण 3: शेषफल कभी भी भाजक के बराबर या उससे बड़ा नहीं होना चाहिए।
The range of the remainder is very important in the lemma.
Step 2
Why this answer is correct
The remainder may be (0), but it must be less than the divisor (b).
Step 3
Exam Tip
Read the inequality carefully in such questions. चरण 1: प्रमेय में शेषफल की सीमा बहुत महत्वपूर्ण होती है। चरण 2: शेषफल (0) हो सकता है, लेकिन वह भाजक (b) से छोटा ही रहता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में असमानता को ध्यान से पढ़ें।
The greatest multiple of (9) not exceeding (47) is (45).
Step 2
Why this answer is correct
So \(47=9\times5+2\), giving (q=5) and (r=2).
Step 3
Exam Tip
First find the nearest smaller multiple of the divisor. चरण 1: (47) में (9) का सबसे बड़ा गुणज (45) है। चरण 2: इसलिए \(47=9\times5+2\), यहां (q=5) और (r=2) है। चरण 3: पहले भाजक का निकटतम छोटा गुणज खोजें।
Since (3) is less than (7), (q=7,\ r=3) is correct.
Step 3
Exam Tip
Reject negative remainders or remainders equal to the divisor. चरण 1: \(7\times7=49\) और (52-49=3)। चरण 2: (3), (7) से छोटा है, इसलिए (q=7,\ r=3) सही है। चरण 3: ऋणात्मक या भाजक के बराबर शेषफल को तुरंत गलत मानें।
Remainders start from (0) and go up to one less than the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
The divisor is (8), so possible remainders are (0) to (7).
Step 3
Exam Tip
Do not include the divisor itself as a possible remainder. चरण 1: शेषफल (0) से शुरू होकर भाजक से एक कम तक हो सकता है। चरण 2: भाजक (8) है, इसलिए शेषफल (0) से (7) तक होंगे। चरण 3: संभव शेषफल गिनते समय भाजक को शामिल न करें।
A multiple of (5) leaves remainder (0), so the final remainder is (3).
Step 3
Exam Tip
Learn to identify (r) in the form (bq+r). चरण 1: रूप (5k+3) में (5k), (5) का गुणज है। चरण 2: गुणज को (5) से भाग देने पर शेष (0) रहता है, इसलिए कुल शेष (3) होगा। चरण 3: (bq+r) में (r) को पहचानना सीखें।
A. हर धनात्मक पूर्णांक को भाजक के गुणज और शेषफल के योग के रूप में लिखा जा सकता है/Every positive integer can be written as a multiple of the divisor plus a remainder
Step 1
Concept
The lemma gives a systematic way to express division.
Step 2
Why this answer is correct
In (a=bq+r), (bq) is a multiple of the divisor and (r) is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In meaning-based questions, understand both the formula and the words. चरण 1: प्रमेय विभाजन को व्यवस्थित रूप में लिखने का तरीका देता है। चरण 2: (a=bq+r) में (bq), भाजक का गुणज है और (r) शेषफल है। चरण 3: अर्थ आधारित प्रश्नों में सूत्र के साथ शब्दों को भी समझें।
In (a=bq+r), the small added part is the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In the given expression, (1) is less than (9), so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Do not interchange quotient and remainder. चरण 1: (a=bq+r) में अंत में जुड़ा छोटा भाग शेषफल होता है। चरण 2: दिए गए रूप में (1), (9) से छोटा है, इसलिए यही शेषफल है। चरण 3: भागफल और शेषफल को आपस में न बदलें।
The number is exactly divisible, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
In exact division, remember to write the remainder as (0). चरण 1: \(13\times7=91\) है। चरण 2: संख्या पूरी तरह विभाजित हो जाती है, इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: पूर्ण विभाजन में शेषफल (0) लिखना न भूलें।
\(4\times7=28\), the nearest smaller multiple of (4) to (29).
Step 2
Why this answer is correct
(29-28=1), so the correct form is \(29=4\times7+1\).
Step 3
Exam Tip
Do not allow the remainder to be negative or equal to (4). चरण 1: \(4\times7=28\), जो (29) से छोटा निकटतम गुणज है। चरण 2: (29-28=1), इसलिए सही रूप \(29=4\times7+1\) है। चरण 3: शेषफल को ऋणात्मक या (4) के बराबर न रहने दें।
The greatest possible remainder is always one less than the divisor. चरण 1: शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। चरण 2: (11) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (10) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल हमेशा भाजक से (1) कम होता है।
A. भाज्य भाजक से पूर्णतः विभाज्य है/The dividend is exactly divisible by the divisor
Step 1
Concept
Remainder (0) means nothing is left after division.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore, the dividend is exactly divisible by the divisor.
Step 3
Exam Tip
To identify exact divisibility, check the remainder. चरण 1: शेषफल (0) का अर्थ है कि कुछ भी बचा नहीं। चरण 2: इसलिए भाज्य, भाजक से पूर्णतः विभाज्य है। चरण 3: पूर्ण विभाज्यता पहचानने के लिए शेषफल देखें।
The remainder (6) is less than (10), so the form is correct.
Step 3
Exam Tip
When dividing by (10), the last digit often helps find the remainder. चरण 1: \(10\times7=70\) और (76-70=6)। चरण 2: शेषफल (6), (10) से छोटा है, इसलिए रूप सही है। चरण 3: दस से भाग देने पर अंतिम अंक अक्सर शेषफल बताने में मदद करता है।
The remainder can be from (0) to (5), because it must be less than (6).
Step 3
Exam Tip
Include (0) in the list of possible remainders. चरण 1: यहां भाजक (6) है। चरण 2: शेषफल (0) से (5) तक हो सकता है, क्योंकि उसे (6) से छोटा रहना है। चरण 3: शेषफल की सूची में (0) को शामिल करें।
Choose a multiple that does not exceed the dividend. चरण 1: \(5\times3=15\) है। चरण 2: (18-15=3), इसलिए शेषफल (3) होगा। चरण 3: ऐसा गुणज चुनें जो भाज्य से बड़ा न हो।
In (a=bq+r), (a) is the dividend and (b) is the divisor.
Step 2
Why this answer is correct
(q) represents the quotient and (r) represents the remainder.
Step 3
Exam Tip
Remembering the meaning of symbols helps solve short questions quickly. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य और (b) भाजक होता है। चरण 2: (q) भागफल को दर्शाता है और (r) शेषफल को। चरण 3: अक्षरों का अर्थ याद रखने से छोटे प्रश्न जल्दी हल होते हैं।
Here (r) is the part left after division, so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
Identify (q) and (r) separately. चरण 1: प्रमेय का रूप (a=bq+r) है। चरण 2: इसमें (r) वह भाग है जो विभाजन के बाद बचता है, इसलिए यह शेषफल है। चरण 3: (q) और (r) को अलग-अलग पहचानें।
In mental calculation, first take the nearest smaller multiple. चरण 1: \(9\times4=36\) है। चरण 2: (40-36=4), इसलिए शेषफल (4) है। चरण 3: मानसिक गणना में पहले निकटतम छोटा गुणज लें।
In the given form, (12) is multiplied by (q), so it is the divisor.
Step 3
Exam Tip
The number multiplying the quotient is usually the divisor. चरण 1: (a=bq+r) में (b) भाजक होता है। चरण 2: दिए गए रूप में (12), (q) से गुणा हो रहा है, इसलिए यही भाजक है। चरण 3: गुणा वाले पहले अंक को अक्सर भाजक माना जाता है।
In \(12\times4\), the number (4) is in the place of the quotient.
Step 3
Exam Tip
Match the whole form to identify divisor and quotient. चरण 1: (a=bq+r) में (q) भागफल है। चरण 2: \(12\times4\) में (4) भागफल के स्थान पर है। चरण 3: भाजक और भागफल को पहचानते समय पूरे रूप को मिलाएं।
To find the invalid form, check the range of the remainder.
Step 2
Why this answer is correct
In \(23=5\times3+8\), the remainder (8) is greater than the divisor (5).
Step 3
Exam Tip
Even if the equality is numerically true, check the remainder condition. चरण 1: अमान्य रूप खोजने के लिए शेषफल की सीमा जांचें। चरण 2: \(23=5\times3+8\) में शेषफल (8) है, जो भाजक (5) से बड़ा है। चरण 3: संख्या बराबर दिखे, फिर भी शेषफल की शर्त जरूर देखें।
When the divisor is (3), possible remainders are (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
Remainder (3) equals the divisor, so it is not possible.
Step 3
Exam Tip
Treat a remainder equal to the divisor as incorrect. चरण 1: भाजक (3) होने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: शेषफल (3) भाजक के बराबर है, इसलिए संभव नहीं है। चरण 3: भाजक के बराबर शेषफल को गलत मानें।
The quotient is decided by the nearest smaller multiple. चरण 1: \(10\times10=100\) है। चरण 2: \(101=10\times10+1\), इसलिए भागफल (10) है। चरण 3: शेषफल छोटा हो तो भी भागफल निकटतम छोटे गुणज से तय होता है।
Wrong options can be removed quickly by checking the remainder range. चरण 1: \(6\times6=36\) है। चरण 2: (37-36=1), और (1<6), इसलिए रूप सही है। चरण 3: शेषफल की सीमा से गलत विकल्प तुरंत हटाए जा सकते हैं।
Only (0) satisfies this range, so the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Use the inequality range to solve such questions. चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<1\) होगी। चरण 2: इस सीमा में केवल (0) आता है, इसलिए शेषफल (0) होगा। चरण 3: सीमा वाली असमानता लगाकर ऐसे प्रश्न हल करें।
With divisor (2), the remainder must satisfy \(0\le r<2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence (r=0) or (r=1).
Step 3
Exam Tip
This idea also helps in understanding even and odd numbers. चरण 1: भाजक (2) होने पर शेषफल \(0\le r<2\) होगा। चरण 2: इसलिए (r=0) या (r=1) हो सकता है। चरण 3: यही विचार सम और विषम संख्याओं को समझने में भी काम आता है।
When a number is divided by (2), the remainder can be (0) or (1).
Step 2
Why this answer is correct
An even number has remainder (0), so its form is (2q).
Step 3
Exam Tip
Remember (2q) and (2q+1) for even and odd number questions. चरण 1: किसी संख्या को (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) हो सकता है। चरण 2: सम संख्या में शेषफल (0) होता है, इसलिए रूप (2q) है। चरण 3: सम और विषम के प्रश्न में (2q) और (2q+1) याद रखें।
An odd number has remainder (1), so its form is (2q+1).
Step 3
Exam Tip
The remainder helps identify the type of number. चरण 1: (2) से भाग देने पर शेषफल (0) या (1) होता है। चरण 2: विषम संख्या में शेषफल (1) होता है, इसलिए रूप (2q+1) है। चरण 3: शेषफल से संख्या का प्रकार पहचानना आसान होता है।
(73-72=1), so the remainder is (1) and quotient is (9).
Step 3
Exam Tip
Choose the form where the remainder is less than the divisor. चरण 1: \(8\times9=72\) है। चरण 2: (73-72=1), इसलिए शेषफल (1) और भागफल (9) है। चरण 3: शेषफल को भाजक से छोटा रखने वाला रूप ही चुनें।
The division is exact, so the quotient is (12) and the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
Strong multiplication tables make such questions quick. चरण 1: \(7\times12=84\) है। चरण 2: विभाजन पूरा है, इसलिए भागफल (12) और शेषफल (0) है। चरण 3: गुणन तालिका मजबूत हो तो ऐसे प्रश्न तुरंत हल होते हैं।
Here the divisor is (15) and the remainder is (14), which is less than (15).
Step 3
Exam Tip
When the form is already given, the remainder can be read directly. चरण 1: रूप (a=bq+r) से तुलना करें। चरण 2: यहां भाजक (15) और शेषफल (14) है, जो (15) से छोटा है। चरण 3: जब रूप पहले से दिया हो, शेषफल सीधे पढ़ा जा सकता है।
A. क्योंकि शेषफल भाजक के बराबर है/Because the remainder is equal to the divisor
Step 1
Concept
Here the divisor appears to be (7) and the remainder (7).
Step 2
Why this answer is correct
The remainder must be less than the divisor, not equal to it.
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, it should be carried into the quotient. चरण 1: यहां भाजक (7) और शेषफल (7) दिख रहा है। चरण 2: शेषफल को भाजक से छोटा होना चाहिए, बराबर नहीं। चरण 3: बराबर शेषफल मिलने पर उसे अगले भागफल में बदल दें।
In (7q+7), the extra (7) can be treated as \(7\times1\).
Step 2
Why this answer is correct
So (7q+7=7(q+1)+0), where the remainder is (0).
Step 3
Exam Tip
If the remainder equals the divisor, add (1) to the quotient. चरण 1: (7q+7) में (7) को \(7\times1\) माना जा सकता है। चरण 2: इसलिए (7q+7=7(q+1)+0), जहां शेषफल (0) है। चरण 3: शेषफल भाजक के बराबर हो तो भागफल में (1) जोड़ें।
For division by (5), the last digit can also help. चरण 1: \(5\times13=65\) है। चरण 2: (66-65=1), इसलिए शेषफल (1) होगा। चरण 3: (5) से भाग में अंतिम अंक भी मदद करता है।
In the given form, (99) is on the left side, so the dividend is (99).
Step 3
Exam Tip
The dividend is the number being divided. चरण 1: (a=bq+r) में (a) भाज्य होता है। चरण 2: दिए गए रूप में बाईं ओर (99) है, इसलिए भाज्य (99) है। चरण 3: भाज्य वह संख्या है जिसे विभाजित किया जाता है।
\(16\times7=112\) and \(16\times8=128\), which is greater than (120).
Step 2
Why this answer is correct
(120-112=8), so the remainder is (8).
Step 3
Exam Tip
Never choose a multiple greater than the dividend. चरण 1: \(16\times7=112\) और \(16\times8=128\), जो (120) से बड़ा है। चरण 2: (120-112=8), इसलिए शेषफल (8) है। चरण 3: हमेशा भाज्य से बड़ा गुणज न चुनें।
The upper limit of the remainder is one less than the divisor. चरण 1: (a=4q+r) में भाजक (4) है। चरण 2: शेषफल (0,1,2,3) हो सकता है, लेकिन (4) नहीं। चरण 3: शेषफल की ऊपरी सीमा भाजक से एक कम होती है।
A. (a), (9) से पूर्णतः विभाज्य है/(a) is exactly divisible by (9)
Step 1
Concept
In (a=9q+0), the remainder is (0).
Step 2
Why this answer is correct
A zero remainder means the number is exactly divisible by (9).
Step 3
Exam Tip
Treat zero remainder as a sign of exact division. चरण 1: (a=9q+0) में शेषफल (0) है। चरण 2: शेषफल (0) होने पर संख्या (9) से पूर्णतः विभाज्य होती है। चरण 3: शून्य शेषफल को पूर्ण विभाजन का संकेत मानें।
A. (b) धनात्मक पूर्णांक और शून्य से अलग होना चाहिए/(b) must be a positive integer and non-zero
Step 1
Concept
The divisor cannot be zero in division.
Step 2
Why this answer is correct
In the lemma, (b) is taken as a positive integer.
Step 3
Exam Tip
Division by zero is not valid, so avoid such options. चरण 1: विभाजन में भाजक शून्य नहीं हो सकता। चरण 2: प्रमेय में (b) धनात्मक पूर्णांक माना जाता है। चरण 3: शून्य से भाग देना मान्य नहीं होता, इसलिए ऐसे विकल्प से बचें।
The remainder range always starts from (0). चरण 1: शेषफल की शर्त \(0\le r<10\) है। चरण 2: इसलिए सबसे छोटा संभव मान (0) है। चरण 3: शेषफल की शुरुआत हमेशा (0) से मानी जाती है।
The divisor is (10), so the remainder must be less than (10).
Step 2
Why this answer is correct
The greatest integer less than (10) is (9).
Step 3
Exam Tip
To get the greatest remainder, subtract (1) from the divisor. चरण 1: भाजक (10) है, इसलिए शेषफल (10) से छोटा होना चाहिए। चरण 2: (10) से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक (9) है। चरण 3: सबसे बड़ा शेषफल निकालने के लिए भाजक में से (1) घटाएं।
A correct Euclidean form always has the remainder in the valid range. चरण 1: \(11\times4=44\) है। चरण 2: (45-44=1), जो (11) से छोटा है। चरण 3: सही यूक्लिड रूप में शेषफल हमेशा मान्य सीमा में होगा।
The divisor is (7), so (7q) represents a multiple of it.
Step 2
Why this answer is correct
Adding remainder (6) gives (7q+6).
Step 3
Exam Tip
In such questions, put the divisor in the multiple part. चरण 1: भाजक (7) है, इसलिए (7q) उसका गुणज होगा। चरण 2: शेषफल (6) जोड़ने पर संख्या (7q+6) बनेगी। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में भाजक को गुणज वाले भाग में रखें।
A. क्योंकि (12q), (12) का गुणज है और (5<12)/Because (12q) is a multiple of (12) and (5<12)
Step 1
Concept
(12q) is exactly divisible by (12).
Step 2
Why this answer is correct
The leftover part is (5), and it is less than (12), so it is the remainder.
Step 3
Exam Tip
In (bq+r), (bq) is the multiple and (r) is the remainder. चरण 1: (12q), (12) से पूर्णतः विभाजित होता है। चरण 2: बचा हुआ (5) है और यह (12) से छोटा है, इसलिए वही शेषफल है। चरण 3: (bq+r) में (bq) गुणज और (r) शेषफल होता है।
A. भागफल (11), शेषफल (1)/Quotient (11), remainder (1)
Step 1
Concept
\(9\times11=99\).
Step 2
Why this answer is correct
(100-99=1), so the quotient is (11) and the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
Do not accept options with an oversized remainder in Euclid’s lemma. चरण 1: \(9\times11=99\) है। चरण 2: (100-99=1), इसलिए भागफल (11) और शेषफल (1) है। चरण 3: बड़े शेषफल वाले विकल्प को यूक्लिड प्रमेय में स्वीकार न करें।
For a divisor (b), the number of possible remainders is (b). चरण 1: भाजक (3) होने पर शेषफल (0,1,2) हो सकते हैं। चरण 2: कुल तीन अलग-अलग शेषफल संभव हैं। चरण 3: किसी भाजक (b) के लिए संभव शेषफलों की संख्या (b) होती है।
Since (28) is greater than (27), the quotient is (6).
Step 3
Exam Tip
For the quotient, choose a multiple that does not exceed the dividend. चरण 1: \(4\times6=24\) और \(4\times7=28\) है। चरण 2: (28), (27) से बड़ा है, इसलिए भागफल (6) होगा। चरण 3: भागफल के लिए ऐसा गुणज चुनें जो भाज्य से अधिक न हो।
After finding the quotient, subtract to get the remainder. चरण 1: \(27=4\times6+3\) लिखा जा सकता है। चरण 2: इसलिए शेषफल (3) है और यह (4) से छोटा है। चरण 3: भागफल मिलने के बाद घटाकर शेषफल निकालें।
A. दो धनात्मक पूर्णांकों के विभाजन को सही रूप में लिखने में/Writing the division of two positive integers in correct form
Step 1
Concept
This lemma explains the basic structure of division.
Step 2
Why this answer is correct
It helps write the dividend, divisor, quotient, and remainder in the form (a=bq+r).
Step 3
Exam Tip
In the chapter on real numbers, it becomes a base for later methods. चरण 1: यह प्रमेय विभाजन की मूल रचना समझाता है। चरण 2: इसकी मदद से (a=bq+r) रूप में भाज्य, भाजक, भागफल और शेषफल को लिखा जाता है। चरण 3: वास्तविक संख्याओं के अध्याय में यह आगे की विधियों का आधार है।
