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A. बिंदु (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))/Point (\left\(\frac{25}{7},\frac{23}{7}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{25}{7}\) और \(y=\frac{23}{7}\) मिलता है। ग्राफ पर यही प्रतिच्छेद बिंदु होगा। / Solving both equations gives \(x=\frac{25}{7}\) and \(y=\frac{23}{7}\). On the graph this is the intersection point.
A. बिंदु (\left\(\frac{65}{17},\frac{65}{17}\right\))/Point (\left\(\frac{65}{17},\frac{65}{17}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x+5y=23) से (x=23-5y) रखकर \(y=\frac{65}{17}\) मिलता है। फिर \(x=\frac{65}{17}\) है। / Using (x=23-5y) from (x+5y=23) gives \(y=\frac{65}{17}\). Then \(x=\frac{65}{17}\).
A. बिंदु (\left\(2,3\right\))/Point (\left\(2,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(2,3\right\)) दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। कठिन विकल्पों में प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन सबसे तेज जाँच है। / (\left\(2,3\right\)) satisfies both equations. In difficult options, direct substitution is the fastest check.
C. बिंदु (\left\(\frac{106}{19},\frac{69}{19}\right\))/Point (\left\(\frac{106}{19},\frac{69}{19}\right\))
Explanation
Simple Explanation
उन्मूलन से (19y=69) और \(x=\frac{106}{19}\) मिलता है। भिन्न निर्देशांक भी ग्राफीय हल हो सकते हैं। / Elimination gives (19y=69) and \(x=\frac{106}{19}\). Fraction coordinates can also be graphical solutions.
B. समांतर और अलग रेखाएँ/Parallel and distinct lines
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{10}{7}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (2x-3y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (2x-3y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-2y=10), जबकि दूसरा (6x-2y=11) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-2y=10), while the second is (6x-2y=11). Hence the lines are parallel and have no solution.
A. (\left\(4,0\right\)) और (\left\(0,-7\right\))/(\left\(4,0\right\)) and (\left\(0,-7\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=0) पर (x=4) और (x=0) पर (y=-7)। ऋण अवरोध को सही दिशा में अंकित करें। / At (y=0), (x=4), and at (x=0), (y=-7). Plot the negative intercept in the correct direction.
A. बिंदु (\left\(-4,-11\right\))/Point (\left\(-4,-11\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=-4) रखने पर (3\left\(-4\right\)-2y=10), इसलिए (y=-11)। ऊर्ध्वाधर रेखा में (x) पहले से निश्चित होता है। / Putting (x=-4) gives (3\left\(-4\right\)-2y=10), so (y=-11). In a vertical line, (x) is already fixed.
A. बिंदु (\left\(8,5\right\))/Point (\left\(8,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(y=5) रखने पर (4x-15=17), इसलिए (x=8)। क्षैतिज रेखा में (y) का मान तय रहता है। / Putting (y=5) gives (4x-15=17), so (x=8). In a horizontal line, the value of (y) is fixed.
तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। इसलिए अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। / When all three ratios are equal, both equations represent the same line. Therefore there are infinitely many common points.
C. ठीक (1) हल होता है/There is exactly (1) solution
Explanation
Simple Explanation
असमान गुणांक अनुपात होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए युग्म संगत और स्वतंत्र होता है। / When coefficient ratios are unequal, the lines intersect at one point. Therefore the pair is consistent and independent.
B. रेखाएँ समांतर और अलग होंगी/Lines will be parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
यह स्थिति अलग-अलग समांतर रेखाओं की है। ऐसी रेखाओं का कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। / This condition represents distinct parallel lines. Such lines have no common point.
A. बिंदु (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))/Point (\left\(4,\frac{7}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण जोड़ने पर (4x=16), इसलिए (x=4)। फिर (x+2y=11) से \(y=\frac{7}{2}\)। / Adding the equations gives (4x=16), so (x=4). Then (x+2y=11) gives \(y=\frac{7}{2}\).
B. बिंदु (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))/Point (\left\(3,\frac{5}{2}\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) रखने पर दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं। ग्राफ में भिन्न निर्देशांक को पैमाने से सावधानीपूर्वक पढ़ें। / (\left\(3,\frac{5}{2}\right\)) satisfies both equations. Read fraction coordinates carefully using scale on the graph.
A. बिंदु (\left\(1,5\right\))/Point (\left\(1,5\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(1,5\right\)) पर (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), लेकिन (1+5=6)। सामान्य हल बनने के लिए दोनों समीकरण सत्य होने चाहिए। / At (\left\(1,5\right\)), (2\left\(1\right\)+5\left\(5\right\)=27), but (1+5=6). To be a common solution, both equations must be true.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
बिंदु में पहला निर्देशांक (x) और दूसरा (y) होता है। ऋण भिन्न निर्देशांक पढ़ते समय क्रम न बदलें। / The first coordinate of a point is (x) and the second is (y). Do not change order while reading negative fraction coordinates.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (6x-4y=12), जबकि दूसरा (6x-4y=18) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (6x-4y=12), while the second is (6x-4y=18). Hence the lines are parallel and distinct.
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=5\)। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती होंगी। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=5\). Therefore both lines will be coincident.
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), लेकिन \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4}\)। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत हैं। / \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=2\), but \(\frac{c_1}{c_2}=\frac{9}{4}\). Hence the lines are parallel and inconsistent.
तीसरे युग्म में \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\)। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं और युग्म संगत स्वतंत्र है। / In the third pair, \(\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\). Hence the lines intersect at one point and the pair is consistent independent.
A. (\left\(0,-4\right\)) और (\left\(12,0\right\))/(\left\(0,-4\right\)) and (\left\(12,0\right\))
Explanation
Simple Explanation
(x=0) पर (y=-4) और (y=0) पर (x=12)। अवरोध निकालते समय कौन-सा चर शून्य रखा है, यह ध्यान रखें। / At (x=0), (y=-4), and at (y=0), (x=12). While finding intercepts, note which variable is kept zero.
\(2.25=\frac{9}{4}\) और \(-1.5=-\frac{3}{2}\)। दशमलव निर्देशांक को सरल भिन्न में बदलना बेहतर रहता है। / \(2.25=\frac{9}{4}\) and \(-1.5=-\frac{3}{2}\). It is better to convert decimal coordinates into simplified fractions.
A. बिंदु (\left\(3,4\right\))/Point (\left\(3,4\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(3,4\right\)) रखने पर (2\left\(3\right\)+4=10) और (3+2\left\(4\right\)=11)। यही दोनों रेखाओं का सामान्य बिंदु है। / Substituting (\left\(3,4\right\)) gives (2\left\(3\right\)+4=10) and (3+2\left\(4\right\)=11). This is the common point of both lines.
A. बिंदु (\left\(\frac{42}{11},\frac{67}{11}\right\))/Point (\left\(\frac{42}{11},\frac{67}{11}\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण से (y=5x-13) रखकर \(x=\frac{42}{11}\) मिलता है। फिर \(y=\frac{67}{11}\) है। / Using (y=5x-13) from the first equation gives \(x=\frac{42}{11}\). Then \(y=\frac{67}{11}\).
A. (x=1,\ y=12) और (x=3,\ y=4)/(x=1,\ y=12) and (x=3,\ y=4)
Explanation
Simple Explanation
(x=1) पर (y=12) और (x=3) पर (y=4)। मान-सारणी का हर बिंदु समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। / At (x=1), (y=12), and at (x=3), (y=4). Every point in the value table must satisfy the equation.
दोनों बिंदु (2x+y=5) को संतुष्ट करते हैं। दो सही बिंदु रेखा पहचानने में पर्याप्त होते हैं। / Both points satisfy (2x+y=5). Two correct points are enough to identify a line.
C. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=10) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=10). Same left side with different constants gives parallel lines.
C. प्रतिच्छेद बिंदु (\left\(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right\)) हो/The intersection point is (\left\(\frac{7}{3},\frac{5}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
भिन्न निर्देशांक ग्राफ से पढ़ते समय अधिक सावधानी चाहिए। ऐसे प्रश्नों में पैमाना बहुत स्पष्ट होना चाहिए। / Fractional coordinates need more care when read from a graph. In such questions, the scale must be very clear.
B. बिंदु (\left\(4,\frac{11}{3}\right\))/Point (\left\(4,\frac{11}{3}\right\))
Explanation
Simple Explanation
पहले से दूसरे को घटाने पर (4y=12), इसलिए (y=3) नहीं बल्कि जाँच जरूरी है। सही हल (\left\(5,3\right\)) है। / Subtracting the second from the first gives (4y=12), so (y=3); careful checking is needed. The correct solution is (\left\(5,3\right\)).
A. बिंदु (\left\(5,3\right\))/Point (\left\(5,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(5,3\right\)) रखने पर (2\left\(5\right\)+3\left\(3\right\)=19) और (2\left\(5\right\)-3=7)। दोनों सत्य हों तो यही हल है। / Substituting (\left\(5,3\right\)) gives (2\left\(5\right\)+3\left\(3\right\)=19) and (2\left\(5\right\)-3=7). If both are true, this is the solution.
(2x+ay=16) में (\left\(2,5\right\)) रखने पर (4+5a=16)। इससे \(a=\frac{12}{5}\) मिलता है। / Putting (\left\(2,5\right\)) in (2x+ay=16) gives (4+5a=16). Thus \(a=\frac{12}{5}\).
(2x+4y=18) को (2) से भाग देने पर (x+2y=9) मिलता है। इसलिए दोनों ग्राफ पर एक ही रेखा हैं। / Dividing (2x+4y=18) by (2) gives (x+2y=9). Therefore both are the same line on the graph.
(4x-6y=18) को (2) से भाग देने पर (2x-3y=9) मिलता है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक अलग समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing (4x-6y=18) by (2) gives (2x-3y=9). Same left side with different constants gives distinct parallel lines.
A. बिंदु (\left\(4,3\right\))/Point (\left\(4,3\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=3)। वास्तविक स्थिति में यही मिलन बिंदु है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=3). In a real situation this is the meeting point.
A. बिंदु (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))/Point (\left\(8,\frac{13}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (x=8), फिर (8+5y=21) से \(y=\frac{13}{5}\)। यही ग्राफीय प्रतिच्छेद है। / Subtracting the equations gives (x=8), then (8+5y=21) gives \(y=\frac{13}{5}\). This is the graphical intersection.
A. बिंदु (\left\(\frac{21}{5},\frac{23}{5}\right\))/Point (\left\(\frac{21}{5},\frac{23}{5}\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{21}{5}\) और \(y=\frac{23}{5}\) मिलता है। यह बिंदु दोनों रेखाओं पर है। / Solving both equations gives \(x=\frac{21}{5}\) and \(y=\frac{23}{5}\). This point lies on both lines.
पहले समीकरण में (\left\(2,4\right\)) रखने पर (2k+8=14)। इससे (k=3) मिलता है। / Putting (\left\(2,4\right\)) in the first equation gives (2k+8=14). This gives (k=3).
A. चिह्न और निर्देशांक क्रम की गलती/Error of sign and coordinate order
Explanation
Simple Explanation
बिंदु (\left\(6,-2\right\)) में (x=6) और (y=-2) है। निर्देशांक उलटने से और चिह्न बदलने से उत्तर गलत हो जाता है। / In (\left\(6,-2\right\)), (x=6) and (y=-2). Reversing coordinates and changing sign makes the answer wrong.
A. बिंदु (\left\(4,8\right\))/Point (\left\(4,8\right\))
Explanation
Simple Explanation
दोनों समीकरण घटाने पर (2x=8), इसलिए (x=4) और (y=8)। संदर्भ कोई भी हो, प्रतिच्छेद बिंदु ही हल है। / Subtracting the equations gives (2x=8), so (x=4) and (y=8). Whatever the context, the intersection point is the solution.
संपाती होने के लिए दोनों समीकरण समान रूप में होने चाहिए। इसलिए (a=3) होगा। / For coincident lines, both equations must be in the same form. Therefore (a=3).
(2x+6y=18) को (2) से भाग देने पर (x+3y=9) मिलता है। इसलिए (b=3) देने पर रेखाएँ समांतर और अलग होंगी। / Dividing (2x+6y=18) by (2) gives (x+3y=9). Thus (b=3) makes the lines parallel and distinct.
A. बिंदु (\left\(0,-3\right\))/Point (\left\(0,-3\right\))
Explanation
Simple Explanation
(\left\(0,-3\right\)) रखने पर (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12)। ऋण (y)-अवरोध ग्राफ में नीचे की ओर लगाया जाता है। / Substituting (\left\(0,-3\right\)) gives (3\left\(0\right\)-4\left\(-3\right\)=12). A negative (y)-intercept is plotted downward on the graph.
यहाँ \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\)। प्रतिच्छेद बिंदु से (x) और (y) के मान सीधे पढ़े जाते हैं। / Here \(x+y=\frac{5}{2}+\frac{7}{2}=\frac{12}{2}=6\). Values of (x) and (y) are read directly from the intersection point.
समांतर होने के लिए \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), इसलिए (k=1)। नियतांकों का अनुपात अलग है, इसलिए रेखाएँ अलग समांतर हैं। / For parallel lines, \(\frac{k}{2}=\frac{3}{6}\), so (k=1). The constants ratio is different, so the lines are distinct parallel lines.
