Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
योग ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}) है। / The sum is ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंडों में पूर्ण वर्गों का क्रम पहचानें। / Recognize the pattern of perfect-square factors.
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Both (p) and (q) turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) मानकर वर्ग करने से \(p^2=5q^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और फिर (q) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This makes both (p) and (q) divisible by (5), contradicting that they are coprime.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में साझा गुणनखंड मिलना ही मुख्य विरोध है। / Finding a common factor is the key contradiction in the proof.
A. \(\sqrt{12}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) और \(\sqrt{3}\) दोनों अपरिमेय हैं। / \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) and \(\sqrt{3}\) are both irrational.
Step 2
Why this answer is correct
उनका गुणन \(\sqrt{36}=6\) परिमेय है, और योग \(3\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Their product is \(\sqrt{36}=6\), which is rational, and their sum is \(3\sqrt{3}\), which is irrational.
Step 3
Exam Tip
योग और गुणन की प्रकृति अलग-अलग जाँचें। / Check the nature of the sum and product separately.
A. (x) अपरिमेय है और \(x^2\) परिमेय है/(x) is irrational and \(x^2\) is rational
Step 1
Concept
\(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\) है, जो अपरिमेय है क्योंकि \(\frac{3}{2}\) परिमेय पूर्ण वर्ग नहीं है। / \(x=\sqrt{\frac{3}{2}}\), which is irrational because \(\frac{3}{2}\) is not a perfect square of a rational number.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2=\frac{3}{2}\), जो परिमेय है। / \(x^2=\frac{3}{2}\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
किसी अपरिमेय संख्या का वर्ग कभी-कभी परिमेय हो सकता है। / The square of an irrational number can sometimes be rational.
तीन पदों के वर्ग में अलग-अलग वर्गों के साथ दो-दो पदों के गुणन भी आते हैं। / In the square of three terms, pairwise products appear along with individual squares.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\) होगा। / Thus \(a^2=10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}\).
Step 3
Exam Tip
कई मूलों के योग का वर्ग करते समय सभी जोड़ीदार गुणन लिखें। / While squaring a sum of many surds, write all pairwise products.
\(x^2+\frac{1}{x^2}=10\) की पहचान से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। / Using the identity \(x^2+\frac{1}{x^2}=10\), we get \(x^4-10x^2+1=0\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में (x) और उसके संयुग्मी व्युत्क्रम का संबंध पहचानें। / In such questions, recognize the relation between (x) and its conjugate reciprocal.
