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अपवादगत रूप से \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\) का प्रयोग करें। यहाँ \(a=\sqrt{11}\), \(b=\sqrt{2}\) तो \(x^2=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2-2\cdot\sqrt{11}\cdot\sqrt{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). विकल्प B में मध्य पद का संकेत उल्टा है; विकल्प C में स्थायी पद गलत है (13 के बजाय 9); विकल्प D में गुणन गलत रूप से किया गया है. परीक्षा टिप: कटौती करते समय मध्य पद \(-2ab\) का संकेत और गुणन कर रैडिकैंड्स (\(\sqrt{11}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{22}\)) अवश्य जाँचें। / Use the identity \((a-b)^2=a^2+b^2-2ab\). With \(a=\sqrt{11}\) and \(b=\sqrt{2}\), we get \(x^2=(\sqrt{11})^2+(\sqrt{2})^2-2\sqrt{11}\sqrt{2}=11+2-2\sqrt{22}=13-2\sqrt{22}\). Option B has the sign of the middle term wrong; option C has the constant term incorrect; option D incorrectly multiplies the terms. Exam tip: always expand using \((a-b)^2\) and simplify \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) carefully.
वर्ग करने पर \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\) प्राप्त होता है। इसलिए \(x^2-5=2\sqrt{6}\)। विकल्प C (\(4\sqrt{6}\)) गलत है — वहाँ बीच के पद का गुणन त्रुटिपूर्ण रूप से दोगुना कर दिया गया है; विकल्प D गलत संकेत देता है; विकल्प B (0) भी असंगत है क्योंकि रैडिकल शून्य नहीं होते। परीक्षा सुझाव: दो परस्पर वर्गघटक का वर्ग लेते समय बीच का पद हमेशा \(2ab\) होता है — इसे याद रखें। / Square the sum: \(x^2=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=3+2+2\sqrt{6}=5+2\sqrt{6}\). Hence \(x^2-5=2\sqrt{6}\). Option C (\(4\sqrt{6}\)) is wrong because the middle term was doubled again; option D has the wrong sign; option B (0) is inconsistent since the radicals do not cancel. Exam tip: when expanding \((a+b)^2\), remember the middle term is \(2ab\).
पहले भाग का मान है \(\sqrt{0.49}=0.7\)। दूसरे भाग का मान है \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\)। इनका योग है \(0.7+0.2=0.9\)। विकल्प B (0.7) केवल \(\sqrt{0.49}\) का मान है और इसमें \(\frac{1}{\sqrt{25}}\) जोड़ा नहीं गया है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-Tip: पहले प्रत्येक घात-मूल को अलग से सरल करें और फिर जोड़ें; दशमलव के वर्गमूल सीधे दशमलव रूप में मिलते हैं। / Compute each term separately: \(\sqrt{0.49}=0.7\) and \(\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{5}=0.2\). Their sum is \(0.7+0.2=0.9\). Option B (0.7) represents only \(\sqrt{0.49}\) and omits the second term, so it is incorrect. Exam tip: simplify square roots first (including decimals), then perform the arithmetic to avoid sign or omission errors.
\(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\) और \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\)। इसलिए \(\sqrt{3}+\sqrt{27}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(1+3+5)\sqrt{3}=9\sqrt{3}\)। विकल्प B (\(\sqrt{105}\)) गलत है क्योंकि अलग-अलग घनरहित पदों को एक ही द्विघातांतर्गत जोड़कर नहीं जोड़ा जा सकता जब तक उनके अंदर के भाग समान न हों। विकल्प C और D अंकगणितीय भूल हैं (1+3+5 का जोड़ 8 या 6 नहीं होता)। परीक्षा-सुझाव: रैडिकल्स को सरलीकृत करने के लिए अंदर से पूर्ण वर्ग निकालें और केवल उसी तरह के (like) पदों को जोड़ें। / Compute square factors: \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\) and \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\). So \(\sqrt{3}+\sqrt{27}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+3\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(1+3+5)\sqrt{3}=9\sqrt{3}\). Choice B (\(\sqrt{105}\)) is a common mistake of combining radicals under one root; you can only do that when appropriate (e.g., same radicand). Choices C and D result from incorrect addition of coefficients. Exam tip: always factor out perfect squares from inside radicals first, then combine like radical terms by adding their coefficients.
\(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}\) क्योंकि \(144\) एक पूर्ण वर्ग है और \(144=12^2\)। अतः \(\sqrt{432}=\sqrt{144}\times\sqrt{3}=12\sqrt{3}\)। विकल्प B और C संख्यात्मक रूप से \(12\sqrt{3}\) के बराबर नहीं हैं; विकल्प D में \(3\sqrt{144}=3\times12=36\) जो स्पष्ट रूप से गलत है। परीक्षा सुझाव: किसी भी घातमूल को सरल करते समय सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग विभाजक खोजें (यहाँ 144), उसे बाहर निकालें और फिर बाकी को सरल करें। / Factor the radicand: \(\sqrt{432}=\sqrt{144\times3}\). Since \(144=12^2\), extract the square root: \(\sqrt{432}=\sqrt{144}\,\sqrt{3}=12\sqrt{3}\). Options B and C are not equal to \(12\sqrt{3}\) numerically; option D simplifies to \(3\sqrt{144}=3\times12=36\), which is incorrect. Exam tip: always look for the largest perfect square factor of the number under the radical and pull its square root outside first.
\(\sqrt{275}=\sqrt{25\times11}=5\sqrt{11}\) होता है। अतः \(5\sqrt{11}-\sqrt{275}=5\sqrt{11}-5\sqrt{11}=0\)। विकल्प B (\,\(10\sqrt{11}\)\,) गलत है क्योंकि वह पहले पद का दोगुना है; विकल्प C (\(5\sqrt{11}\)) गलत है क्योंकि यह केवल पहले पद है जबकि हमें दोनों पदों का अंतर लेना है; विकल्प D (\(\sqrt{11}\)) भी गलत है क्योंकि वह पाँचवें भाग के बराबर है। परीक्षा-सूत्र: वर्गमूलों में भीतर के मान को पूर्णवर्गों के गुणनखंडों में विभाजित कर सरल करें (यानी \(\sqrt{275}=\sqrt{25\cdot11}\)). / Note that \(\sqrt{275}=\sqrt{25\times11}=5\sqrt{11}\). Therefore \(5\sqrt{11}-\sqrt{275}=5\sqrt{11}-5\sqrt{11}=0\). Option B (\(10\sqrt{11}\)) is incorrect because it is twice the term, option C (\(5\sqrt{11}\)) is just the first term without subtraction, and option D (\(\sqrt{11}\)) is only one-fifth of the term. Exam tip: always simplify radicals by factoring out perfect squares before performing addition or subtraction of surds.
\(\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{49\cdot3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=7\). इसलिए सही उत्तर 7 है। सबसे नज़दीकी भ्रामक विकल्प D (\(7\sqrt{3}\)) है — वह \(\sqrt{147}\) का मान है पर विभाजन के बाद \(\sqrt{3}\) से काटने पर \(7\) मिलता है। विकल्प B (1) तब गलत होता है जब गलत तरीके से सिर्फ संख्याओं को आपस में काट दिया जाए; विकल्प C (49) तब गलती से मिलता है जब 7 को वर्ग कर दिया जाए। परीक्षा-सुझाव: वर्गमूल से सरल करते समय अंदर के गुणनखंड में पूर्ण-घनजड़ (perfect square) निकालें और तभी कटौती करें। / \(\frac{\sqrt{147}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{49\cdot3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=7\). Hence the value is 7. The closest distractor is D (\(7\sqrt{3}\)) — that equals \(\sqrt{147}\), not the quotient after dividing by \(\sqrt{3}\). Option B (1) is wrong due to incorrect cancellation of unrelated parts; option C (49) is the result of mistakenly squaring 7. Exam tip: factor out perfect square factors from under the radical first, then simplify by cancelling common radicals.
\(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\)। इसलिए \(4\sqrt{7}-\sqrt{112}=4\sqrt{7}-4\sqrt{7}=0\)। विकल्प A सही है। अन्य विकल्पों में से सबसे निकट भ्रामक विकल्प \(\sqrt{7}\) है, पर वह भी सही नहीं क्योंकि दोनों पदों का घटाव शून्य देता है। परीक्षा टिप: सूड (surd) सरल करने के लिए नंबर को परफेक्ट स्क्वेयर के गुणनखंडों में विभाजित करें। / \(\sqrt{112}=\sqrt{16\times7}=4\sqrt{7}\). Hence \(4\sqrt{7}-\sqrt{112}=4\sqrt{7}-4\sqrt{7}=0\). Option A is correct. A tempting distractor is \(\sqrt{7}\), but it is not equal because the subtraction yields zero after simplifying \(\sqrt{112}\). Exam tip: always factor out perfect square factors from square roots to simplify surds quickly.
पहले प्रत्येक घनमूल के अंदर के गुणनखंडों को देखें: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\)। अतः अन्तर \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\) है। निकटतम विचलन (\(3\sqrt{3}\)) केवल \(\sqrt{27}\) के बराबर है — यह अंतर नहीं है; कुछ विद्यार्थी घटाने के बजाय गलत तरीके से एक ही पद समझ लेते हैं। परीक्षा-टिप: पहले भीतर के पूर्ण वर्ग निकालें और फिर समान घनमूलों को गुणक के रूप में बाहर निकालकर सरल जोड़/घटाव करें। / Simplify each radical: \(\sqrt{192}=\sqrt{64\times3}=8\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt{3}\). So the difference is \(8\sqrt{3}-3\sqrt{3}=(8-3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}\). The nearest distractor \(3\sqrt{3}\) equals \(\sqrt{27}\), not the difference; a common mistake is to confuse one term with the result. Exam tip: pull out perfect squares first and then combine like surd terms by adding/subtracting their coefficients.
\(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\times\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). अतः सही उत्तर \(9\sqrt{2}\) है। विकल्प B (\(6\sqrt{3}\)) गलत है क्योंकि \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), जो \(\sqrt{162}\) से छोटा है। विकल्प C और D भी मानानुसार भिन्न हैं (\(18=\sqrt{324}\), \(18\sqrt{2}\) बहुत बड़ा)। परीक्षा युक्ति: हमेशा अंकों को गुणन के रूप में लिखकर सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग पहले बाहर निकालें। / \(\sqrt{162}=\sqrt{81\times2}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{2}=9\sqrt{2}\). Therefore the correct simplified form is \(9\sqrt{2}\). Option B (\(6\sqrt{3}\)) is incorrect because \(6\sqrt{3}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{108}\), which is not equal to \(\sqrt{162}\). Options C and D are also numerically different (\(18=\sqrt{324}\), and \(18\sqrt{2}\) is much larger). Exam tip: factor out the largest perfect square from under the root to simplify quickly.
\(\sqrt{13}\) सही उत्तर है क्योंकि \(9<13<16\) होने से \(3<\sqrt{13}<4\)। साथ ही 13 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{13}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्प गलत क्योंकि: \(\dfrac{22}{7}\) और \(\dfrac{7}{2}\) दोनों स्पष्ट रूप से पूर्णांक का अनुपात हैं (यानी परिमेय), और \(\sqrt{16}=4\) है जो 3 और 4 के बीच नहीं आता। परीक्षा टिप: किसी \(\sqrt{n}\) के लिए जाँचें कि क्या \(n\) दो पूर्ण वर्गों के बीच है (उदाहरण: \(9\) और \(16\)) और यह कि \(n\) पूर्ण वर्ग है या नहीं। / \(\sqrt{13}\) is correct because \(9<13<16\) implies \(3<\sqrt{13}<4\), and 13 is not a perfect square so \(\sqrt{13}\) is irrational. The other choices fail: \(22/7\) and \(7/2\) are ratios of integers (hence rational), and \(\sqrt{16}=4\) is not between 3 and 4. Exam tip: For \(\sqrt{n}\) check whether n lies between two consecutive perfect squares to locate it, and test rationality by seeing if the number can be written as a fraction of integers or is a square root of a non-square integer.
\(\sqrt{43}\) क्योंकि 36 < 43 < 49 होने से \(\sqrt{36}=6 < \sqrt{43} < \sqrt{49}=7\)। 43 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{43}\) अपरिमेय है। अन्य विकल्पों की जाँच: \(\sqrt{36}=6\) सीमा पर है (बिच में नहीं), \(\sqrt{50}\approx7.07\) इसलिए 7 से बड़ा है, और \(\tfrac{13}{2}=6.5\) भले ही 6 और 7 के बीच है पर यह गुणोत्तर (rational) है। परीक्षा-सुझाव: किसी विकल्प को सटीक जाँचने के लिए उसे निकटतम पूर्ण वर्गों के बीच डालें और यह देखें कि संख्या पूर्ण वर्ग है या नहीं। / \(\sqrt{43}\) is between 6 and 7 because 36 < 43 < 49 implies \(\sqrt{36}=6 < \sqrt{43} < \sqrt{49}=7\). Since 43 is not a perfect square, \(\sqrt{43}\) is irrational. Checking other options: \(\sqrt{36}=6\) equals the lower endpoint, \(\sqrt{50}\approx7.07\) is greater than 7, and \(13/2=6.5\) is rational even though it lies between 6 and 7. Exam tip: compare under-the-root numbers with nearest perfect squares to locate square roots and test for irrationality by checking for perfect squares.
पहला कदम घातांक-अंतर्गत पूर्ण वर्ग गुणनखंड निकालना है: \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\) और \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\)। इसलिए अंतर \(5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\) मिलता है। विकल्प B (\(\sqrt{3}\)) अक्सर तब चुना जाता है जब गुणांक ग़लत घटा दिए जाएं; यह केवल \(1\times\sqrt{3}\) है जो सही मान से छोटा है। परीक्षात्मक सुझाव: हर बार भीतर के संख्या को उसके वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करें (जैसे 75=25×3) ताकि सरलतम रूप तुरंत मिल सके और दशमलव जाँच के लिए दोनों पक्षों का मान ग्रहण कर लें। / Simplify the radicals by factoring out square factors: \(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\) and \(\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}\). Subtracting gives \(5\sqrt{3}-3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\), so option A is correct. Option B (\(\sqrt{3}\)) is a common distractor arising from subtracting the radical parts incorrectly (treating coefficients as 1 and 0); it equals \(1\sqrt{3}\), not \(2\sqrt{3}\). Exam tip: always factor numbers under the root into square × non-square, simplify each surd, then combine like surds; if unsure, compare decimal values to check your result quickly.
A. यह अपरिमेय संख्या है/It is an irrational number
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{11}\) तब अपरिमेय है जब 11 पूर्ण वर्ग नहीं होता — इसलिए \(\sqrt{11}\) अपरिमेय है। यदि आप एक परिमेय संख्या (3) में से एक अपरिमेय संख्या घटाते हैं तो परिणाम सामान्यतः अपरिमेय ही रहता है। व्याख्या के लिए मान लें कि \(3-\sqrt{11}\) परिमेय होता; तब \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) परिमेय होगा — जो विरोधाभास है। संख्यात्मक रूप से \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\) है, जो न तो शून्य है न ही पूर्णांक। परीक्षा टिप: किसी संख्या में रूढ़िगत रूप से देखें कि क्या घातमूल किसी परिमेय भाग से पूरी तरह कट जाता है; यदि नहीं, तो परिणाम अपरिमेय होगा। / Since 11 is not a perfect square, \(\sqrt{11}\) is irrational. The difference of a rational number (3) and an irrational number is irrational: if \(3-\sqrt{11}\) were rational then \(\sqrt{11}=3-(3-\sqrt{11})\) would be rational, a contradiction. Numerically \(3-\sqrt{11}\approx-0.316\), so it is neither zero nor an integer. Exam tip: check whether the radical term cancels exactly; if it doesn't, the expression remains irrational.
\(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\)। अतः \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\)। विकल्प \(\sqrt{78}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ne\sqrt{a+b}\) सामान्य रूप से नहीं होता। परीक्षा‑टिप: पहले वर्ग-गुणक (perfect square) बाहर निकालें ताकि 'like' radical पदों को जोड़ा जा सके। / Since \(\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=5\sqrt{3}\), we have \(\sqrt{3}+\sqrt{75}=\sqrt{3}+5\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). The common wrong idea \(\sqrt{78}\) assumes \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}\), which is not true in general. Exam tip: factor out perfect squares first and then add like radical terms.
\(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\,\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). इसलिए सही सरलीकृत रूप \(6\sqrt{3}\) है। विकल्प C (\(3\sqrt{6}\)) और D (\(9\sqrt{2}\)) अलग मान देते हैं — उदाहरण के लिए \(3\sqrt{6}\) को \(6\sqrt{3}\) मानने के लिए \(\sqrt{6}=2\sqrt{3}\) होना चाहिए, जो गलत है। परीक्षा टिप: हमेशा संख्या को सबसे बड़े पूर्ण वर्ग के गुणनखंडों में विभाजित करें और फिर पूर्ण वर्ग की जड़ को बाहर निकालें। / \(\sqrt{108}=\sqrt{36\times3}=\sqrt{36}\cdot\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). Hence the correct simplified form is \(6\sqrt{3}\). Distractors like \(3\sqrt{6}\) or \(9\sqrt{2}\) give different numerical values — e.g. \(3\sqrt{6}\) would require \(\sqrt{6}=2\sqrt{3}\) to equal the correct answer, which is false. Exam tip: factor the number into the largest perfect square times a remainder, then take the square root of the perfect square outside the radical.
\(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) और \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)। समान पदों को जोड़ने पर \(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\) मिलता है। विकल्प \(2\sqrt{15}\) वाला छात्र त्रुटि से \(\sqrt{48}+\sqrt{12}=\sqrt{60}\) मान लेता है — पर वर्गमूलों के जोड़ में अन्दर के संख्याओं को सीधे नहीं जोड़ा जा सकता। परीक्षा सुझाव: सबसे पहले प्रत्येक वर्गमूल को गुणात्मक रूप में सरल करें (जैसे \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\)) फिर केवल समान मूलों वाले पद जोड़ें। / \(\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt{3}\) and \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\). Adding like terms gives \(4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}\). The distractor \(2\sqrt{15}\) comes from wrongly treating the sum as \(\sqrt{48+12}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}\); you cannot combine square roots across addition that way. Exam tip: simplify each radical into simplest surd form first, then add or subtract only like surds.
पहले प्रत्येक वर्गमूल को सरल करें: \(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\) और \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\)। दोनों एक ही प्रकार के मूल (\(\sqrt{5}\)) हैं, इसलिए जोड़कर मिलाकर सकते हैं: \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\)। निकटतम भ्रमित विकल्प \(\sqrt{65}\) गलत है क्योंकि \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\) सामान्य रूप से। परीक्षा टिप: पहले अपने को फैक्टर करके परफेक्ट स्क्वायर बाहर निकालें ताकि समान मूल दिख जाएं। / Simplify each radical first: \(\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}\) and \(\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}\). Both are like terms with \(\sqrt{5}\), so add them: \(2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}\). The common distractor \(\sqrt{65}\) is incorrect because in general \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}\). Exam tip: always factor out perfect squares first to combine like radicals easily.
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
(a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। / Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। / A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum.
