Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), इसलिए भाग देने पर \(2^{3}\cdot3\) बचता है। परीक्षा में पहले अभाज्य गुणनखंड करें। / Since (12^{4}=\(2^{2}\cdot3\)^{4}=2^{8}\cdot3^{4}), division leaves \(2^{3}\cdot3\). In exams, prime-factorize first.
\(2^{-3}+2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\), और \(2^{-5}=\frac{1}{32}\)। इसलिए मान \(\frac{3}{16}\div\frac{1}{32}=6\) है। / Here \(2^{-3}+2^{-4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}\), and \(2^{-5}=\frac{1}{32}\). Therefore, the value is \(\frac{3}{16}\div\frac{1}{32}=6\).
(32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), और (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8})। गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है। / Here (32^{\frac{2}{5}}=\(2^{5}\)^{\frac{2}{5}}=2^{2}=4), and (4^{-\frac{3}{2}}=\(2^{2}\)^{-\frac{3}{2}}=2^{-3}=\frac{1}{8}). The product is \(\frac{1}{2}\).
\(2^{a}=2^{4}\) से (a=4), और \(4^{b}=4^{3}\) से (b=3)। इसलिए \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), अतः दिए विकल्पों में परिमाण (17) है। / From \(2^{a}=2^{4}\), (a=4), and from \(4^{b}=4^{3}\), (b=3). Thus \(a^{b}-b^{a}=4^{3}-3^{4}=64-81=-17\), so the listed magnitude is (17).
(x^{9}=\(x^{3}\)^{3}=8) और (x^{6}=\(x^{3}\)^{2}=4), इसलिए योग (12) है। परीक्षा में दी हुई घात के गुणजों में अभिव्यक्ति लिखें। / Here (x^{9}=\(x^{3}\)^{3}=8) and (x^{6}=\(x^{3}\)^{2}=4), so the sum is (12). In exams, express powers as multiples of the given power.
\(27^{\frac{2}{3}}=9\), इसलिए पहला पद \(\frac{1}{9}\) है, और \(81^{\frac{3}{4}}=27\)। गुणनफल (3) है। / Here \(27^{\frac{2}{3}}=9\), so the first factor is \(\frac{1}{9}\), and \(81^{\frac{3}{4}}=27\). The product is (3).
सामान्य पद \(2^{x}\) लेने पर (2^{x}(1+2+4)=112), इसलिए \(7\cdot2^{x}=112\)। इससे \(2^{x}=16\) और (x=4)। / Factoring \(2^{x}\), we get (2^{x}(1+2+4)=112), so \(7\cdot2^{x}=112\). Thus \(2^{x}=16\) and (x=4).
\(9^{x-1}=3^{2x-2}\), इसलिए कुल घात (x+2x-2=3x-2) है। \(243=3^{5}\) से (3x-2=5) और \(x=\frac{7}{3}\)। / Since \(9^{x-1}=3^{2x-2}\), the total exponent is (x+2x-2=3x-2). From \(243=3^{5}\), (3x-2=5), so \(x=\frac{7}{3}\).
\(49^{-1}=7^{-2}\) और \(343^{-2}=7^{-6}\), इसलिए \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\)। परीक्षा में ऋणात्मक घात से भाग करने पर घात जुड़ती है। / Here \(49^{-1}=7^{-2}\) and \(343^{-2}=7^{-6}\), so \(\frac{7^{4}\cdot7^{-2}}{7^{-6}}=7^{8}\). In exams, dividing by a negative power adds the exponent.
\(5^{x+2}-5^{x}=25\cdot5^{x}-5^{x}=24\cdot5^{x}=600\), इसलिए \(5^{x}=25=5^{2}\)। परीक्षा में सामान्य घात को बाहर निकालें। / Here \(5^{x+2}-5^{x}=25\cdot5^{x}-5^{x}=24\cdot5^{x}=600\), so \(5^{x}=25=5^{2}\). In exams, factor out the common power.
सभी पदों को आधार (2) में लिखने पर घात (7-6+12-8=5) मिलती है। परीक्षा में संयुक्त आधारों को पहले अभाज्य आधार में बदलें। / Writing all terms with base (2), the exponent is (7-6+12-8=5). In exams, first convert composite bases into prime bases.
बाएँ पक्ष की कुल घात (x+x+2-3=2x-1) है, और \(32=2^{5}\), इसलिए (2x-1=5) से (x=3)। परीक्षा में पूरी अभिव्यक्ति को एक ही घात में बदलें। / The total exponent on the left is (x+x+2-3=2x-1), and \(32=2^{5}\), so (2x-1=5), giving (x=3). In exams, convert the whole expression into one power.
(x^{6}=\(x^{2}\)^{3}=27) और (x^{4}=\(x^{2}\)^{2}=9), इसलिए अंतर (18) है। परीक्षा में दी हुई घात \(x^{2}\) के रूप में लिखें। / Here (x^{6}=\(x^{2}\)^{3}=27) and (x^{4}=\(x^{2}\)^{2}=9), so the difference is (18). In exams, express powers using the given \(x^{2}\).
(4^{x}=\(2^{2}\)^{x}=2^{2x}), इसलिए (2x=10) और (x=5)। परीक्षा में मिश्रित आधार को समान आधार में बदलें। / Since (4^{x}=\(2^{2}\)^{x}=2^{2x}), (2x=10) and (x=5). In exams, convert mixed bases into a common base.
(16^{-\frac{3}{4}}=\(2^{4}\)^{-\frac{3}{4}}=2^{-3}) और (8^{\frac{2}{3}}=\(2^{3}\)^{\frac{2}{3}}=2^{2}), इसलिए मान \(2^{-1}=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घात के ऊपर घात को गुणा करें। / Here (16^{-\frac{3}{4}}=\(2^{4}\)^{-\frac{3}{4}}=2^{-3}) and (8^{\frac{2}{3}}=\(2^{3}\)^{\frac{2}{3}}=2^{2}), so the value is \(2^{-1}=\frac{1}{2}\). In exams, multiply powers of powers.
\(2^{a}=2^{3}\) से (a=3) और \(3^{b}=3^{4}\) से (b=4), इसलिए \(a^{b}=3^{4}=81\)। परीक्षा में घातों की तुलना समान आधार पर करें। / From \(2^{a}=2^{3}\), (a=3), and from \(3^{b}=3^{4}\), (b=4), so \(a^{b}=3^{4}=81\). In exams, compare powers using equal bases.
समान आधार (10) की घातें (2-5+4=1) हैं, इसलिए \(r=10^{1}=10\)। परीक्षा में गुणा में घातों को जोड़ें। / For the same base (10), the exponent is (2-5+4=1), so \(r=10^{1}=10\). In exams, add exponents during multiplication.
\(125=5^{3}\) से (x=3) और \(32=2^{5}\) से (y=5), इसलिए (x+y=8)। परीक्षा में संख्याओं को उनके मूल आधार की घात में लिखें। / Since \(125=5^{3}\), (x=3), and since \(32=2^{5}\), (y=5), so (x+y=8). In exams, write numbers as powers of their prime bases.
(\(2^{5}\)^{3}=2^{15}), \(4^{-2}=2^{-4}\), और \(8^{2}=2^{6}\), इसलिए कुल घात (15-4-6=5) है। परीक्षा में सभी आधार (2) में बदलें। / Here (\(2^{5}\)^{3}=2^{15}), \(4^{-2}=2^{-4}\), and \(8^{2}=2^{6}\), so the net exponent is (15-4-6=5). In exams, convert all bases to (2).
(\left\(9^{2}\right\)^{3}=\(3^{2}\)^{6}=3^{12}), और \(3^{12}\div3^{10}=3^{2}\)। परीक्षा में (9) को \(3^{2}\) लिखें। / Here (\left\(9^{2}\right\)^{3}=\(3^{2}\)^{6}=3^{12}), and \(3^{12}\div3^{10}=3^{2}\). In exams, write (9) as \(3^{2}\).
(\left\(\frac{27}{8}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}), इसलिए (\left\(\frac{27}{8}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\frac{4}{9})। परीक्षा में पहले घनमूल निकालें। / Since (\left\(\frac{27}{8}\right\)^{\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}), (\left\(\frac{27}{8}\right\)^{-\frac{2}{3}}=\left\(\frac{3}{2}\right\)^{-2}=\frac{4}{9}). In exams, take the cube root first.
\(2^{x+1}+2^{x}=2\cdot2^{x}+2^{x}=3\cdot2^{x}=48\), इसलिए \(2^{x}=16=2^{4}\)। परीक्षा में सामान्य घात \(2^{x}\) बाहर लें। / Here \(2^{x+1}+2^{x}=2\cdot2^{x}+2^{x}=3\cdot2^{x}=48\), so \(2^{x}=16=2^{4}\). In exams, factor the common power \(2^{x}\).
(\left\(3^{x}\right\)^{2}=3^{2x}) और \(729=3^{6}\), इसलिए (2x=6) और (x=3)। परीक्षा में दोनों पक्षों को समान आधार में लिखें। / We have (\left\(3^{x}\right\)^{2}=3^{2x}) and \(729=3^{6}\), so (2x=6) and (x=3). In exams, rewrite both sides with the same base.
घात के नियम के अनुसार, \(a^{2m+n}=a^{2m}\cdot a^n=(a^m)^2\cdot a^n\)। दिए गए मान रखने पर \(2^2\times 7=4\times 7=28\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 28 है। परीक्षा में योगात्मक घात को अलग-अलग घातों के गुणनफल में बदलना याद रखें; केवल \(a^m\cdot a^n\) लेने पर 14 मिलेगा, जो \(a^{m+n}\) के लिए होता है। / Using the laws of exponents, \(a^{2m+n}=a^{2m}\cdot a^n=(a^m)^2\cdot a^n\). Substituting the given values gives \(2^2\times 7=4\times 7=28\). Therefore, the correct answer is 28. In an exam, split a sum in the exponent into a product of powers; multiplying \(a^m\) and \(a^n\) directly would give 14, which corresponds to \(a^{m+n}\).
\(16=2^4\) लिखकर, \(16^p=(2^4)^p=(2^p)^4=5^4=625\)। इसलिए सही उत्तर 625 है। 125, \(5^3\) के बराबर है, जबकि यहाँ घात 4 आती है। परीक्षा-युक्ति: किसी घात को दिए गए आधार की घात के रूप में लिखें और \((a^m)^n=a^{mn}\) का नियम लगाएँ। / Rewrite \(16\) as \(2^4\): \(16^p=(2^4)^p=(2^p)^4=5^4=625\). Therefore, the correct answer is 625. The distractor 125 equals \(5^3\), but the required exponent is 4. Exam tip: Express the new base as a power of the given base and apply \((a^m)^n=a^{mn}\).
घात के घात पर नियम के अनुसार \((3^2)^4=3^{2\times4}=3^8\)। हर में समान आधार वाली घातों को गुणा करते समय घातें जुड़ती हैं: \(3^5\cdot3^{-2}=3^{5+(-2)}=3^3\)। अतः \(\frac{3^8}{3^3}=3^{8-3}=3^5\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B केवल हर की घात देता है, पूरे भिन्न का सरल रूप नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान आधारों में गुणा पर घातें जोड़ें और भाग पर घटाएँ। / Using the power-of-a-power rule, \((3^2)^4=3^{2\times4}=3^8\). For multiplication of powers with the same base, add the exponents: \(3^5\cdot3^{-2}=3^{5+(-2)}=3^3\). Therefore, \(\frac{3^8}{3^3}=3^{8-3}=3^5\), so option A is correct. Option B gives only the denominator’s power, not the simplified value of the whole fraction. Exam tip: add exponents when multiplying like bases and subtract them when dividing.
27 को 3 की घात के रूप में लिखें: \(27=3^3\)। इसलिए \(\frac{27^2}{3^4}=\frac{(3^3)^2}{3^4}=\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9\)। अतः सही उत्तर 9 है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार वाली घातों के भाग में घातांक घटाए जाते हैं। / Write 27 as a power of 3: \(27=3^3\). Thus, \(\frac{27^2}{3^4}=\frac{(3^3)^2}{3^4}=\frac{3^6}{3^4}=3^{6-4}=3^2=9\). Therefore, the correct answer is 9. Exam tip: When dividing powers with the same base, subtract their exponents.
समान घात वाले दो पदों के गुणन में आधारों का गुणा करके वही घात रखा जाता है: \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\)। इसलिए \(6^2\cdot2^2=(6\cdot2)^2=12^2\), अतः सही उत्तर B है। विकल्प C में घातों को जोड़ना गलत है; ऐसा केवल समान आधारों के गुणन में किया जाता है। परीक्षा-युक्ति: समान घात दिखे तो आधारों को पहले गुणा करें और घात वही रखें। / For the product of two powers with the same exponent, multiply the bases and retain the common exponent: \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\). Thus, \(6^2\cdot2^2=(6\cdot2)^2=12^2\), so option B is correct. In option C, the exponents have been added incorrectly; exponents are added when the bases are the same. Exam tip: with equal exponents, multiply the bases and keep the exponent unchanged.
समान आधार वाली घातों के भाग में घातों को घटाया जाता है: \(\frac{w^a}{w^b}=w^{a-b}\), जहाँ \(w\ne0\) है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D में घटाव का क्रम उलट दिया गया है, जबकि विकल्प A गुणन के नियम और विकल्प C घातों के गुणन से संबंधित हैं। परीक्षा-युक्ति: भाग में समान आधार होने पर ऊपर की घात में से नीचे की घात घटाएँ। / When powers with the same non-zero base are divided, their exponents are subtracted: \(\frac{w^a}{w^b}=w^{a-b}\). Hence, option B is correct. Option D reverses the order of subtraction, while option A represents the multiplication law and option C incorrectly multiplies the exponents. Exam tip: for division of powers with the same base, subtract the denominator exponent from the numerator exponent.
समान आधार वाली घातों के गुणन में घातांक जोड़े जाते हैं: \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\)। इसलिए \(12^2\cdot12^3=12^{2+3}=12^5\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में घातांकों को गुणा किया गया है, जो इस नियम में गलत है। परीक्षा-युक्ति: समान आधार दिखे तो गुणा करते समय घातांक जोड़ें। / When powers with the same base are multiplied, their exponents are added: \(a^m \cdot a^n=a^{m+n}\). Therefore, \(12^2\cdot12^3=12^{2+3}=12^5\), so option A is correct. Option B incorrectly multiplies the exponents. Exam tip: for multiplication with the same base, add the exponents.
