A. एक ही अभाज्य आधार की घातें/Powers of the same prime base
Step 1
Concept
In prime factorisation, identify the bases first.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of the same base are compared, such as power of 2 with power of 2 and power of 3 with power of 3.
Step 3
Exam Tip
In exams, do not compare powers directly when bases are different. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन में आधार पहले पहचानते हैं। चरण 2: एक ही आधार की घातों की तुलना की जाती है, जैसे 2 की घात 2 से और 3 की घात 3 से। चरण 3: परीक्षा में आधार अलग हों तो घातों को सीधे न मिलाएं।
A. दोहराए गए अभाज्य गुणनखंडों को छोटा और साफ लिखना/Writing repeated prime factors shortly and clearly
Step 1
Concept
When a prime repeats, powers are used.
Step 2
Why this answer is correct
For example, \(2\times2\times2\) is written as \(2^3\).
Step 3
Exam Tip
This makes the answer short, clear, and easy to read in exams. चरण 1: जब कोई अभाज्य संख्या बार-बार आती है, तो घात का उपयोग किया जाता है। चरण 2: जैसे \(2\times2\times2\) को \(2^3\) लिखा जाता है। चरण 3: इससे उत्तर छोटा, साफ और परीक्षा में पढ़ने योग्य बनता है।
A. जर्मनी में ऑस्ट्रिया और फ्रांस प्रतिद्वंद्वी रहे जबकि इटली में ऑस्ट्रियाई प्रभाव हटाना जरूरी था/In Germany Austria and France were rivals while in Italy removing Austrian influence was necessary
Step 1
Concept
In Germany Prussia had to struggle against Austria and France.
Step 2
Why this answer is correct
In Italy northern regions faced Austrian influence.
Step 3
Exam Tip
Therefore foreign power was important in different ways in both processes. चरण 1: जर्मनी में प्रशा को ऑस्ट्रिया और फ्रांस से संघर्ष करना पड़ा। चरण 2: इटली में उत्तरी क्षेत्रों पर ऑस्ट्रियाई प्रभाव था। चरण 3: इसलिए विदेशी शक्ति दोनों प्रक्रियाओं में अलग ढंग से महत्त्वपूर्ण रही।
A. पहले ऑस्ट्रिया और बाद में फ्रांस/Austria first and France later
Step 1
Concept
In 1866, Prussia weakened Austria.
Step 2
Why this answer is correct
In 1870-71, it defeated France.
Step 3
Exam Tip
These victories removed obstacles to German unification. चरण 1: अठारह सौ छियासठ में प्रशा ने ऑस्ट्रिया को कमजोर किया। चरण 2: अठारह सौ सत्तर इकहत्तर में फ्रांस पर जीत मिली। चरण 3: इन जीतों से जर्मन एकीकरण की बाधाएँ हटती गईं।
A. राजनीतिक बिखराव और वैधता के कई दावों की चुनौती/A challenge of political fragmentation and many claims of legitimacy
Step 1
Concept
Different dynasties and powers ruled in Italy.
Step 2
Why this answer is correct
Each region had its own political claim.
Step 3
Exam Tip
This made building one common national state difficult. चरण 1: इटली में अलग अलग राजवंश और शक्तियां शासन कर रही थीं। चरण 2: हर क्षेत्र का अपना राजनीतिक दावा था। चरण 3: इस कारण एक साझा राष्ट्रीय राज्य बनाना कठिन था।
A. जर्मनी में फ्रांस और ऑस्ट्रिया प्रतिद्वंद्वी रहे जबकि इटली में ऑस्ट्रिया का प्रभाव हटाना जरूरी था/In Germany France and Austria were rivals while in Italy removing Austrian influence was necessary
Step 1
Concept
In Germany Prussia had to struggle against powers like Austria and France.
Step 2
Why this answer is correct
In Italy especially northern areas had Austrian influence.
Step 3
Exam Tip
In both cases foreign power appeared in different ways. चरण 1: जर्मनी में प्रशा को ऑस्ट्रिया और फ्रांस जैसी शक्तियों से संघर्ष करना पड़ा। चरण 2: इटली में खासकर उत्तरी भागों पर ऑस्ट्रिया का प्रभाव था। चरण 3: दोनों मामलों में विदेशी शक्ति का प्रभाव अलग ढंग से दिखता है।
B. क्योंकि रूढ़िवादी शक्तियों के पास सेना प्रशासन और राजकीय साधन थे/Because conservative powers had army administration and state resources
Step 1
Concept
Many revolutionary groups had different demands.
Step 2
Why this answer is correct
Old powers had control over army and administration.
Step 3
Exam Tip
Therefore they succeeded in suppressing movements in many places. चरण 1: कई क्रांतिकारी समूहों की मांगें अलग थीं। चरण 2: पुरानी शक्तियों के पास सेना और प्रशासनिक नियंत्रण था। चरण 3: इसलिए वे कई स्थानों पर आंदोलनों को दबाने में सफल रहीं।
A. क्योंकि उनके पास सेना प्रशासन और राजकीय समर्थन था/Because they had army administration and royal support
Step 1
Concept
Revolutionary groups had different demands.
Step 2
Why this answer is correct
Old powers had army and administrative control.
Step 3
Exam Tip
Therefore they were able to suppress the movements. चरण 1: क्रांतिकारी समूहों की मांगें अलग अलग थीं। चरण 2: पुरानी शक्तियों के पास सेना और प्रशासनिक नियंत्रण था। चरण 3: इसलिए वे आंदोलनों को दबाने में सक्षम रहीं।
A. सेना और प्रशासनिक शक्ति का उपयोग करके/By using army and administrative power
Step 1
Concept
Many revolutions could not remain successful.
Step 2
Why this answer is correct
Monarchs and old powers used army and administration to regain control.
Step 3
Exam Tip
This shows that the power structure was still strong. चरण 1: कई क्रांतियाँ सफल नहीं रह सकीं। चरण 2: राजाओं और पुरानी शक्तियों ने सेना तथा प्रशासन से नियंत्रण वापस लिया। चरण 3: इससे पता चलता है कि सत्ता संरचना अभी मजबूत थी।
A. क्योंकि वे किसी समूह का समर्थन दिखाकर अपना हस्तक्षेप सही ठहरा सकती थीं/Because they could justify intervention by showing support for a group
Step 1
Concept
Intervention needs justification.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers could claim to protect an ethnic group.
Step 3
Exam Tip
Thus nationalist feeling became useful for imperial policy. चरण 1: हस्तक्षेप को सही ठहराने के लिए कारण चाहिए। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ किसी जातीय समूह की रक्षा का दावा कर सकती थीं। चरण 3: इस तरह राष्ट्रवादी भावना साम्राज्यवादी नीति के लिए उपयोगी बनी।
A. क्योंकि हर शक्ति अपने हित के अनुसार समझौते को बदलना चाहती थी/Because each power wanted to shape settlements according to its interests
Step 1
Concept
Peace needs fairness.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted decisions according to their interests.
Step 3
Exam Tip
This made lasting peace difficult. चरण 1: शांति के लिए निष्पक्षता जरूरी होती है। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ अपने हितों के अनुसार निर्णय चाहती थीं। चरण 3: इससे स्थायी शांति बनाना कठिन हुआ।
A. क्योंकि वे खाली हो रहे प्रभाव क्षेत्र पर अधिकार चाहती थीं/Because they wanted control over the emerging power vacuum
Step 1
Concept
Declining Ottoman control created a power vacuum.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted to fill that space with their influence.
Step 3
Exam Tip
This caused imperial rivalry. चरण 1: उस्मानी नियंत्रण घटने से शक्ति का खाली स्थान बना। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ उस स्थान को अपने प्रभाव से भरना चाहती थीं। चरण 3: यही साम्राज्यवादी प्रतिस्पर्धा का कारण बना।
A. छोटे राष्ट्र स्वतंत्रता चाहते थे और बड़ी शक्तियाँ प्रभाव क्षेत्र चाहती थीं/Small nations wanted freedom while great powers wanted spheres of influence
Step 1
Concept
Small groups wanted to protect national identity.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted regional advantage and influence.
Step 3
Exam Tip
This difference increased the complexity of conflict. चरण 1: छोटे समूह अपनी राष्ट्रीय पहचान बचाना चाहते थे। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ क्षेत्रीय लाभ और प्रभाव चाहती थीं। चरण 3: इसी अंतर से संघर्ष की जटिलता बढ़ी।
A. क्योंकि वे अपने राजनीतिक और सामरिक हित भी साध रही थीं/Because they were also pursuing political and strategic interests
Step 1
Concept
Great powers claimed to support small groups.
Step 2
Why this answer is correct
But they also wanted to expand influence and power.
Step 3
Exam Tip
So it is important to identify imperial interests behind support. चरण 1: बड़ी शक्तियाँ छोटे समूहों की मदद का दावा करती थीं। चरण 2: लेकिन उनका उद्देश्य अपना प्रभाव और शक्ति बढ़ाना भी था। चरण 3: इसलिए सहायता के पीछे साम्राज्यवादी हित पहचानना जरूरी है।
A. स्थानीय माँगें बड़ी शक्तियों की टकराहट से जुड़ गईं/Local demands became linked with the conflict of great powers
Step 1
Concept
Local people wanted independence.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted gains from the same situation.
Step 3
Exam Tip
Thus local nationalism became dangerous by joining European power rivalry. चरण 1: स्थानीय लोग स्वतंत्रता चाहते थे। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ इसी स्थिति से अपना लाभ चाहती थीं। चरण 3: इसलिए स्थानीय राष्ट्रवाद यूरोपीय शक्ति संघर्ष से जुड़कर खतरनाक बन गया।
A. वे कहती थीं कि वे सभ्यता, व्यवस्था और प्रगति ला रही हैं/They claimed they were bringing civilisation, order, and progress
Step 1
Concept
Imperial powers wanted to present their control as moral.
Step 2
Why this answer is correct
So they used arguments of civilisation and progress.
Step 3
Exam Tip
In exams, identify the benefit and control hidden behind such claims. चरण 1: साम्राज्यवादी शक्तियां अपने नियंत्रण को नैतिक दिखाना चाहती थीं। चरण 2: इसलिए वे सभ्यता और प्रगति जैसे तर्क देती थीं। चरण 3: परीक्षा में ऐसे दावों के पीछे छिपे लाभ और नियंत्रण को पहचानें।
B. क्योंकि वे वहां अपना प्रभाव, मार्ग और राजनीतिक लाभ बढ़ाना चाहती थीं/Because they wanted to increase their influence, routes, and political advantage there
Step 1
Concept
The Balkan region was geographically and politically important.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted benefits by increasing influence there.
Step 3
Exam Tip
Thus local nationalism became linked with international rivalry. चरण 1: बाल्कन क्षेत्र भौगोलिक और राजनीतिक रूप से महत्वपूर्ण था। चरण 2: बड़ी शक्तियां वहां अपना प्रभाव बढ़ाकर लाभ लेना चाहती थीं। चरण 3: इसलिए स्थानीय राष्ट्रवाद अंतरराष्ट्रीय प्रतिस्पर्धा से जुड़ गया।
A. शक्तिशाली देशों का प्रभाव और क्षेत्रों के लिए मुकाबला/Competition among powerful countries for influence and territories
Step 1
Concept
Great powers wanted to expand their spheres of influence.
Step 2
Why this answer is correct
Colonies and strategic areas were main bases of this rivalry.
Step 3
Exam Tip
This increased international tension. चरण 1: महान शक्तियां अपने प्रभाव क्षेत्र बढ़ाना चाहती थीं। चरण 2: उपनिवेश और सामरिक क्षेत्र इस प्रतिस्पर्धा के मुख्य आधार थे। चरण 3: इससे अंतरराष्ट्रीय तनाव बढ़ा।
A. वे सभ्यता और प्रगति फैलाने का दावा करती थीं/They claimed to spread civilization and progress
Step 1
Concept
Imperial powers wanted to present their rule as right.
Step 2
Why this answer is correct
They described it as spreading civilization and progress.
Step 3
Exam Tip
In reality economic and political control was central. चरण 1: साम्राज्यवादी शक्तियां अपने शासन को सही दिखाना चाहती थीं। चरण 2: वे इसे सभ्यता और प्रगति फैलाने का कार्य बताती थीं। चरण 3: परंतु वास्तविकता में आर्थिक और राजनीतिक नियंत्रण प्रमुख था।
A. मुख्य रूप से संसाधनों को निकालने और व्यापार बढ़ाने के लिए/Mainly to extract resources and expand trade
Step 1
Concept
Railways and ports made transport of goods easier.
Step 2
Why this answer is correct
Raw materials could be moved to ports and sent to Europe.
Step 3
Exam Tip
So these constructions were linked to imperial economic needs. चरण 1: रेल और बंदरगाह से माल ढुलाई आसान होती थी। चरण 2: कच्चा माल बंदरगाह तक पहुंचाकर यूरोप भेजा जा सकता था। चरण 3: इसलिए ये निर्माण साम्राज्यवादी अर्थव्यवस्था की जरूरत से जुड़े थे।
A. क्योंकि बाल्कन सामरिक और राजनीतिक दृष्टि से महत्वपूर्ण था/Because the Balkans were strategically and politically important
Step 1
Concept
The Balkans were important between Europe and Asia.
Step 2
Why this answer is correct
Major powers wanted to expand influence there.
Step 3
Exam Tip
This rivalry made the Balkan crisis more serious. चरण 1: बाल्कन यूरोप और एशिया के बीच महत्वपूर्ण क्षेत्र था। चरण 2: बड़ी शक्तियां अपना प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं। चरण 3: इस प्रतिस्पर्धा ने बाल्कन संकट को और गंभीर बनाया।
B. तनाव, संदेह और युद्ध की संभावना/Tension, suspicion, and the possibility of war
Step 1
Concept
Great powers wanted more territory and influence.
Step 2
Why this answer is correct
This increased suspicion and conflict among them.
Step 3
Exam Tip
In exams, this can be linked with the background of the First World War. चरण 1: बड़ी शक्तियां अधिक क्षेत्र और प्रभाव चाहती थीं। चरण 2: इससे उनके बीच संदेह और टकराव बढ़ा। चरण 3: परीक्षा में इसे प्रथम विश्व युद्ध की पृष्ठभूमि से जोड़ सकते हैं।
B. वे बाल्कन में प्रभाव, व्यापार मार्ग और राजनीतिक लाभ चाहती थीं/They wanted influence, trade routes, and political advantage in the Balkans
Step 1
Concept
The Balkans had an important position between Europe and Asia.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers wanted to increase their influence there.
Step 3
Exam Tip
Treat this as a reason for imperial rivalry in exams. चरण 1: बाल्कन क्षेत्र यूरोप और एशिया के बीच महत्वपूर्ण स्थान पर था। चरण 2: बड़ी शक्तियां वहां अपना प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं। चरण 3: परीक्षा में इसे साम्राज्यवादी प्रतिस्पर्धा का कारण मानें।
A. क्योंकि वे अपने अपने हितों के लिए प्रतिस्पर्धा कर रही थीं/Because they were competing for their own interests
Step 1
Concept
Major powers considered the Balkans strategically important.
Step 2
Why this answer is correct
They competed with each other for their interests.
Step 3
Exam Tip
This increased the problem instead of calming it. चरण 1: बड़ी शक्तियाँ बाल्कन को रणनीतिक रूप से महत्वपूर्ण मानती थीं। चरण 2: वे अपने हितों के लिए एक दूसरे से प्रतिस्पर्धा कर रही थीं। चरण 3: इससे समस्या शांत होने के बजाय बढ़ी।
A. स्थानीय संघर्ष और अधिक जटिल हो गए/Local conflicts became more complicated
Step 1
Concept
Local conflicts already existed.
Step 2
Why this answer is correct
Great powers intervened according to their interests.
Step 3
Exam Tip
This made conflicts more complex and dangerous. चरण 1: स्थानीय संघर्ष पहले से मौजूद थे। चरण 2: बड़ी शक्तियों ने अपने हितों के अनुसार हस्तक्षेप किया। चरण 3: इससे संघर्ष और जटिल तथा खतरनाक हो गए।
A. अपना प्रभाव और हित बढ़ाना/To increase their influence and interests
Step 1
Concept
The Balkans were a strategic region.
Step 2
Why this answer is correct
Every major power saw its own interests there.
Step 3
Exam Tip
Therefore their policy was linked with expansion of influence. चरण 1: बाल्कन रणनीतिक क्षेत्र था। चरण 2: हर बड़ी शक्ति वहाँ अपने हित देखती थी। चरण 3: इसलिए उनकी नीति प्रभाव विस्तार से जुड़ी थी।
A. अपने राजनीतिक लाभ के लिए/For their political advantage
Step 1
Concept
Small nationalist movements could weaken empires.
Step 2
Why this answer is correct
Major powers wanted to turn such movements to their own advantage.
Step 3
Exam Tip
Therefore they tried to influence them. चरण 1: छोटे राष्ट्रवादी आंदोलन साम्राज्यों को कमजोर कर सकते थे। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ ऐसे आंदोलनों को अपने हित में मोड़ना चाहती थीं। चरण 3: इसलिए उन्होंने उन्हें प्रभावित करने की कोशिश की।
A. प्रभाव और नियंत्रण के लिए/For influence and control
Step 1
Concept
The Balkans were strategically important.
Step 2
Why this answer is correct
Major powers wanted to increase influence there.
Step 3
Exam Tip
Therefore they competed for control. चरण 1: बाल्कन रणनीतिक दृष्टि से महत्वपूर्ण था। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ वहाँ अपना प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं। चरण 3: इसलिए उनके बीच नियंत्रण की प्रतिस्पर्धा हुई।
A. रणनीतिक और साम्राज्यवादी हितों के कारण/Because of strategic and imperial interests
Step 1
Concept
The Balkans had an important position between Europe and Asia.
Step 2
Why this answer is correct
Major powers wanted to increase influence there.
Step 3
Exam Tip
Therefore their interest was strategic and imperial. चरण 1: बाल्कन क्षेत्र यूरोप और एशिया के बीच महत्वपूर्ण स्थिति रखता था। चरण 2: बड़ी शक्तियाँ वहाँ प्रभाव बढ़ाना चाहती थीं। चरण 3: इसलिए उनकी रुचि रणनीतिक और साम्राज्यवादी थी।
A. अपने साम्राज्यवादी हितों को बढ़ाने के लिए/To promote their imperial interests
Step 1
Concept
European powers wanted to expand their influence.
Step 2
Why this answer is correct
They sometimes used nationalist aspirations for their own benefit.
Step 3
Exam Tip
Therefore nationalism also became a tool of imperial politics. चरण 1: यूरोपीय शक्तियाँ अपने प्रभाव क्षेत्र बढ़ाना चाहती थीं। चरण 2: उन्होंने कई बार राष्ट्रवादी आकांक्षाओं का अपने हित में उपयोग किया। चरण 3: इसलिए राष्ट्रवाद साम्राज्यवादी राजनीति का साधन भी बना।
QuestionEasySocial ScienceChapter 1: The Rise of Nationalism in EuropeThe Making of Nationalism in Europe (Aristocracy, New Middle Class, Liberal Nationalism)Class 10Level 3
उदार राष्ट्रवादी धार्मिक संस्थाओं के किन अधिकारों का विरोध करते थे?
It opposed privileges of any class or institution.
Step 3
Exam Tip
Religious privileges were challenged for this reason. चरण 1: उदारवाद की समानता वाली सोच देखें। चरण 2: यह किसी भी वर्ग या संस्था के विशेषाधिकारों का विरोध करता था। चरण 3: धार्मिक संस्थाओं के विशेषाधिकार भी इसी कारण चुनौती दिए गए।
\(64=2^6\) and \(3969=3^4\times7^2\), so \(254016=2^6\times3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 3969 into prime powers. चरण 1: \(254016=64\times3969\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए \(254016=2^6\times3^4\times7^2\)। चरण 3: 3969 को अभाज्य घातों में बदलें।
Take \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\), and (7).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times25\times7=680400\).
Step 3
Exam Tip
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\), \(5^2=25\) और (7) लें। चरण 2: \(16\times243\times25\times7=680400\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Calculate \(2^6=64\), \(3^4=81\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(64\times81\times121=627264\).
Step 3
Exam Tip
Solve all three powers separately first. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^4=81\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(64\times81\times121=627264\)। चरण 3: तीनों घातों को पहले अलग-अलग हल करें।
Powers with the same base 3 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (x) is 4 and in (y) is 5.
Step 3
Exam Tip
The total power will be (4+5=9). चरण 1: समान आधार 3 की घातें गुणा में जुड़ती हैं। चरण 2: (x) में 3 की घात 4 है और (y) में 3 की घात 5 है। चरण 3: कुल घात (4+5=9) होगी।
In multiplication, powers of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 11 in (a) is 1 and in (b) is 2.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 11 will be (1+2=3). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 11 की घात 1 है और (b) में 11 की घात 2 है। चरण 3: (ab) में 11 की घात (1+2=3) होगी।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 4, 2, and 7 must become 6, 6, 3, and 9.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5\times7^2\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 4 को 6, 2 को 3 और 7 को 9 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5\times7^2\) है।
Dividing by \(3\times7=21\) makes the powers 4 and 2. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से भाग देने पर घातें 4 और 2 हो जाएंगी।
Multiplying by \(2\times11=22\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होती हैं। चरण 2: 2 की घात 7 और 11 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(2\times11=22\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
Do not skip square powers in a hurry. चरण 1: \(3^4=81\), \(5^2=25\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(81\times25\times49=99225\)। चरण 3: वर्ग घातों को जल्दबाजी में न छोड़ें।
Calculate \(2^7=128\), \(3^2=9\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(128\times9\times121=139392\).
Step 3
Exam Tip
Find the values of powers first, then multiply. चरण 1: \(2^7=128\), \(3^2=9\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(128\times9\times121=139392\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर गुणा करें।
Calculate \(2^4=16\), \(3^5=243\), and \(7^2=49\).
Step 2
Why this answer is correct
\(16\times243\times49=190512\).
Step 3
Exam Tip
Finding all three powers separately is safer. चरण 1: \(2^4=16\), \(3^5=243\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(16\times243\times49=190512\)। चरण 3: तीनों घातों का मान अलग-अलग निकालना सुरक्षित रहता है।
Calculate \(2^6=64\), \(3^5=243\), and \(7^2=49\).
Step 2
Why this answer is correct
\(64\times243\times49=762048\).
Step 3
Exam Tip
In such calculations, solve powers first. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^5=243\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(64\times243\times49=762048\)। चरण 3: ऐसी गणना में घातों को पहले हल करें।
\(81=3^4\) and \(1225=5^2\times7^2\), so \(99225=3^4\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1225 into prime powers. चरण 1: \(99225=81\times1225\) लिखें। चरण 2: \(81=3^4\) और \(1225=5^2\times7^2\), इसलिए \(99225=3^4\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 1225 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(128=2^7\) and \(1089=3^2\times11^2\), so \(139392=2^7\times3^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1089 into prime powers. चरण 1: \(139392=128\times1089\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\) और \(1089=3^2\times11^2\), इसलिए \(139392=2^7\times3^2\times11^2\)। चरण 3: 1089 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(64=2^6\) and \(11907=3^5\times7^2\), so \(762048=2^6\times3^5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Write 11907 as prime powers. चरण 1: \(762048=64\times11907\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(11907=3^5\times7^2\), इसलिए \(762048=2^6\times3^5\times7^2\)। चरण 3: 11907 को अभाज्य घातों में लिखें।
\(4=2^2\) and \(43659=3^4\times7^2\times11\), so the correct form is \(2^2\times3^4\times7^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
Convert 43659 into prime powers. चरण 1: \(174636=4\times43659\) लिखें। चरण 2: \(4=2^2\) और \(43659=3^4\times7^2\times11\), इसलिए सही रूप \(2^2\times3^4\times7^2\times11\) है। चरण 3: 43659 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(128=2^7\) and \(1215=3^5\times5\), so \(155520=2^7\times3^5\times5\).
Step 3
Exam Tip
Convert 1215 into prime powers. चरण 1: \(155520=128\times1215\) लिखें। चरण 2: \(128=2^7\) और \(1215=3^5\times5\), इसलिए \(155520=2^7\times3^5\times5\)। चरण 3: 1215 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(64=2^6\) and \(9801=3^4\times11^2\), so \(627264=2^6\times3^4\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 9801 into prime powers. चरण 1: \(627264=64\times9801\) लिखें। चरण 2: \(64=2^6\) और \(9801=3^4\times11^2\), इसलिए \(627264=2^6\times3^4\times11^2\)। चरण 3: 9801 को अभाज्य घातों में बदलें।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार रहने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The aim of prime factorisation is to write the number using prime bases only.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) or (121) remains, it is composite and must be broken further.
Step 3
Exam Tip
Before writing the final answer, check whether every base is prime. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का उद्देश्य संख्या को केवल अभाज्य आधारों में लिखना है। चरण 2: यदि (45) या (121) जैसा आधार बचा है, तो वह संयुक्त है और आगे टूटेगा। चरण 3: अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की अभाज्यता जांचें।
\(27225=3^2\times5^2\times11^2\), so \(217800=2^3\times3^2\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 27225 into prime powers. चरण 1: \(217800=8\times27225\) लिखें। चरण 2: \(27225=3^2\times5^2\times11^2\), इसलिए \(217800=2^3\times3^2\times5^2\times11^2\)। चरण 3: 27225 को अभाज्य घातों में बदलें।
Calculate \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\), and \(11^2=121\).
Step 2
Why this answer is correct
\(4\times9\times25\times121=108900\).
Step 3
Exam Tip
This is a square form, so observe the powers carefully. चरण 1: \(2^2=4\), \(3^2=9\), \(5^2=25\) और \(11^2=121\) निकालें। चरण 2: \(4\times9\times25\times121=108900\)। चरण 3: यह वर्ग रूप है, इसलिए घातों को ध्यान से देखें।
Solving powers first helps find the correct option quickly. चरण 1: \(2^6=64\), \(3^3=27\) और \(5^2=25\) हैं। चरण 2: \(64\times27\times25=43200\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से सही विकल्प जल्दी मिलता है।
Solve all three powers separately first. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^4=81\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times49=127008\)। चरण 3: तीनों घातों को पहले अलग-अलग हल करें।
Powers with the same base 13 are added in multiplication.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 13 in (x) is 1 and in (y) is 3.
Step 3
Exam Tip
The total power will be (1+3=4). चरण 1: समान आधार 13 की घातें गुणा में जुड़ेंगी। चरण 2: (x) में 13 की घात 1 है और (y) में 13 की घात 3 है। चरण 3: कुल घात (1+3=4) होगी।
In multiplication, powers of the same prime base are added.
Step 2
Why this answer is correct
The power of 3 in (a) is 4 and in (b) is 5.
Step 3
Exam Tip
In (ab), the power of 3 will be (4+5=9). चरण 1: गुणा में समान अभाज्य आधार की घातें जुड़ती हैं। चरण 2: (a) में 3 की घात 4 है और (b) में 3 की घात 5 है। चरण 3: (ab) में 3 की घात (4+5=9) होगी।
In a perfect cube, every exponent must be a multiple of 3.
Step 2
Why this answer is correct
Powers 5, 7, 4, and 2 must become 6, 9, 6, and 3.
Step 3
Exam Tip
The smallest multiplier is \(2\times3^2\times5^2\times13\). चरण 1: पूर्ण घन में हर घात 3 का गुणज होनी चाहिए। चरण 2: 5 को 6, 7 को 9, 4 को 6 और 2 को 3 बनाना होगा। चरण 3: सबसे छोटा गुणक \(2\times3^2\times5^2\times13\) है।
Dividing by \(2\times5\) makes the powers 8 and 6. चरण 1: पूर्ण वर्ग के लिए घातें सम चाहिए। चरण 2: 2 की घात 9 और 5 की घात 7 विषम हैं। चरण 3: \(2\times5\) से भाग देने पर घातें 8 और 6 हो जाएंगी।
In a perfect square, all exponents should be even.
Step 2
Why this answer is correct
The powers of 3 and 7 are odd.
Step 3
Exam Tip
Multiplying by \(3\times7=21\) makes both powers even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में सभी घातें सम होनी चाहिए। चरण 2: 3 की घात 5 और 7 की घात 3 विषम हैं। चरण 3: \(3\times7=21\) से गुणा करने पर दोनों घातें सम हो जाएंगी।
Solving powers first keeps multiplication clear. चरण 1: \(2^5=32\), \(3^4=81\) और \(7^2=49\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times49=127008\)। चरण 3: घातों को पहले हल करने से गुणा साफ रहता है।
It is better to find higher powers first. चरण 1: \(2^5=32\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(32\times81\times7=18144\)। चरण 3: बड़ी घातों का मान पहले निकालना ठीक रहता है।
Solve powers first, then multiply by 11. चरण 1: \(2^4=16\) और \(3^4=81\) निकालें। चरण 2: \(16\times81\times11=14256\)। चरण 3: घातों को पहले हल करें, फिर 11 से गुणा करें।
\(3969=3^4\times7^2\), so \(127008=2^5\times3^4\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 3969 into prime powers. चरण 1: \(127008=32\times3969\) लिखें। चरण 2: \(3969=3^4\times7^2\), इसलिए \(127008=2^5\times3^4\times7^2\)। चरण 3: 3969 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(11907=3^5\times7^2\), so \(95256=2^3\times3^5\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 11907 into powers of 3 and 7. चरण 1: \(95256=8\times11907\) लिखें। चरण 2: \(11907=3^5\times7^2\), इसलिए \(95256=2^3\times3^5\times7^2\)। चरण 3: 11907 को 3 और 7 की घातों में बदलें।
\(11025=3^2\times5^2\times7^2\), so \(88200=2^3\times3^2\times5^2\times7^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 11025 into prime powers. चरण 1: \(88200=8\times11025\) लिखें। चरण 2: \(11025=3^2\times5^2\times7^2\), इसलिए \(88200=2^3\times3^2\times5^2\times7^2\)। चरण 3: 11025 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(8505=3^5\times5\times7\), so \(68040=2^3\times3^5\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Convert 8505 into prime powers. चरण 1: \(68040=8\times8505\) लिखें। चरण 2: \(8505=3^5\times5\times7\), इसलिए \(68040=2^3\times3^5\times5\times7\)। चरण 3: 8505 को अभाज्य घातों में बदलें।
\(300=2^2\times3\times5^2\) and \(121=11^2\), so \(36300=2^2\times3\times5^2\times11^2\).
Step 3
Exam Tip
Convert 300 and 121 into prime powers. चरण 1: \(36300=300\times121\) लिखें। चरण 2: \(300=2^2\times3\times5^2\) और \(121=11^2\), इसलिए \(36300=2^2\times3\times5^2\times11^2\)। चरण 3: 300 और 121 को अभाज्य घातों में बदलें।
A. क्योंकि अंतिम रूप में केवल अभाज्य आधार होने चाहिए/Because only prime bases should remain in the final form
Step 1
Concept
The final form of prime factorisation is based only on prime numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If a base like (45) remains, it must be written as \(45=3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
In exams, check every base before writing the final answer. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन का अंतिम रूप केवल अभाज्य संख्याओं पर आधारित होता है। चरण 2: यदि (45) जैसा आधार बचा है, तो \(45=3^2\times5\) लिखना होगा। चरण 3: परीक्षा में अंतिम उत्तर लिखने से पहले हर आधार की जांच करें।
To be divisible by neither (2) nor (3), powers of (2) and (3) must both be (0).
Step 2
Why this answer is correct
Power of (5) can be (0,1,2), giving (3) factors.
Step 3
Exam Tip
For neither-nor conditions, set both restricted prime powers to zero. चरण 1: (2) और (3) से विभाज्य न होने के लिए (2) और (3) की घात (0) होनी चाहिए। चरण 2: (5) की घात (0,1,2) हो सकती है, इसलिए (3) गुणनखंड बनेंगे। चरण 3: न तो इससे न उससे जैसे प्रश्नों में दोनों अभाज्यों की घात शून्य रखें।
In division, subtract the smaller exponent from the larger one. चरण 1: समान आधारों को भाग देते समय घातें घटती हैं। चरण 2: \(2^{6-2}\times3^{4-1}\times5^{2-1}=2^4\times3^3\times5\)। चरण 3: भाग में बड़ी घात से छोटी घात घटाएं।
Add exponents for multiplication with the same base. चरण 1: समान आधार वाली अभाज्य घातों को गुणा करते समय घातें जोड़ी जाती हैं। चरण 2: \(2^{3+2}\times3^{1+2}\times5^{1+2}=2^5\times3^3\times5^3\)। चरण 3: आधार समान हो तो गुणा में घात जोड़ें, गुणा न करें।
\(126=2\times3^2\times7\) and \(10=2\times5\), so \(1260=2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
Combine repeated prime factors into powers at the end. चरण 1: \(1260=126\times10\) लिखें। चरण 2: \(126=2\times3^2\times7\) और \(10=2\times5\), इसलिए \(1260=2^2\times3^2\times5\times7\)। चरण 3: गुणनखंडन में सभी भागों को अंत में एक साथ मिलाकर घात लिखें।
Since \(15=3\times5\), the factor must contain both (3) and (5).
Step 2
Why this answer is correct
Power choices are (2:4) choices, (3:2) choices, (5:2) choices, and (7:2) choices. Total \(=4\times2\times2\times2=32\).
Step 3
Exam Tip
Start restricted prime powers from the minimum required value. चरण 1: \(15=3\times5\), इसलिए गुणनखंड में (3) और (5) दोनों होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (0) से (3) तक (4) तरीके, (3) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, (5) की घात (1) से (2) तक (2) तरीके, और (7) की (2) तरीके। कुल \(4\times2\times2\times2=32\)। चरण 3: विभाज्यता में जरूरी अभाज्य गुणनखंड की न्यूनतम घात से शुरुआत करें।
\(2^3\) and \(5^1\) have odd powers, so multiply by \(2\times5\).
Step 3
Exam Tip
Do not multiply the prime whose exponent is already even. चरण 1: पूर्ण वर्ग में हर घात सम चाहिए। चरण 2: \(2^3\) और \(5^1\) की घात विषम है, इसलिए (2) और (5) से गुणा करने पर \(2^4\times3^2\times5^2\) बनेगा। चरण 3: सम घात वाली अभाज्य संख्या को फिर से गुणा न करें।
Since \(10=2\times5\), the factor must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2): (1,2,3) give (3) choices; powers of (3): (0,1,2) give (3) choices; powers of (5): (1,2) give (2) choices. Total (=18).
Step 3
Exam Tip
For divisibility, check the required minimum prime powers. चरण 1: \(10=2\times5\), इसलिए गुणनखंड में (2) और (5) दोनों कम से कम एक बार होने चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) की घात (0,1,2) यानी (3) तरीके; (5) की घात (1,2) यानी (2) तरीके। कुल \(3\times3\times2=18\)। चरण 3: किसी संख्या से विभाज्यता में उसके अभाज्य गुणनखंडों की न्यूनतम घात देखें।
A factor divisible by (2) must contain \(2^1\) at least.
Step 2
Why this answer is correct
Powers of (2) can be (1,2,3), giving (3) choices; powers of (3) give (3) choices; (5) and (7) give (2) choices each. Total \(=3\times3\times2\times2=36\).
Step 3
Exam Tip
For conditional factors, adjust only the restricted prime exponent. चरण 1: (2) से विभाज्य गुणनखंड में (2) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। चरण 2: (2) की घात (1,2,3) यानी (3) तरीके; (3) के लिए (3) तरीके; (5) और (7) के लिए (2-2) तरीके। कुल \(3\times3\times2\times2=36\)। चरण 3: शर्त वाले गुणनखंडों में उस अभाज्य की घात की सीमा ध्यान से बदलें।
Multiply the prime factors according to their powers.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^2=4\) and \(7^2=49\), so \(4\times3\times49=588\).
Step 3
Exam Tip
First evaluate powers, then multiply carefully. चरण 1: अभाज्य गुणनखंडों को उनकी घात के अनुसार गुणा करें। चरण 2: \(2^2=4\), \(7^2=49\), इसलिए \(4\times3\times49=588\)। चरण 3: पहले घातों का मान निकालें, फिर धीरे-धीरे गुणा करें।
LCM includes every prime factor with its highest exponent.
Step 2
Why this answer is correct
Highest powers are \(2^3\), \(3^2\), and \(5^2\).
Step 3
Exam Tip
For LCM, do not miss a prime factor that appears in either number. चरण 1: लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंड अपनी सबसे बड़ी घात के साथ लिए जाते हैं। चरण 2: (2) की बड़ी घात (3), (3) की घात (2), और (5) की बड़ी घात (2) है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में कोई अभाज्य गुणनखंड छूटना नहीं चाहिए।
