Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। / Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है। / Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}).
एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। / Elements in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। / (a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं। / Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid.
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
((1,3)) सम्बन्ध में है। / ((1,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। / For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation.
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध/Universal equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(A\times A\) के बराबर है। / It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) एक ही प्रकार के हों: दोनों (4) से छोटे या दोनों (4) से बड़े या बराबर। कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
((2,5)) के लिए योग (2+5=7) है। / For ((2,5)), the sum is (2+5=7).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी युग्मों का योग भी (7) होना चाहिए। / Every pair related to it must also have sum (7).
Step 3
Exam Tip
ऐसे सम्बन्धों में तुल्यता वर्ग एक नियत मान वाली रेखा या वक्र के रूप में मिल सकता है। / In such relations, an equivalence class may appear as a set of points satisfying a fixed value condition.
विषम वर्ग ({1,3,5}) में (3) अवयव हैं और सम वर्ग ({2,4}) में (2) अवयव हैं। / The odd class ({1,3,5}) has (3) elements and the even class ({2,4}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
क्रमित युग्मों की संख्या \(3^2+2^2=9+4\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2=9+4\).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते, इसलिए कुल (13) है। / Pairs between different classes are not counted, so the total is (13).
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((a,b)S(a,b)) होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,b)) must satisfy ((a,b)S(a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (a+a=b+b), अर्थात (a=b), जरूरी होगा। / This would require (a+a=b+b), meaning (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म में (a=b) नहीं होता, जैसे ((1,2)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Not every ordered pair has (a=b), for example ((1,2)), so the relation is not equivalence.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। / Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
(3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। / Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते। / Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted.
((1,3)) और ((3,1)) बताते हैं कि (1) और (3) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,3)) and ((3,1)) show that (1) and (3) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से सम्बन्धित हैं, इसलिए वे अलग-अलग एकल वर्ग बनाते हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध को विभाजन में बदलते समय जुड़े हुए अवयवों को एक ही डिब्बे में रखें। / To convert a relation into a partition, put mutually related elements in the same block.
प्रत्येक भाग के भीतर सभी अवयव आपस में सम्बन्धित होंगे। / Inside each block, every element is related to every element of that block.
Step 2
Why this answer is correct
({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, ({2}) से (1) और ({3}) से (1) युग्म मिलता है। / ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs, ({2}) gives (1), and ({3}) gives (1).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+1+1=6) होंगे। / Total pairs are (4+1+1=6).
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए कौन-से युग्म निश्चित रूप से चाहिए?
सम्बन्ध स्वतुल्य और सममित दिखता है, पर संक्रामकता जाँचनी है। / The relation is reflexive and appears symmetric, but transitivity must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए; ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed; from ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is needed.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में एक ही वर्ग के सभी अवयव आपस में जुड़े होते हैं। / In an equivalence relation, all elements of the same class must be mutually related.
वर्गों के आकारों का योग (6) और उनके वर्गों का योग (31) होना चाहिए। / Class sizes must add to (6), and their squares must add to (31).
Step 2
Why this answer is correct
(5+1=6) और \(5^2+1^2=25+1=26\), इसलिए यह नहीं है; सही जांच करें। / Testing the listed patterns gives (26,20,18,) and (14).
Step 3
Exam Tip
कोई दिया विकल्प (31) नहीं देता, अतः प्रश्न में दिए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / None of the given options gives (31), so no listed pattern is possible.
((1,2)) का दूसरा घटक (2) है। / The second component of ((1,2)) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे घटक (2) वाले युग्म ((1,2),(2,2),(3,2)) हैं। / The pairs with second component (2) are ((1,2),(2,2),(3,2)).
Step 3
Exam Tip
घटक आधारित संबंध में वही घटक समान रखने वाले सभी तत्व वर्ग में आते हैं। / In component-based relations, all elements with the specified same component form the class.
((1,2)) का प्रथम घटक (1) है। / The first component of ((1,2)) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में प्रथम घटक (1) वाले युग्म ((1,1)) और ((1,2)) हैं। / In the given set, the ordered pairs with first component (1) are ((1,1)) and ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
घटक आधारित संबंधों में संबंधित वर्ग बनाने के लिए उसी घटक को समान रखें। / In component-based relations, keep the specified component the same to form the class.
