Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
D. यह न एकैकी है न आच्छादक/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1)=2) और (f(-1)=2), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(x^2+1\ge 1\), इसलिए ऋणात्मक संख्याएँ और (0) प्रतिबिंब नहीं बन सकते, अतः यह आच्छादक भी नहीं है। / Since \(x^2+1\ge 1\), negative numbers and (0) are not attained, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में एकैकी और आच्छादकता को अलग-अलग जाँचें। / Always test one-one and onto separately.
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए आच्छादी है। / For every integer (n), choosing (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) लेने से आच्छादिता बदल जाती है। / Taking codomain \(\mathbb{Z}\) changes onto behaviour.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए (C) का हर अवयव (g(f(a))) के रूप में आता है। / Since \(g\circ f\) is onto, every element of (C) is of the form (g(f(a))).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि वही अवयव (g(b)) के रूप में भी आता है, जहाँ (b=f(a))। / That same element is also of the form (g(b)), where (b=f(a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) अवश्य आच्छादी है। / Hence (g) must be onto.
यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है। / Therefore, the function is one-one but not onto.
(f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
(c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / (c) is not the image of any element, so the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें। / For finite sets, list the images to test both properties.
A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहीं/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
\(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। / \(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। / Its value is always positive, so no negative real number is attained.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है। / Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.
A. क्योंकि इसका परास ([-1,1]) है/Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which includes values like (2) that are not attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें। / For onto checking, compare the range with the codomain.
B. यह आच्छादी है पर एकैकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\geq 0\) के लिए कोई (x) मिलता है जैसे \(x=\sqrt{y}\), इसलिए फलन आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), there is an (x), such as \(x=\sqrt{y}\), so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)=4), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से आच्छादी होने का उत्तर बदल सकता है। / Changing the codomain can change whether a function is onto.
(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए अलग इनपुट की एक ही छवि है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so distinct inputs have the same image; it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी भी नहीं है। / No negative real number is an output, so it is not onto \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान में प्रांत और सहप्रांत को ध्यान से देखें। / For absolute value functions, check both domain and codomain carefully.
दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).
हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। / For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है। / Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto.
A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। / Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है। / The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer.
A. क्योंकि इसका परिसर ([-1,1]) है/Because its range is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं, पर वे \(\sin x\) से नहीं मिलते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which contains values like (2), but these are not obtained by \(\sin x\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में परिसर याद रखना आच्छादी जाँच में बहुत मदद करता है। / Remembering the range of trigonometric functions helps in onto questions.
हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.
(C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। / Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).
Step 2
Why this answer is correct
(f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। / Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).
Step 3
Exam Tip
दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है। / The composition of two onto functions is onto.
A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/(1) and (2) have no preimage
Step 1
Concept
\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.
A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगा/At least two elements have the same image
Step 1
Concept
आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.
A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है/Because (0) has no preimage
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। / Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें। / To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function.
(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं है/It is neither one-one nor onto
Step 1
Concept
\(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.
(f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)), so it is not one-one.
Step 2
Why this answer is correct
ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें। / For even powers, check both symmetry and range.
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge2\) के लिए \(x=\sqrt{y-2}\) या \(x=-\sqrt{y-2}\) लिया जा सकता है, इसलिए आच्छादक है। / For every \(y\ge2\), \(x=\sqrt{y-2}\) or \(x=-\sqrt{y-2}\) can be chosen, so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=3), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=3), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त को सही पढ़ना आच्छादकता जाँचने में बहुत जरूरी है। / Reading the codomain correctly is very important while checking onto.
