Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
उभयैक का अर्थ एक-एकी और आच्छादक दोनों होता है। / Bijective means both one-one and onto.
Step 2
Why this answer is correct
दो एक-एकी फलनों का संयुक्त फलन एक-एकी होता है और दो आच्छादक फलनों का संयुक्त फलन आच्छादक होता है। / The composite of two one-one functions is one-one, and the composite of two onto functions is onto.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(g\circ f\) उभयैक होगा। / Therefore \(g\circ f\) is bijective.
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge4\) के लिए \(x=\sqrt{y-4}\) या \(x=-\sqrt{y-4}\) मिल सकता है, इसलिए आच्छादक है। / For every \(y\ge4\), \(x=\sqrt{y-4}\) or \(x=-\sqrt{y-4}\) can be chosen, so it is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=5), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=5), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता की स्थिति बदल सकती है। / Changing the codomain can change onto status.
(7x+2) में (x) बदलने पर मान भी अलग बदलता है, इसलिए फलन एक-एकी है। / In (7x+2), different (x) values give different outputs, so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in R\) के लिए \(x=\frac{y-2}{7}\) लिया जा सकता है। / For any \(y\in R\), choose \(x=\frac{y-2}{7}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वास्तविक (y) छवि बनता है और फलन आच्छादक है। / Thus every real (y) is an image, so the function is onto.
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
हर \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) या \(x=-\sqrt{y}\) मिलता है, इसलिए परास पूरा सहप्रान्त है। / For every \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) or \(x=-\sqrt{y}\) gives an input, so the range equals the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक-एकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सहप्रान्त बदलने से आच्छादकता बदल सकती है। / Changing the codomain can change onto status.
A. यह आच्छादक है पर एक-एकी नहीं/It is onto but not one-one
Step 1
Concept
(B) के दोनों अवयव (a) और (b) छवि के रूप में मिल रहे हैं, इसलिए फलन आच्छादक है। / Both elements (a) and (b) of (B) appear as images, so the function is onto.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) दोनों की छवि (a) है, इसलिए यह एक-एकी नहीं है। / Both (1) and (2) map to (a), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
आच्छादक और एक-एकी को अलग-अलग जाँचें। / Check onto and one-one separately.
\(x^3\) में (x) बढ़ने पर मान भी अलग-अलग ढंग से बदलता है, इसलिए यह एक-एकी है। / For \(x^3\), different real inputs give different outputs, so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\sqrt[3]{y}\) वास्तविक है। / For every real (y), \(x=\sqrt[3]{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर (y) की पूर्वछवि मिलती है और फलन आच्छादक भी है। / Hence every (y) has a preimage, so the function is onto as well.
