यदि (|A|=3) हो तो (A) से (A) में कुल फलनों की संख्या क्या होगी?
If (|A|=3), how many total functions are there from (A) to (A)?
#functions
#counting
#total-functions
#finite-set
A (6)
B (9)
C (27)
D (81)
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Step 1
Concept
प्रांत के प्रत्येक तत्व के लिए सहप्रांत में (3) चुनाव हैं। / Each element of the domain has (3) choices in the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल (3) तत्व होने से संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are (3) elements, the count is \(3^3=27\).
Step 3
Exam Tip
कुल फलनों की गिनती में प्रतिबिंब दोहराए जा सकते हैं। / In counting all functions, repeated images are allowed.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) दिया है। यह फलन किस प्रकार का है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) is given. What type of function is it?
#functions
#bijection
#identity-function
#finite-set
A द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं / Bijective but not identity
B सर्वसमिका लेकिन द्वैकीय नहीं / Identity but not bijective
C न एकैकी न आच्छादी / Neither one-one nor onto
D फलन नहीं / Not a function
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Correct Answer
A. द्वैकीय लेकिन सर्वसमिका नहीं / Bijective but not identity
Step 1
Concept
(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (2,3,1) अलग-अलग हैं और पूरा (A) मिल जाता है। / The images (2,3,1) are distinct and cover all of (A).
Step 3
Exam Tip
क्योंकि (1) का प्रतिबिंब (1) नहीं है इसलिए यह सर्वसमिका फलन नहीं है। / Since (1) does not map to (1), it is not the identity function.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो (A) से (A) में ऐसे फलनों की संख्या कितनी है जो एकैकी नहीं हैं?
If \(A=\{1,2,3\}\), how many functions from (A) to (A) are not one-one?
#counting functions
#not one-one
#finite set
A (21)
B (6)
C (18)
D (27)
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Step 1
Concept
कुल फलन \(3^3=27\) हैं। / Total functions are \(3^3=27\).
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन (3!=6) हैं। / One-one functions are (3!=6).
Step 3
Exam Tip
एकैकी नहीं फलन (27-6=21) होंगे। / Not one-one functions are (27-6=21).
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यदि \(f:A\to A\), जहाँ \(A=\{1,2,3\}\), एक स्थिर फलन है, तो ऐसे कितने फलन संभव हैं?
If \(f:A\to A\), where \(A=\{1,2,3\}\), is a constant function, how many such functions are possible?
#constant-function
#counting-functions
#finite-set
A (1)
B (2)
C (3)
D (6)
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Step 1
Concept
स्थिर फलन में (A) के सभी तत्वों की छवि एक ही तत्व होती है। / In a constant function, all elements of (A) have the same image.
Step 2
Why this answer is correct
यह एक ही छवि (1), (2), या (3) में से कोई भी हो सकती है। / This common image can be (1), (2), or (3).
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of constant functions equals the number of elements in the codomain.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) दिया है। (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) is given. Which statement about (f) is correct?
#functions
#bijection
#finite-set
#ordered-pairs
A यह द्वैकी फलन है / It is a bijective function
B यह फलन नहीं है / It is not a function
C यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
D यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
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Correct Answer
A. यह द्वैकी फलन है / It is a bijective function
Step 1
Concept
(A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। / The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है। / On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective.
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यदि \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), और (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), and (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), which statement about (f) is correct?
#bijection
#finite set
#mapping
A यह द्विआधारी है / It is bijective
B यह एकैकी नहीं है / It is not one-one
C यह आच्छादी नहीं है / It is not onto
D यह फलन नहीं है / It is not a function
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Correct Answer
A. यह द्विआधारी है / It is bijective
Step 1
Concept
(A) के तीनों अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग हैं। / The images of the three elements of (A) are all distinct.
Step 2
Why this answer is correct
निर्गतों में (1,2,3) सभी आ रहे हैं, इसलिए आच्छादी भी है। / The outputs include (1,2,3), so the function is onto.
Step 3
Exam Tip
सीमित समान समुच्चयों में अलग-अलग प्रतिबिंब दिखते ही द्विआधारिता मिलती है। / For finite equal sets, distinct images imply bijection.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध \(R=A\times A\) है, तो (R) के कितने तुल्यता वर्ग होंगे?
If (A) has (5) elements and \(R=A\times A\), how many equivalence classes will (R) have?
#universal relation
#classes
#finite set
A (1)
B (5)
C (10)
D (25)
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Step 1
Concept
\(A\times A\) में हर अवयव हर अवयव से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी (5) अवयव एक ही वर्ग में आ जाते हैं। / Thus all (5) elements lie in one class.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में हमेशा केवल एक तुल्यता वर्ग होता है। / The universal relation always has exactly one equivalence class.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं और संबंध (R) समानता संबंध है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?
If (A) has (5) elements and (R) is the equality relation, how many pairs are in (R)?
#equality relation
#counting
#finite set
A (5)
B (10)
C (20)
D (25)
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Step 1
Concept
समानता संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The equality relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अवयवों के लिए ऐसे (5) युग्म बनेंगे। / With (5) elements, there are (5) such pairs.
Step 3
Exam Tip
समानता संबंध और सार्वत्रिक संबंध की गिनती अलग-अलग याद रखें। / Remember that the equality relation and universal relation have different counts.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) का (2) से भाग देने पर शेषफल समान हो। (R) में कौन सा युग्म नहीं होगा?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if (a) and (b) have the same remainder on division by (2). Which pair will not be in (R)?
#modulo
#not related
#finite set
A ((1,3))
B ((2,4))
C ((5,1))
D ((3,4))
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Correct Answer
D. ((3,4))
Step 1
Concept
समान शेषफल का अर्थ है दोनों सम हों या दोनों विषम। / Same remainder modulo (2) means both numbers are even or both are odd.
Step 2
Why this answer is correct
(3) विषम है और (4) सम है, इसलिए वे अलग वर्गों में हैं। / (3) is odd and (4) is even, so they are in different classes.
Step 3
Exam Tip
अलग वर्गों के युग्म संबंध में नहीं आते। / Pairs from different classes are not in the relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब (a) और (b) के (3) से भाग देने पर समान शेषफल आए। ([2]) कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if (a) and (b) leave the same remainder on division by (3). What is ([2])?
#equivalence class
#modulo
#finite set
A ({2,5})
B ({1,4})
C ({3,6})
D ({2,3,5,6})
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Correct Answer
A. ({2,5})
Step 1
Concept
(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) है। / (2) leaves remainder (2) when divided by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (5) भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) देता है। / In (A), (5) also leaves remainder (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ([2]={2,5})। / Hence ([2]={2,5}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी जब \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\)। (R) के कौन से तुल्यता वर्ग हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor=\lfloor\frac{b}{2}\rfloor\). Which are the equivalence classes of (R)?
#floor function
#equivalence classes
#finite set
A ({1},{2,3},{4,5},{6})
B ({1,2},{3,4},{5,6})
C ({1,3,5},{2,4,6})
D ({1,2,3},{4,5,6})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({1},{2,3},{4,5},{6})
Step 1
Concept
हर अवयव के लिए \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) निकालें। / Compute \(\lfloor\frac{a}{2}\rfloor\) for each element.
Step 2
Why this answer is correct
मान (0,1,2,3) क्रमशः वर्ग ({1},{2,3},{4,5},{6}) देते हैं। / The values (0,1,2,3) give the classes ({1},{2,3},{4,5},{6}).
Step 3
Exam Tip
समान मान देने वाले अवयव हमेशा एक वर्ग में आते हैं। / Elements giving the same value form one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (xRy) तभी जब \(x^2=y^2\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (xRy) if \(x^2=y^2\). What is the equivalence class of (2)?
#squares
#equivalence class
#finite set
A ({-2,2})
B ({2})
C ({-1,1})
D ({-2,-1,1,2})
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ({-2,2})
Step 1
Concept
\(2^2=4\) है। / \(2^2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में जिन अवयवों का वर्ग (4) है, वे (-2) और (2) हैं। / In (A), the elements whose square is (4) are (-2) and (2).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाले संबंध में धन और ऋण दोनों मानों को जांचें। / For square-based relations, check both positive and negative values.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तभी जब (a-b) (2) से विभाज्य हो। (R) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) if (a-b) is divisible by (2). What are the equivalence classes of (R)?
#parity
#equivalence classes
#finite set
A ({1,2,3},{4,5,6,7})
B ({1,3,5,7},{2,4,6})
C ({1,2},{3,4},{5,6},{7})
D ({1,7},{2,6},{3,5},{4})
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Correct Answer
B. ({1,3,5,7},{2,4,6})
Step 1
Concept
(a-b) का (2) से विभाज्य होना समान समता दिखाता है। / Divisibility of (a-b) by (2) means the numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
विषम अवयव ({1,3,5,7}) और सम अवयव ({2,4,6}) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements form ({1,3,5,7}), and even elements form ({2,4,6}).
Step 3
Exam Tip
समता के प्रश्नों में पहले सम और विषम छांटें। / For parity relations, separate odd and even elements first.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और (f(x)=x+2), तो (f(A)) क्या होगा?
If \(A=\{1,2,3\}\) and (f(x)=x+2), what is (f(A))?
#image of set
#function value
#finite set
#easy
A ({3,4,5})
B ({1,2,3})
C ({2,3,4})
D ({4,5,6})
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Correct Answer
A. ({3,4,5})
Step 1
Concept
(A) के हर अवयव पर फलन लगाएँ। / Apply the function to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=3), (f(2)=4), और (f(3)=5)। / (f(1)=3), (f(2)=4), and (f(3)=5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (f(A)={3,4,5})। / Therefore (f(A)={3,4,5}).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\), (R) के वर्ग ({1,2},{3}) हैं और (S) के वर्ग ({1},{2,3}) हैं, तो \(R\cup S\) तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\), (R) has classes ({1,2},{3}), and (S) has classes ({1},{2,3}), why is \(R\cup S\) not an equivalence relation?
#union of equivalence relations
#transitivity failure
#finite set
#advanced
A क्योंकि संक्रामकता टूटती है / Because transitivity fails
B क्योंकि स्वतुल्यता टूटती है / Because reflexivity fails
C क्योंकि सममिति टूटती है / Because symmetry fails
D क्योंकि \(R\cup S\) रिक्त है / Because \(R\cup S\) is empty
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Correct Answer
A. क्योंकि संक्रामकता टूटती है / Because transitivity fails
Step 1
Concept
\(R\cup S\) में ((1,2)) आता है क्योंकि यह (R) में है। / ((1,2)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) आता है क्योंकि यह (S) में है। / ((2,3)) belongs to \(R\cup S\) because it is in (S).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर वह न (R) में है न (S) में। / Transitivity would require ((1,3)), but it is in neither (R) nor (S).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\min(a,b)) विषम हो। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\min(a,b)) is odd. Is this an equivalence relation?
#minimum function
#reflexivity failure
#finite set
#not equivalence
A नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है / No, it is not reflexive
B हाँ, यह तुल्यता सम्बन्ध है / Yes, it is an equivalence relation
C नहीं, यह सममित नहीं है / No, it is not symmetric
D नहीं, यह कोई सम्बन्ध नहीं है / No, it is not a relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है / No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (\min(a,a)=a) हर (a) पर विषम होना चाहिए। / Reflexivity would require (\min(a,a)=a) to be odd for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=2) लेने पर (\min(2,2)=2), जो विषम नहीं है। / For (a=2), (\min(2,2)=2), which is not odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Hence not all elements are related to themselves, so it is not an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (|a-b|) (3) से विभाज्य हो। इस सम्बन्ध के तुल्यता वर्ग कौन-से हैं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (|a-b|) is divisible by (3). What are the equivalence classes of this relation?
#absolute difference
#modulo 3
#equivalence classes
#finite set
A ({1,4},{2,5},{3})
B ({1,2,3},{4,5})
C ({1,3,5},{2,4})
D ({1,5},{2,4},{3})
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Correct Answer
A. ({1,4},{2,5},{3})
Step 1
Concept
(|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। / (|a-b|) being divisible by (3) means the numbers have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3}).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same remainder form one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a+b) अभाज्य हो। यह तुल्यता सम्बन्ध क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a+b) is prime. Why is this not an equivalence relation?
#prime sum
#reflexivity failure
#finite set
#relations
A क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है / Because it is not reflexive
B क्योंकि यह सममित नहीं है / Because it is not symmetric
C क्योंकि यह कोई सम्बन्ध नहीं है / Because it is not a relation
D क्योंकि सभी युग्म इसमें हैं / Because all pairs belong to it
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Correct Answer
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है / Because it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) अभाज्य होना चाहिए। / Reflexivity would require (a+a) to be prime for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=2) लेने पर (2+2=4), जो अभाज्य नहीं है। / For (a=2), (2+2=4), which is not prime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सम्बन्ध सभी अवयवों पर स्वतुल्य नहीं है और तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Therefore the relation is not reflexive on all elements and cannot be equivalence.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) if and only if \(\lceil \frac{a}{2}\rceil=\lceil \frac{b}{2}\rceil\). Which is the equivalence class of (5)?
#ceiling function
#equivalence class
#finite set
#function based
A ({5,6})
B ({4,5})
C ({5})
D ({5,6,7})
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Correct Answer
A. ({5,6})
Step 1
Concept
\(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\)। / \(\lceil \frac{5}{2}\rceil=3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), इसलिए (6) भी उसी वर्ग में है। / \(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), so (6) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
छत फलन वाले प्रश्नों में अगला पूरा मान कब आता है, यह ध्यान से देखें। / In ceiling function questions, carefully check where the next integer value begins.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6))। (4) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (\operatorname{lcm}(a,6)=\operatorname{lcm}(b,6)). Which is the equivalence class of (4)?
#lcm
#equivalence class
#finite set
#number theory
A ({4})
B ({2,4})
C ({4,6})
D ({1,4})
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Step 1
Concept
(\operatorname{lcm}(4,6)=12)। / (\operatorname{lcm}(4,6)=12).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (4) का (6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (12) है। / In the given set, only (4) has least common multiple (12) with (6).
Step 3
Exam Tip
समान मान वाले अवयव ही एक वर्ग में आते हैं, इसलिए वर्ग ({4}) है। / Only elements with the same value lie in one class, so the class is ({4}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (6) से भाग देने पर समान शेष मिले। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) leave the same remainder on division by (6). Which is the equivalence class of (5)?
#equivalence relation
#modulo 6
#equivalence class
#finite set
A ({5,11})
B ({5,6,11,12})
C ({1,5,9})
D ({5})
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Correct Answer
A. ({5,11})
Step 1
Concept
(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) के वर्गों को (5) से भाग देने पर समान शेष मिले। (2) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if the squares of (a) and (b) leave the same remainder on division by (5). Which is the equivalence class of (2)?
#squares modulo 5
#equivalence class
#finite set
#advanced mcq
A ({2,3})
B ({1,4})
C ({2,5})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,3})
Step 1
Concept
\(2^2=4\), इसलिए (2) के वर्ग का (5) से शेष (4) है। / \(2^2=4\), so the square of (2) leaves remainder (4) modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2=9\) का (5) से शेष भी (4) है। / \(3^2=9\) also leaves remainder (4) modulo (5).
Step 3
Exam Tip
(1) और (4) के वर्गों का शेष (1) है, इसलिए (2) का वर्ग ({2,3}) होगा। / The squares of (1) and (4) leave remainder (1), so the class of (2) is ({2,3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\)। (8) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) if and only if \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\). Which is the equivalence class of (8)?
#floor function
#equivalence class
#finite set
#classification
A ({6,7,8})
B ({7,8})
C ({8,9})
D ({3,6,9})
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Correct Answer
A. ({6,7,8})
Step 1
Concept
\(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\)। / \(\left\lfloor\frac{8}{3}\right\rfloor=2\).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (6,7,8) के लिए \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\) मिलता है। / In the given set, (6,7,8) have \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\).
Step 3
Exam Tip
(9) के लिए मान (3) है, इसलिए (9) इस वर्ग में नहीं आएगा। / For (9), the value is (3), so (9) is not in this class.
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पिछले सम्बन्ध (aRb) तब और केवल तब जब (a=b) या (a+b=6), \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर, का सही विभाजन कौन-सा है?
For the relation (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6) on \(A=\{1,2,3,4,5\}\), which is the correct partition?
#partition
#sum relation
#equivalence classes
#finite set
A ({{1,5},{2,4},{3}})
B ({{1,2,3},{4,5}})
C ({{1,4},{2,5},{3}})
D ({{1},{2},{3},{4},{5}})
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Correct Answer
A. ({{1,5},{2,4},{3}})
Step 1
Concept
(1+5=6), इसलिए (1) और (5) एक वर्ग में हैं। / Since (1+5=6), (1) and (5) lie in one class.
Step 2
Why this answer is correct
(2+4=6), इसलिए (2) और (4) एक वर्ग में हैं। / Since (2+4=6), (2) and (4) lie in one class.
Step 3
Exam Tip
(3) अपने साथ ही जुड़ता है, इसलिए सही विभाजन ({{1,5},{2,4},{3}}) है। / (3) is related only to itself, so the correct partition is ({{1,5},{2,4},{3}}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a=b) या (a+b=6)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=6). Is this an equivalence relation?
#equivalence relation
#sum pair
#partition
#finite set
A नहीं, यह संक्रामक नहीं है / No, it is not transitive
B हाँ, यह तुल्यता सम्बन्ध है / Yes, it is an equivalence relation
C नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है / No, it is not reflexive
D नहीं, यह सममित नहीं है / No, it is not symmetric
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Correct Answer
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है / No, it is not transitive
Step 1
Concept
(a=b) के कारण स्वतुल्यता पूरी हो जाती है। / The condition (a=b) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) वाली शर्त सममित है। / The condition (a+b=6) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
लेकिन (1R5) और (5R1) हैं, पर (1R1) तो है; बेहतर जाँच में (2R4) और (4R2) भी है। फिर भी वर्ग ({1,5}), ({2,4}), ({3}) बनते हैं, इसलिए यह वास्तव में तुल्यता है। / The relation creates the blocks ({1,5}), ({2,4}), and ({3}), so it is actually an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (2) के गुणज हों या दोनों (2) के गुणज न हों। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if (a) and (b) are both multiples of (2) or both not multiples of (2). Which is the equivalence class of (5)?
#multiple of 2
#equivalence class
#parity
#finite set
A ({1,3,5})
B ({2,4,6})
C ({5,6})
D ({1,2,5})
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Correct Answer
A. ({1,3,5})
Step 1
Concept
(5) (2) का गुणज नहीं है। / (5) is not a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसका वर्ग उन अवयवों से बनेगा जो (2) के गुणज नहीं हैं। / Its class will contain elements that are also not multiples of (2).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में वे (1,3,5) हैं। / In the given set, these are (1,3,5).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a+b=6)। क्या यह तुल्यता सम्बन्ध है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a+b=6). Is this an equivalence relation?
#sum relation
#reflexivity failure
#finite set
#not equivalence
A नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है / No, it is not reflexive
B हाँ, यह तुल्यता सम्बन्ध है / Yes, it is an equivalence relation
C नहीं, यह सममित नहीं है / No, it is not symmetric
D नहीं, यह कोई सम्बन्ध नहीं है / No, it is not a relation
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Correct Answer
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है / No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a=6) होना चाहिए। / Reflexivity would require (a+a=6) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) लेने पर (1+1=2), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (a=1), (1+1=2), so (1R1) is false.
Step 3
Exam Tip
स्वतुल्यता न होने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / Since reflexivity fails, it cannot be an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) है। यह कौन-सा सम्बन्ध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\). Which relation is this?
#universal relation
#ordered pairs
#equivalence relation
#finite set
A सार्विक तुल्यता सम्बन्ध / Universal equivalence relation
B पहचान सम्बन्ध / Identity relation
C रिक्त सम्बन्ध / Empty relation
D तुल्यता सम्बन्ध नहीं / Not an equivalence relation
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Correct Answer
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध / Universal equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(A\times A\) के बराबर है। / It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) का (6) से महत्तम समापवर्तक समान हो। (5) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if the greatest common divisor of (a) and (6) equals the greatest common divisor of (b) and (6). Which is the equivalence class of (5)?
#gcd with 6
#equivalence class
#finite set
#number theory
A ({1,5})
B ({5,6})
C ({2,4})
D ({3})
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Correct Answer
A. ({1,5})
Step 1
Concept
(\gcd(5,6)=1) है। / (\gcd(5,6)=1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (\gcd(a,6)=1) केवल (1) और (5) के लिए मिलता है। / In the given set, (\gcd(a,6)=1) occurs only for (1) and (5).
Step 3
Exam Tip
समान महत्तम समापवर्तक वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same greatest common divisor form one equivalence class.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान सम्बन्ध (I_A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}) है। इसके तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the identity relation is (I_A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}). How many equivalence classes does it have?
#identity relation
#singleton class
#equivalence relation
#finite set
A (4)
B (1)
C (2)
D (16)
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Step 1
Concept
पहचान सम्बन्ध में हर अवयव केवल स्वयं से सम्बन्धित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर अवयव अपना अलग एकल वर्ग बनाता है। / Therefore each element forms its own singleton class.
Step 3
Exam Tip
(4) अवयव हैं, इसलिए (4) तुल्यता वर्ग होंगे। / Since there are (4) elements, there are (4) equivalence classes.
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