Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), और \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\)। / \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), \(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\), and \(\sqrt{128}=8\sqrt{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
योग ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}) है। / The sum is ((1+2+4+8)\sqrt{2}=15\sqrt{2}).
Step 3
Exam Tip
गुणनखंडों में पूर्ण वर्गों का क्रम पहचानें। / Recognize the pattern of perfect-square factors.
(x) और (y) संयुग्मी रूप में हैं। / (x) and (y) are conjugates.
Step 2
Why this answer is correct
(\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2) में बीच के अपरिमेय पद कट जाते हैं और मान (2(5+2)=14) मिलता है। / In (\(\sqrt{5}+\sqrt{2}\)2+\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)2), the middle irrational terms cancel and the value is (2(5+2)=14).
Step 3
Exam Tip
दो संयुग्मी वर्गों का योग लेते समय बीच वाले पद नहीं बचते। / When adding squares of conjugates, the middle terms vanish.
यदि (a) और (b) धनात्मक पूर्णांक हैं तथा \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\) परिमेय है, जबकि (a) पूर्ण वर्ग नहीं है, तो (b) के बारे में कौन-सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही हो सकता है?
(a) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए \(\sqrt{a}\) अपरिमेय है। / Since (a) is not a perfect square, \(\sqrt{a}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
दो धनात्मक वर्गमूलों का योग परिमेय तभी हो सकता है जब अपरिमेय भाग कटे, पर यहाँ दोनों पद धनात्मक हैं इसलिए कटना संभव नहीं है। / A sum of two positive square roots could become rational only if irrational parts cancel, but both terms are positive here.
Step 3
Exam Tip
धनात्मक मूलों के योग में विपरीत चिह्न न होने पर अपरिमेय भाग बचता है। / Without opposite signs, irrational surd parts remain in the sum.
A. अंकगणित का मूल प्रमेय/Fundamental theorem of arithmetic
Step 1
Concept
अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि (1) से बड़ी हर संख्या का अभाज्य गुणनखंडन क्रम को छोड़कर अद्वितीय होता है। / The fundamental theorem of arithmetic says every integer greater than (1) has a unique prime factorisation apart from order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (N) का दिया गया अभाज्य गुणनखंडन इसी गुणधर्म पर आधारित है। / So the given factorisation of (N) is based on this property.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य गुणनखंडन की अद्वितीयता को हमेशा इस प्रमेय से जोड़ें। / Link uniqueness of prime factorisation with this theorem.
पूर्ण वर्ग गुणनखंड में हर अभाज्य की घात सम होनी चाहिए। / In a square factor, every prime exponent must be even.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक अभाज्य के लिए घात (0) या (2) हो सकती है, यानी (2) विकल्प। कुल \(2 \times 2 \times 2=8\)। / For each prime, the exponent can be (0) or (2), giving (2) choices. Total \(2 \times 2 \times 2=8\).
Step 3
Exam Tip
सम घातों की संख्या अलग-अलग गिनकर गुणा करें। / Count even exponent choices separately and multiply.
(10) से विभाज्य गुणनखंड में (2) और (5) दोनों की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (10) must contain at least one (2) and one (5).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात (1) से (5) तक (5) विकल्प, और (5) की घात (1) से (4) तक (4) विकल्प देती है। कुल \(5 \times 4=20\)। / Exponent choices for (2) are (1) to (5), so (5) choices; for (5), (1) to (4), so (4) choices. Total (20).
Step 3
Exam Tip
(10) से विभाज्यता में दोनों अभाज्यों की उपस्थिति जरूरी है। / Divisibility by (10) needs both prime factors.
(3) से विभाज्य गुणनखंड में (3) की घात कम से कम (1) होनी चाहिए। / A factor divisible by (3) must have exponent of (3) at least (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) की घात के (5) विकल्प हैं और (3) की घात (1,2,3) यानी (3) विकल्प हैं; कुल \(5 \times 3=15\)। दिए विकल्पों में (15) सही है। / The exponent of (2) has (5) choices, and exponent of (3) has (1,2,3), so (3) choices; total \(5 \times 3=15\).
Step 3
Exam Tip
शर्त वाले गुणनखंडों में संबंधित अभाज्य की घात सीमा बदलती है। / For conditional factor counts, adjust the exponent choices.
अभाज्य गुणनखंडन में सभी आधार अभाज्य होने चाहिए। / In prime factorisation, every base must be prime.
Step 2
Why this answer is correct
(9) अभाज्य नहीं है क्योंकि \(9=3^2\), इसलिए पहला विकल्प अभाज्य गुणनखंडन नहीं है। / (9) is not prime because \(9=3^2\), so the first option is not prime factorisation.
Step 3
Exam Tip
हर आधार को अभाज्य होना चाहिए, केवल घात लिखना काफी नहीं। / Every base must be prime; writing powers alone is not enough.
हर बार (12) से भाग देने पर \(2^2\) और (3) घटेंगे; \(2^5\) से अधिकतम (2) बार और \(3^2\) से अधिकतम (2) बार मिलते हैं। इसलिए उत्तर (2) है। / Each division by (12) uses \(2^2\) and (3). From \(2^5\), this can happen (2) times, and from \(3^2\), also (2) times.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त भाजक के लिए सभी अभाज्यों की सीमा देखें। / For a composite divisor, check the limiting prime exponent.
(2) की घात (4) और (5) की घात (3) है, इसलिए (10) के जोड़े (3) बनेंगे। / The exponent of (2) is (4) and of (5) is (3), so (3) pairs of (10) can be formed.
Step 3
Exam Tip
(10) से भाग की अधिकतम संख्या छोटी घात से मिलती है। / The maximum divisions by (10) equals the smaller exponent.
वर्गमूल लेते समय अभाज्य घातों को आधा किया जाता है। / When taking a square root, halve the prime exponents.
Step 2
Why this answer is correct
\(2^4\) से \(2^2\) और \(3^2\) से (3) मिलेगा, इसलिए \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\)। / \(2^4\) becomes \(2^2\) and \(3^2\) becomes (3), so \(\sqrt{N}=2^2 \times 3\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल में केवल घातों को आधा करें, आधार नहीं बदलें। / In square roots, halve exponents, not bases.
\(108=2^2 \times 3^3\) और \(10=2 \times 5\), इसलिए \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\)। (2) की घात (3) है। / \(108=2^2 \times 3^3\) and \(10=2 \times 5\), so \(1080=2^3 \times 3^3 \times 5\). The exponent of (2) is (3).
Step 3
Exam Tip
(2) की घात जानने के लिए बार-बार (2) से भाग देना भी उपयोगी है। / Repeated division by (2) is also useful for finding this exponent.
