Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x-2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x-2ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1-2a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-2a}\); हटाया गया अवयव हर को शून्य होने से बचाता है। / Thus (x(1-2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-2a}\); the excluded element prevents a zero denominator.
तत्समक (0) है क्योंकि (a+0-0=a)। / The identity is (0) because (a+0-0=a).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-2ax=0), अतः (x(1-2a)=-a)। / For inverse (x), (a+x-2ax=0), so (x(1-2a)=-a).
Step 3
Exam Tip
\(a=\frac{1}{2}\) पर गुणक शून्य हो जाता है और समीकरण असंभव बनता है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं। / At \(a=\frac{1}{2}\), the coefficient becomes zero and the equation is impossible, so it has no inverse.
A. यह बंद है और (1) तत्समक है/It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। / Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। / (1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें। / For a finite set, sample products reveal the closure pattern.
यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। / This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
(0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं। / Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse.
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(1) हर अवयव को बिना बदले रखता है, क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / (1) leaves every element unchanged because (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में (1) और महत्तम समापवर्तक में ऊपर वाला गुणज अलग भूमिकाएँ निभाते हैं। / In LCM and GCD operations, (1) and the top common multiple play different roles.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(6) इस समुच्चय के हर अवयव का गुणज है, इसलिए (\gcd(a,6)=a)। / (6) is a multiple of every element of this set, so (\gcd(a,6)=a).
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में महत्तम अवयव प्रायः ऐसी क्रिया में तत्समक बन सकता है। / In a finite set, the largest suitable multiple can become the identity for a GCD operation.
C. नहीं, क्योंकि कोई सबसे बड़ा प्राकृतिक अवयव नहीं/No, because there is no largest natural element
Step 1
Concept
(\gcd(a,e)=a) होने के लिए (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए। / For (\gcd(a,e)=a), (e) must be a multiple of every (a).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा कोई एक प्राकृतिक अवयव नहीं जो सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणज हो। / There is no single natural number that is a multiple of all natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि समुच्चय में (0) होता तो बात अलग होती, पर \(\mathbb{N}\) में यहाँ तत्समक नहीं है। / If (0) were included, the situation would differ, but in \(\mathbb{N}\) there is no identity here.
साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(a>0) होने पर प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) भी धनात्मक होता है। / If (a>0), then its inverse \(\frac{1}{a}\) is also positive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिलोम उसी समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) में रहता है, जो बंदता के बाद अगली जरूरी जाँच है। / Thus the inverse remains in \(\mathbb{R}^{+}\), which is the next key check after closure.
(a+b+ab=b) से (a+ab=0) मिलता है। / From (a+b+ab=b), we get (a+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसे (a(1+b)=0) लिखेंगे। / Factor it as (a(1+b)=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=0) या (b=-1); गुणनखंड बनाना ऐसी शर्तों में बहुत उपयोगी है। / Hence (a=0) or (b=-1); factoring is very useful in such condition-based questions.
C. हर अवयव का प्रतिलोम है/Every element has an inverse
Step 1
Concept
(1) और (-1) का गुणनफल फिर (1) या (-1) ही आता है, इसलिए बंदता है। / The product of (1) and (-1) always remains in ({1,-1}), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1) तत्समक है। / (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
(1) का प्रतिलोम (1) और (-1) का प्रतिलोम (-1) है, इसलिए हर अवयव का प्रतिलोम है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (-1) is (-1), so every element has an inverse.
B. नहीं, क्योंकि ((8*4)*2\neq 8*(4*2))/No, because ((8*4)*2\neq 8*(4*2))
Step 1
Concept
((8*4)*2=(2)*2=1)। / ((8*4)*2=(2)*2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(8*(4*2)=8*2=4)। / (8*(4*2)=8*2=4).
Step 3
Exam Tip
दोनों बराबर नहीं, इसलिए साहचर्य नहीं; एक स्पष्ट प्रत्युदाहरण सबसे मजबूत उत्तर है। / They are not equal, so associativity fails; a clear counterexample is the strongest argument.
दो अशून्य परिमेयों का भाग फिर अशून्य परिमेय होता है, इसलिए बंदता है। / The quotient of two non-zero rationals is again a non-zero rational, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(2*4=\frac{1}{2}\), जबकि (4*2=2), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / But \(2*4=\frac{1}{2}\), while (4*2=2), so commutativity fails.
Step 3
Exam Tip
गुण जाँचते समय बंदता और क्रमविनिमेयता को अलग-अलग देखें। / Check closure and commutativity separately.
(a*x=0) से (a+x+2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), we get (a+x+2ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1+2a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+2a}\); हर में शून्य न हो इसलिए \(-\frac{1}{2}\) हटाया गया है। / Hence (x(1+2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1+2a}\); the excluded value avoids zero denominator.
((a*b)*c) फैलाने पर (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)) फैलाने पर (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)) मिलता है। / Expanding (a*(b*c)) gives (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)).
Step 3
Exam Tip
दोनों में \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) समान है, इसलिए हर (k) पर साहचर्य है। / Both equal \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\), so it is associative for every (k).
A. बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है/Closed because (a+b+ab) is an integer
Step 1
Concept
पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर पूर्णांक ही रहता है। / Sums and products of integers are still integers.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) तीन पूर्णांकों का योग है, इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहेगा। / (a+b+ab) is a sum of three integers, so it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए, धनात्मक होना आवश्यक नहीं। / Closure requires the result to remain in the same set, not necessarily positive.
\(a\neq 1\) और \(b\neq 1\) होने से यह शून्य नहीं, इसलिए \(a*b\neq 1\), अतः बंद है। / Since \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), this is non-zero, so \(a*b\neq 1\); hence closure holds.
Step 3
Exam Tip
तत्समक (0) है और \(a\neq 1\) होने पर प्रतिलोम \(x=\frac{a}{a-1}\) मिलता है। / Identity is (0), and for \(a\neq 1\), the inverse is \(x=\frac{a}{a-1}\).
