समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर \(a*b=a^b\) है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{N}\), \(a*b=a^b\). Which statement is correct?
#binary operations
#powers
#not commutative
#not associative
A क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों / Both commutative and associative
B क्रमविनिमेय पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
C साहचर्य पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
D न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न साहचर्य / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
\(2*3=2^3=8\) और \(3*2=3^2=9\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / \(2*3=2^3=8\) and \(3*2=3^2=9\), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((2*3)*2=82 =64), जबकि (2*(3*2)=29 =512), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((2*3)*2=82 =64), while (2*(3*2)=29 =512), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रत्युदाहरण दोनों गुणों को जल्दी नकार सकता है। / A good counterexample can disprove both properties quickly.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab+2) है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab+2). Does this operation have an identity element?
#binary operations
#no identity
#real numbers
#expert
A हाँ, (0) / Yes, (0)
B हाँ, (1) / Yes, (1)
C हाँ, (-2) / Yes, (-2)
D नहीं / No
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. नहीं / No
Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e+ae+2=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae+2=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1+a)+2=0), जो हर (a) के लिए एक ही (e) से संभव नहीं है। / This gives (e(1+a)+2=0), which cannot hold for all (a) with one fixed (e).
Step 3
Exam Tip
तत्समक एक स्थिर अवयव होना चाहिए, (a) पर निर्भर नहीं। / An identity must be a fixed element, not dependent on (a).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (a) under this operation?
#binary operations
#real numbers
#inverse
#identity
A (-a)
B (-a-1)
C (-a-2)
D (1-a)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), अतः (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+1=-1)। / For inverse (x), (a+x+1=-1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-a-2); स्थिरांक वाली क्रिया में स्थिरांक को ध्यान से रखें। / Hence (x=-a-2); handle the constant term carefully.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। अवयव (a) का प्रतिलोम कौन-सा है?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#nonzero reals
#identity
A \(\frac{2}{a}\)
B \(\frac{4}{a}\)
C \(\frac{a}{2}\)
D \(\frac{-2}{a}\)
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Correct Answer
B. \(\frac{4}{a}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (2) है। / The identity for this operation is (2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए \(\frac{ax}{2}=2\) होना चाहिए। / For inverse (x), \(\frac{ax}{2}=2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (ax=4), इसलिए \(x=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक फिर प्रतिलोम यही क्रम रखें। / Thus (ax=4), so \(x=\frac{4}{a}\); find identity before inverse.
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अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?
On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#nonzero reals
#operation law
A (0)
B (1)
C (2)
D \(\frac{1}{2}\)
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Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर \(\frac{ae}{2}=a\) मिलता है। / Put (a*e=a), so \(\frac{ae}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq 0\) होने से दोनों ओर (a) से भाग दे सकते हैं, इसलिए (e=2)। / Since \(a\neq 0\), divide by (a) to get (e=2).
Step 3
Exam Tip
नई क्रिया में तत्समक हमेशा सामान्य गुणा का (1) नहीं होता। / Under a new operation, the identity is not always the usual multiplicative (1).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a,b)). What is the identity element?
#binary operations
#minimum
#identity
#finite set
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तब संभव है जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible when (e) is the largest element of the set.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (4) सबसे बड़ा है, इसलिए परीक्षा में न्यूनतम क्रिया के लिए सबसे बड़े अवयव पर ध्यान दें। / Here (4) is the largest, so for a minimum operation look at the largest element.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\max(a,b)). Which is the identity element?
#binary operations
#maximum
#identity
#finite set
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element of the set.
Step 3
Exam Tip
यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है, इसलिए वही तत्समक है। / Here the smallest element is (1), so it is the identity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेष माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#modulo
#finite set
#inverse
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
यह (4) के सापेक्ष जोड़ है, जिसका तत्समक (0) है। / This is addition modulo (4), whose identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) का अर्थ है (2+x) का (4) से शेष, इसे (0) चाहिए। / (2*x) means the remainder of (2+x) on division by (4), and it must be (0).
Step 3
Exam Tip
(2+2=4), शेष (0), इसलिए (2) स्वयं अपना प्रतिलोम है। / Since (2+2=4), the remainder is (0), so (2) is its own inverse.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।
On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\). Choose the correct conclusion about this operation.
#binary operations
#positive reals
#commutative
#not associative
A क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
B साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न साहचर्य / Neither commutative nor associative
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Correct Answer
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / Commutative but not associative
Step 1
Concept
(ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। / Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं। / Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (a) under this operation?
#binary operations
#inverse
#identity
#integers
A (3-a)
B (6-a)
C (-a)
D (a-3)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक (e) खोजें: (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / First find the identity (e): (a+e-3=a), hence (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-3=3), इसलिए (x=6-a)। / For inverse (x), (a+x-3=3), so (x=6-a).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय सामान्य जोड़ के शून्य को तत्समक मानने की गलती न करें। / Do not assume the usual additive identity (0) for a new operation.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) दी है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#commutative
#associative
#integers
A यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
B यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
C यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
D यह न क्रमविनिमेय है न साहचर्य / It is neither commutative nor associative
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Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है / It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-6) और (a*(b*c)=a+b+c-6), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-6) and (a*(b*c)=a+b+c-6), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक क्रियाओं में दोनों पक्ष फैलाकर तुलना करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For linear operations, expand both sides and compare.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse
#identity
#class 12
A \(\frac{-a}{1+a}\)
B \(\frac{a}{1+a}\)
C (-a)
D \(\frac{1}{a}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1+a}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x+ax=0)। / For inverse (x), (a*x=0), so (a+x+ax=0).
Step 3
Exam Tip
(x(1+a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\); हर बार पहले तत्समक पहचानें। / Hence (x(1+a)=-a), giving \(x=\frac{-a}{1+a}\); always identify the identity first.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?
On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#relations and functions
#class 12
A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है, और \(a\neq -1\) होने से (e=0)। / (a+e+ae=a) gives (e(1+a)=0), so (e=0) because \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में दोनों ओर से जाँचें, यहाँ (e*a=a) भी सही है। / In exams, also check the other side; here (e*a=a) holds.
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समुच्चय \(A=\{1,2,4,8\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। कौन-सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,4,8\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). Which statement is correct?
#binary operations
#lcm
#finite set
A तत्समक अवयव (1) है और केवल (1) का प्रतिलोम है / Identity is (1) and only (1) has an inverse
B तत्समक अवयव (8) है और सबके प्रतिलोम हैं / Identity is (8) and all have inverses
C तत्समक अवयव नहीं है / No identity exists
D हर अवयव अपना प्रतिलोम है / Every element is its own inverse
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Correct Answer
A. तत्समक अवयव (1) है और केवल (1) का प्रतिलोम है / Identity is (1) and only (1) has an inverse
Step 1
Concept
(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (1) तत्समक अवयव है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (1) is the identity.
Step 2
Why this answer is correct
किसी (a) का प्रतिलोम (b) तभी होगा जब (\operatorname{lcm}(a,b)=1)। / An inverse (b) of (a) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
यह केवल (a=1) और (b=1) पर संभव है; इसलिए केवल (1) का प्रतिलोम है। / This is possible only for (a=1) and (b=1), so only (1) has an inverse.
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\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) में \(\lambda=2\) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
In \(a*b=a+b+\lambda ab\) on \(\mathbb{R}\), \(\lambda=2\). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#parameter
#inverse
A \(-\frac{4}{9}\)
B \(\frac{4}{9}\)
C \(-\frac{9}{4}\)
D (9)
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Correct Answer
A. \(-\frac{4}{9}\)
Step 1
Concept
\(\lambda=2\) रखने पर (a*b=a+b+2ab)। / With \(\lambda=2\), (a*b=a+b+2ab).
Step 2
Why this answer is correct
(4*b=0) से (4+b+8b=0), अर्थात (4+9b=0)। / From (4*b=0), (4+b+8b=0), so (4+9b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=-\frac{4}{9}\); पैरामीटर का मान पहले रखकर समीकरण सरल करें। / \(b=-\frac{4}{9}\); substitute the parameter first to simplify the equation.
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\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस शर्त पर (a) का प्रतिलोम मौजूद होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). Under which condition will the inverse of (a) exist?
#binary operations
#inverse condition
#parameter
A \(1+\lambda a\neq0\)
B (a=0)
C \(\lambda=0\)
D \(a=\lambda\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(1+\lambda a\neq0\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए \(a+b+\lambda ab=0\), यानी (b\(1+\lambda a\)=-a)। / For inverse (b), \(a+b+\lambda ab=0\), so (b\(1+\lambda a\)=-a).
Step 3
Exam Tip
(b) तभी मिल सकता है जब \(1+\lambda a\neq0\)। / Such (b) exists only when \(1+\lambda a\neq0\).
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यदि \(a*b=a+b+\lambda ab\) और \(\lambda\neq0\), तो तत्समक अवयव क्या है?
If \(a*b=a+b+\lambda ab\) and \(\lambda\neq0\), what is the identity element?
#binary operations
#identity
#parameter
A (0)
B \(-\frac{1}{\lambda}\)
C \(\frac{1}{\lambda}\)
D कोई नहीं / None
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Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए \(a+e+\lambda ae=a\)। / For identity (e), \(a+e+\lambda ae=a\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e\(1+\lambda a\)=0) मिलता है। / This gives (e\(1+\lambda a\)=0).
Step 3
Exam Tip
सभी (a) के लिए इसे पूरा करने वाला स्थिर अवयव (e=0) है। / The fixed element satisfying this for all (a) is (e=0).
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। (a*(b*c)) का सरल रूप क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the simplified form of (a*(b*c))?
#binary operations
#nested operation
#algebra
A (a+b+c-6)
B (a+b+c-3)
C (a+b-c-6)
D (a-b+c-3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (a+b+c-6)
Step 1
Concept
पहले (b*c=b+c-3)। / First (b*c=b+c-3).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6)। / (a*(b*c)=a+(b+c-3)-3=a+b+c-6).
Step 3
Exam Tip
अंदर की संक्रिया का पूरा मान अगले चरण में रखें। / Substitute the complete value of the inner operation into the next step.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। ((2*5)*7) का मान क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the value of ((2*5)*7)?
#binary operations
#evaluation
#nested brackets
A (8)
B (11)
C (5)
D (14)
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Step 1
Concept
पहले (2*5=2+5-3=4)। / First (2*5=2+5-3=4).
Step 2
Why this answer is correct
अब (4*7=4+7-3=8)। / Then (4*7=4+7-3=8).
Step 3
Exam Tip
कोष्ठक दिए हों तो उसी क्रम में संक्रिया करें, चाहे संक्रिया साहचर्य हो। / When brackets are given, follow that order even if the operation is associative.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-3) है। (8) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (8)?
#binary operations
#inverse
#shifted addition
A (-2)
B (2)
C (-8)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / For identity (e), (a+e-3=a), so (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
(8*b=3) रखें, (8+b-3=3) से (b=-2)। / Put (8*b=3): (8+b-3=3), so (b=-2).
Step 3
Exam Tip
बदली हुई जोड़ संक्रिया में प्रतिलोम साधारण (-a) नहीं होता। / In shifted addition, the inverse is not simply (-a).
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\(\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#inverse
#set exclusion
A \(\frac{3}{2}\)
B \(-\frac{3}{2}\)
C (2)
D \(\frac{2}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{3}{2}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b=0) से (3+b-3b=0), अर्थात (3-2b=0)। / From (3*b=0), (3+b-3b=0), so (3-2b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=\frac{3}{2}\), जो समुच्चय में है क्योंकि यह (1) नहीं है। / \(b=\frac{3}{2}\), and it belongs to the set because it is not (1).
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। यह (A) पर संवृत क्यों है?
On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Why is it closed on (A)?
#binary operations
#closure
#set exclusion
A क्योंकि (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)
B क्योंकि (a*b) हमेशा (0) है / Because (a*b) is always (0)
C क्योंकि (a*b) हमेशा (1) है / Because (a*b) is always (1)
D क्योंकि (a*b) हमेशा धनात्मक है / Because (a*b) is always positive
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Correct Answer
A. क्योंकि (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0) / Because (1-a*b=(1-a)(1-b)\neq0)
Step 1
Concept
\(a,b\in A\) होने से \(a\neq1\) और \(b\neq1\)। / Since \(a,b\in A\), \(a\neq1\) and \(b\neq1\).
Step 2
Why this answer is correct
(1-a*b=(1-a)(1-b)), और दोनों गुणक शून्य नहीं हैं, इसलिए परिणाम (1) नहीं होगा। / (1-a*b=(1-a)(1-b)), and both factors are non-zero, so the result cannot be (1).
Step 3
Exam Tip
संवृतता में यह दिखाना काफी है कि परिणाम फिर उसी समुच्चय में है। / For closure, it is enough to show the result remains in the same set.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह साहचर्य है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is it associative?
#binary operations
#associative
#transformation
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
D केवल धनात्मक संख्याओं पर / Only on positive numbers
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)) लिखें। / Write (1-(a*b)=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
तीन अवयवों के लिए परिणाम (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)) जैसा होगा। / For three elements, the result follows (1-{(a*b)*c}=(1-a)(1-b)(1-c)).
Step 3
Exam Tip
गुणन साहचर्य है, इसलिए दोनों कोष्ठकों में वही परिणाम मिलता है। / Ordinary multiplication is associative, so both groupings give the same result.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
A हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
B नहीं, क्योंकि \(ab\neq ba\) / No, because \(ab\neq ba\)
C नहीं, क्योंकि \(a+b\neq b+a\) / No, because \(a+b\neq b+a\)
D केवल (a=0) पर / Only when (a=0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (a+b-ab=b+a-ba) / Yes, because (a+b-ab=b+a-ba)
Step 1
Concept
(a*b) और (b*a) की तुलना करें। / Compare (a*b) and (b*a).
Step 2
Why this answer is correct
(a*b=a+b-ab) और (b*a=b+a-ba), दोनों बराबर हैं। / (a*b=a+b-ab) and (b*a=b+a-ba), which are equal.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में जोड़ और गुणा क्रमविनिमेय हैं, इसलिए यहाँ भी यह गुण मिलता है। / Since addition and multiplication of real numbers are commutative, this operation is also commutative.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (a*b=0) होने के लिए (b) किसके बराबर होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). For (a*b=0), what is (b) equal to?
#binary operations
#inverse formula
#condition
A \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\) / \(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
B \(\frac{a}{1-a}\)
C \(\frac{-a}{1+a}\)
D (1-a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\) / \(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)
Step 1
Concept
(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जब \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), when \(a\neq1\).
Step 3
Exam Tip
हर में शून्य आने वाली शर्त जरूर लिखें, क्योंकि वही प्रतिलोम के अस्तित्व को तय करती है। / Always note the denominator condition because it decides existence of inverse.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम रहित है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). Which element has no inverse?
#binary operations
#inverse exception
#real numbers
A \(-\frac{1}{3}\)
B \(\frac{1}{3}\)
C (3)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{1}{3}\)
Step 1
Concept
प्रतिलोम के लिए (a+b+3ab=0) हल करें। / Solve (a+b+3ab=0) for inverse.
Step 2
Why this answer is correct
(b(1+3a)=-a), इसलिए हर बार भाग तभी होगा जब \(1+3a\neq0\)। / (b(1+3a)=-a), so division is possible only when \(1+3a\neq0\).
Step 3
Exam Tip
\(a=-\frac{1}{3}\) पर हर नहीं चलता, इसलिए यह अवयव प्रतिलोम रहित है। / For \(a=-\frac{1}{3}\), the denominator fails, so this element has no inverse.
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\(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+3ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+3ab). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#linear equation
A \(-\frac{2}{7}\)
B \(\frac{2}{7}\)
C \(-\frac{7}{2}\)
D (7)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{2}{7}\)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) से (2+b+6b=0), अर्थात (2+7b=0)। / From (2*b=0), (2+b+6b=0), so (2+7b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=-\frac{2}{7}\); गुणांक जोड़ते समय (b) वाले पदों को साथ रखें। / \(b=-\frac{2}{7}\); combine the terms containing (b) carefully.
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यदि (a*b=a+b+kab) और \(k\neq0\), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?
If (a*b=a+b+kab) and \(k\neq0\), which element will not have an inverse?
#binary operations
#parameter
#inverse exception
A \(-\frac{1}{k}\)
B \(\frac{1}{k}\)
C (0)
D (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{1}{k}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+kab=0), इसलिए (b(1+ka)=-a)। / For inverse (b), (a+b+kab=0), hence (b(1+ka)=-a).
Step 3
Exam Tip
जब \(a=-\frac{1}{k}\), तब (1+ka=0) हो जाता है और प्रतिलोम नहीं मिलता। / When \(a=-\frac{1}{k}\), (1+ka=0), so no inverse exists.
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\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। (0) के तत्समक होने की जाँच में कौन-सी बात बाधा बनती है?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). What prevents (0) from being an identity?
#binary operations
#identity test
#one-sided identity
A \(a*0=a^2\), जो सदैव (a) नहीं है / \(a*0=a^2\), which is not always (a)
B (0*a=a) कभी नहीं होता / (0*a=a) never holds
C (a*0=0) होता है / (a*0=0)
D (0) समुच्चय में नहीं है / (0) is not in the set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(a*0=a^2\), जो सदैव (a) नहीं है / \(a*0=a^2\), which is not always (a)
Step 1
Concept
तत्समक अवयव दोनों ओर से जाँचा जाता है। / Identity must work from both sides.
Step 2
Why this answer is correct
(0*a=a) सही है, पर \(a*0=a^2\) है, जो हर (a) के लिए (a) नहीं होता। / (0*a=a) is true, but \(a*0=a^2\), which is not (a) for every (a).
Step 3
Exam Tip
केवल एक ओर सही होना पर्याप्त नहीं; दोनों ओर परिणाम वही अवयव होना चाहिए। / One-sided identity is not enough; both sides must return the same element.
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\(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). Choose the correct statement.
#binary operations
#closure
#non commutative
A द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
B क्रमविनिमेय है / Commutative
C साहचर्य है / Associative
D तत्समक अवयव (0) है / Identity is (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Binary but not commutative
Step 1
Concept
\(a^2+b\) वास्तविक संख्या है, इसलिए संक्रिया \(\mathbb{R}\) पर संवृत है। / \(a^2+b\) is a real number, so the operation is closed on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\), generally not equal.
Step 3
Exam Tip
संवृतता और क्रमविनिमेयता अलग बातें हैं; दोनों को अलग जाँचें। / Closure and commutativity are different properties; test them separately.
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