Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस संक्रिया में तत्समक अवयव (1) है। / The identity for this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(3*3) में (9) को (4) से भाग देने पर शेषफल (1) मिलता है। / (3*3) gives the remainder of (9) on division by (4), which is (1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित गुणन में वही अवयव प्रतिलोम रखते हैं जो मापांक से सहभाज्य हों। / In modular multiplication, elements relatively prime to the modulus have inverses.
गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) दोनों कोष्ठकों में समान मिलेगा। / Ordinary multiplication is associative, so ((1+a)(1+b)(1+c)) is obtained in both groupings.
Step 3
Exam Tip
रूपांतरण से साहचर्य की लंबी गणना छोटी हो जाती है। / Transformation reduces long associativity calculations.
इस संक्रिया का तत्समक अवयव (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(1*b=1+b-b=1), यह कभी (0) नहीं बनता। / (1*b=1+b-b=1), which can never become (0).
Step 3
Exam Tip
जिस अवयव के साथ समीकरण तत्समक अवयव तक न पहुँचे, उसका प्रतिलोम नहीं होता। / If the inverse equation cannot reach the identity, that element has no inverse.
A. द्विआधारी है पर साहचर्य नहीं/Binary but not associative
Step 1
Concept
\(a,b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए संवृतता है। / If \(a,b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), generally not equal.
Step 3
Exam Tip
भाग में संवृतता हो सकती है, फिर भी साहचर्य और क्रमविनिमेयता अलग से जाँचनी पड़ती है। / Division may be closed on non-zero reals, but associativity and commutativity must be tested separately.
(a*b=a+b+ab) में (1) जोड़ें। / Add (1) to (a*b=a+b+ab).
Step 2
Why this answer is correct
(1+a+b+ab=(1+a)(1+b)) मिलता है, जिससे साहचर्य जल्दी दिखता है। / (1+a+b+ab=(1+a)(1+b)), which helps prove associativity quickly.
Step 3
Exam Tip
कठिन संक्रिया को गुणन जैसे परिचित रूप में बदलना परीक्षा में समय बचाता है। / Turning an unusual operation into a familiar product form saves time in exams.
संवृतता में परिणाम उसी समुच्चय में रहना चाहिए। / Closure means the result must remain in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), जो ((-1,1)) में नहीं है। / \(\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\), which is not in ((-1,1)).
Step 3
Exam Tip
किसी गुण को झुठलाने के लिए एक सही प्रतिउदाहरण पर्याप्त होता है। / One valid counterexample is enough to disprove closure.
\(\frac{ae}{2}=a\), और \(a\neq0\) होने से (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\), and since \(a\neq0\), (e=2).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में (a) से भाग करने से पहले यह देखें कि (a) शून्य नहीं है। / In quotient-based operations, ensure the quantity you divide by is non-zero.
तत्समक अवयव (e) के लिए (a+e-1=a), इसलिए (e=1)। / For identity (e), (a+e-1=a), so (e=1).
Step 2
Why this answer is correct
(5*b=1) रखें, (5+b-1=1) से (b=-3)। / Put (5*b=1): (5+b-1=1), giving (b=-3).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को शून्य नहीं, बल्कि मिले हुए तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding inverse, equate the result to the identity found, not automatically to zero.
A. क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-1=b+a-1=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-2) और (a*(b*c)=a+b+c-2), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-2) and (a*(b*c)=a+b+c-2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
रैखिक जोड़ में समान स्थिर घटाव दोनों कोष्ठकों में मिल जाए तो साहचर्य बनता है। / In shifted addition, if the constant adjusts equally in both groupings, associativity holds.
तत्समक अवयव (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
(\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक संख्या (a) के लिए सही है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural number (a).
Step 3
Exam Tip
\(\operatorname{lcm}\) में (1) परिणाम को नहीं बदलता, इसलिए वह तत्समक अवयव है। / In \(\operatorname{lcm}\), (1) does not change the element, so it is the identity.
तत्समक अवयव (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) would require (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e) हर प्राकृतिक संख्या का गुणज होना चाहिए, जो \(\mathbb{N}\) में एक निश्चित संख्या के रूप में संभव नहीं। / Such (e) would have to be a multiple of every natural number, which is not possible as one fixed natural number.
Step 3
Exam Tip
\(\gcd\) में (1) परिणाम को अक्सर (1) बना देता है, इसलिए उसे तत्समक न मानें। / In \(\gcd\), (1) often makes the result (1), so do not mistake it for identity.
ऐसी संक्रिया में सामान्य गुणा या जोड़ न मानें, परिभाषा को ही लागू करें। / Do not treat a new operation as ordinary addition or multiplication; apply its definition.
बराबरी के लिए \(k^2a=ka\) सभी (a) के लिए चाहिए, अतः \(k^2=k\); दिए विकल्पों में (k=1) साहचर्य देता है। / Equality needs \(k^2a=ka\) for all (a), so \(k^2=k\); among the options, (k=1) works.
A. न क्रमविनिमेय न साहचर्य/Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a) सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a) are generally not equal.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a-b)-c), जबकि (a*(b*c)=a-(b-c)), ये भी सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=(a-b)-c), while (a*(b*c)=a-(b-c)), which are generally different.
Step 3
Exam Tip
घटाव में क्रम और कोष्ठक दोनों बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In subtraction, both order and grouping can change the result.
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) देखें। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए यह गुण पूरा है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), the operation is commutative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य अलग जाँच है; केवल (a) और (b) बदलने से वही परिणाम मिले तो क्रमविनिमेयता मिलती है। / Associativity is a different test; swapping (a) and (b) checks commutativity only.
