Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
इस रूप में तत्समक (0) है। / The identity for this form is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और \(-\frac{1}{2}\) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0)। / Since (2) and \(-\frac{1}{2}\) are inverses, (2-\frac{1}{2}+k\cdot2\cdot\left\(-\frac{1}{2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(\frac{3}{2}-k=0\) नहीं, सही सरलीकरण \(2-\frac{1}{2}-k=0\) देता है, अतः \(k=\frac{3}{2}\); इसलिए दिए विकल्पों में कोई सही नहीं होता। / This gives \(\frac{3}{2}-k=0\), so \(k=\frac{3}{2}\); hence none of the listed options would be correct.
(a*e=a) से (e=0) मिलता है। / From (a*e=a), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (3+b-6b=0), इसलिए (3-5b=0)। / For inverse (b), (3+b-6b=0), so (3-5b=0).
Step 3
Exam Tip
\(b=\frac{3}{5}\), इसलिए प्रतिलोम निकालते समय परिणाम को तत्समक के बराबर रखें। / Hence \(b=\frac{3}{5}\). Always equate the operation result to the identity.
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है/Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a+b+ab=b+a+ba), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a+b+ab=b+a+ba), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1+(a*b)=(1+a)(1+b)), इसलिए तीन अवयवों के समूह बदलने पर गुणन का क्रम नहीं बदलता। / Since (1+(a*b)=(1+a)(1+b)), regrouping three elements behaves like ordinary multiplication.
Step 3
Exam Tip
कठिन सहचारीता में ऐसा रूपांतरण समय बचाता है। / For harder associativity checks, a smart transformation saves time.
इस गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में तत्समक (1) है। / In this multiplication-based remainder operation, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=1) चाहिए। \(2\cdot2=4\) और (4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / We need (2*b=1). Since \(2\cdot2=4\), and the remainder of (4) on division by (3) is (1), the inverse is (2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम खोजते समय संक्रिया का परिणाम हमेशा तत्समक अवयव के बराबर रखें। / While finding an inverse, always equate the operation result to the identity element.
इस संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity in this operation is (1).
Step 2
Why this answer is correct
(4*b=1) रखने पर (4+b-1=1) मिलता है। / Put (4*b=1), so (4+b-1=1).
Step 3
Exam Tip
इससे (b=-2)। प्रतिलोम का अर्थ है ऐसा अवयव जो संक्रिया के बाद तत्समक दे। / Hence (b=-2). An inverse is the element that gives the identity under the operation.
(a*b=|a-b|) और (b*a=|b-a|) हैं। / (a*b=|a-b|) and (b*a=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
निरपेक्ष मान के कारण (|a-b|=|b-a|) होता है। / Because of absolute value, (|a-b|=|b-a|).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाली संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, पर सहचारीता अलग से जांचनी पड़ती है। / Absolute difference is commutative, but associativity must be checked separately.
गुणन आधारित शेषफल संक्रिया में (a*e=a) चाहिए। / In a multiplication-based remainder operation, we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\cdot1\) को (5) से भाग देने पर शेष (a) ही रहता है, क्योंकि (a) पहले से (0) से (4) के बीच है। / The remainder of \(a\cdot1\) when divided by (5) is (a), since (a) already lies from (0) to (4).
Step 3
Exam Tip
गुणन वाली शेषफल संक्रिया में (1) तत्समक होता है। / For multiplication modulo a number, (1) is the identity.
(6) को (5) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / When (6) is divided by (5), the remainder is (1).
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित संक्रिया में अंतिम उत्तर हमेशा दिए गए समुच्चय में होना चाहिए। / In remainder-based operations, the final answer must belong to the given set.
(a*b=3a+3b-2ab) और (b*a=3b+3a-2ba) लिखें। / Write (a*b=3a+3b-2ab) and (b*a=3b+3a-2ba).
Step 2
Why this answer is correct
जोड़ और गुणा का क्रम बदलने पर मान नहीं बदलता, इसलिए दोनों समान हैं। / Addition and multiplication do not change value when order is changed, so both are equal.
Step 3
Exam Tip
सममित रूप वाली संक्रियाएं अक्सर क्रमविनिमेय होती हैं। / Symmetric-looking operations are often commutative.
B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं भी हो सकता/No because the result may not be natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए हर जोड़ी का परिणाम प्राकृतिक संख्या होना चाहिए। / For a binary operation, the result for every pair must be a natural number.
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=\frac{3}{2}\), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
संवृतता जांचते समय एक प्रतिदर्श लेकर भी निर्णय किया जा सकता है। / A single counterexample can show that closure fails.
संवृतता के लिए परिणाम फिर उसी समुच्चय में होना चाहिए। / For closure, the result must stay in the same set.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) पूर्णांक हैं, तो (a+b+ab) भी पूर्णांक होगा। / If (a) and (b) are integers, then (a+b+ab) is also an integer.
Step 3
Exam Tip
जोड़ और गुणा पूर्णांकों में संवृत होते हैं, इसलिए उनका ऐसा संयोजन भी पूर्णांक देता है। / Addition and multiplication are closed in integers, so such a combination also gives an integer.
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a \in A\) पर चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) must hold for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा (e=12) लेने पर होता है, क्योंकि सभी अवयव (12) के भाजक हैं। / This happens for (e=12), because all elements of (A) divide (12).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाली संक्रिया में सबसे बड़ा ऐसा अवयव देखें जो सबको समाहित करे। / For a GCD operation on divisors of a number, the largest element is often the identity.
