समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b) को (a) और (b) का लघुत्तम समापवर्त्य माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b) is the least common multiple of (a) and (b). What is the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
A (1)
B (2)
C (6)
D (12)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (a) का (1) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य (a) ही होता है। / The least common multiple of any (a) with (1) is (a) itself.
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य वाली संक्रिया में (1) को तुरंत जांचें। / For an LCM operation, check (1) first as the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-4) परिभाषित है। (7) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-4) is defined. What will be the inverse of (7)?
#binary operations
#inverse
#identity
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले (a*e=a) से (a+e-4=a), इसलिए (e=4) मिलता है। / First find the identity from (a*e=a): (a+e-4=a), so (e=4).
Step 2
Why this answer is correct
(7*b=4) रखने पर (7+b-4=4), अतः (b=1)। / Put (7*b=4): (7+b-4=4), hence (b=1).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालते समय संक्रिया का परिणाम तत्समक के बराबर रखें। / To find an inverse, equate the operation result to the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए सही कथन चुनिए।
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. Choose the correct statement for this operation.
#binary operations
#commutative
#associative
A केवल क्रमविनिमेय है / Only commutative
B केवल सहचारी है / Only associative
C क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न सहचारी / Neither commutative nor associative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), इसलिए यह क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
(1-(a*b)=(1-a)(1-b)), इसलिए तीन अवयवों पर भी समूह बदलने से परिणाम समान रहता है। / Since (1-(a*b)=(1-a)(1-b)), grouping three elements does not change the result.
Step 3
Exam Tip
ऐसे रूपों में सरल बीजीय पहचान सहचारीता जल्दी दिखा देती है। / Useful algebraic rewriting can make associativity easier to verify.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?
On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. Is this operation associative?
#binary operations
#associativity
#real numbers
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल जब (a=b) हो / Only when (a=b)
D केवल पूर्णांकों पर / Only on integers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
सहचारीता के लिए ((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(a+2b)+2c=a+2b+2c), जबकि (a*(b*c)=a+2(b+2c)=a+2b+4c)। / ((a*b)*c=a+2b+2c), while (a*(b*c)=a+2b+4c).
Step 3
Exam Tip
दोनों सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / Since these are not generally equal, the operation is not associative.
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यदि (a*b=2a+b), तो ((1*2)*3) का मान क्या है?
If (a*b=2a+b), what is the value of ((1*2)*3)?
#binary operations
#evaluation
#brackets
A (5)
B (7)
C (8)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
पहले कोष्ठक के अंदर \(1*2=2\cdot1+2=4\) निकालें। / First calculate inside the bracket: \(1*2=2\cdot1+2=4\).
Step 2
Why this answer is correct
अब \(4*3=2\cdot4+3=11\)। / Now \(4*3=2\cdot4+3=11\).
Step 3
Exam Tip
दिए गए विकल्पों से पहले गणना मिलाएं। यहां सही गणना (11) है, इसलिए विकल्पों में त्रुटि हो सकती है। / Compare your calculation with the options. The correct calculation is (11), so the options would be invalid if (11) is absent.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) के लिए (1*2) का मान क्या है?
For (a*b=a+b+ab) on real numbers, what is the value of (1*2)?
#binary operations
#value evaluation
#basic operation
A (3)
B (4)
C (5)
D (6)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
दिए गए नियम में (a=1) और (b=2) रखें। / Put (a=1) and (b=2) in the given rule.
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=1+2+1\cdot2=5\)। / \(1*2=1+2+1\cdot2=5\).
Step 3
Exam Tip
सरल मूल्यांकन में भी संक्रिया के चिन्ह को सामान्य गुणा न समझें। / Even in simple evaluation, do not treat the operation symbol as ordinary multiplication.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the inverse of (5)?
#binary operations
#inverse
#identity based
A (1)
B (2)
C (3)
D (-2)
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Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (3) है। / The identity of this operation is (3).
Step 2
Why this answer is correct
(5*b=3) लिखने पर (5+b-3=3) मिलता है। / Put (5*b=3), so (5+b-3=3).
Step 3
Exam Tip
इससे (b=1)। प्रतिलोम वही है जो संक्रिया करने पर तत्समक दे। / Hence (b=1). The inverse is the element that gives the identity after the operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity
#linear operation
A (0)
B (1)
C (3)
D (-3)
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Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e-3=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a+e-3=a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e=3) मिलता है। / This gives (e=3).
Step 3
Exam Tip
(a+b-k) जैसी संक्रिया में प्रायः (k) तत्समक बनता है। / In operations like (a+b-k), the number (k) often becomes the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=b) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=b) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#associative
#right projection
A क्रमविनिमेय और सहचारी / Commutative and associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
D न संवृत है न सहचारी / Neither closed nor associative
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Correct Answer
B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
Step 1
Concept
(a*b=b) और (b*a=a), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / (a*b=b) and (b*a=a), so it is not commutative in general.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=b*c=c) और (a*(b*c)=a*c=c), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=b*c=c) and (a*(b*c)=a*c=c), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
ऐसी संक्रियाओं में पहला या दूसरा अवयव लौटाने का नियम ध्यान से देखें। / For projection-type operations, carefully observe which element is returned.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=a) परिभाषित है। यह संक्रिया कैसी है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=a) is defined. Which statement is correct?
#binary operations
#associative
#left projection
A क्रमविनिमेय है / It is commutative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C न सहचारी न क्रमविनिमेय / Neither associative nor commutative
D तत्समक (1) है / Identity is (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
Step 1
Concept
(a*b=a) और (b*a=b), इसलिए सामान्यतः बराबर नहीं हैं। संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है। / (a*b=a) and (b*a=b), so they are generally not equal. The operation is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए सहचारी है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
नियम को सीधे लगाकर दोनों तरफ की तुलना करें। / Apply the rule directly to both sides.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम इस संक्रिया में नहीं मिलेगा?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which element does not have an inverse under this operation?
#binary operations
#inverse existence
#real numbers
A (0)
B (1)
C (-1)
D (2)
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Step 1
Concept
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b+ab=0) होगा। / For inverse (b), we need (a+b+ab=0).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (b(1+a)=-a) मिलता है। यदि (a=-1), तो (1+a=0) हो जाता है और हल संभव नहीं रहता। / This gives (b(1+a)=-a). If (a=-1), then (1+a=0), so no inverse exists.
Step 3
Exam Tip
हर में शून्य आने की स्थिति को तुरंत पहचानें। / Always check where the denominator becomes zero.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#real numbers
A (-2)
B \(-\frac{2}{3}\)
C \(\frac{2}{3}\)
D (0)
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Correct Answer
B. \(-\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*b=0) रखने पर (2+b+2b=0) मिलता है। / Put (2*b=0), so (2+b+2b=0).
Step 3
Exam Tip
(2+3b=0), इसलिए \(b=-\frac{2}{3}\)। / (2+3b=0), hence \(b=-\frac{2}{3}\).
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?
On real numbers, \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Which property does this operation have?
#binary operations
#average operation
#commutative
A क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C दोनों है / Both
D दोनों नहीं / Neither
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}=b*a\), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), जबकि (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4})। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a+b+2c}{4}), while (a*(b*c)=\frac{2a+b+c}{4}). They are not equal in general.
Step 3
Exam Tip
औसत वाली संक्रिया में सहचारीता अक्सर टूट जाती है। / Average-type operations often fail associativity.
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पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया सहचारी है?
On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation associative?
#binary operations
#associativity
#integers
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं / No
C केवल धनात्मक पूर्णांकों पर / Only on positive integers
D केवल (0) और (1) पर / Only on (0) and (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
सहचारीता के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) जांचते हैं। / For associativity, compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=(ab+1)c+1=abc+c+1), जबकि (a*(b*c)=a(bc+1)+1=abc+a+1)। / ((a*b)*c=abc+c+1), while (a*(b*c)=abc+a+1).
Step 3
Exam Tip
ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, इसलिए संक्रिया सहचारी नहीं है। / These are not equal in general, so the operation is not associative.
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पूर्णांकों पर (a*b=ab+1) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय है या नहीं?
On integers, (a*b=ab+1) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#integers
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल जब (a) सम हो / Only when (a) is even
D केवल जब (b=1) हो / Only when (b=1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(a*b=ab+1) और (b*a=ba+1)। / (a*b=ab+1) and (b*a=ba+1).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (ab=ba), दोनों मान बराबर हैं। / Since (ab=ba), both values are equal.
Step 3
Exam Tip
गुणा की क्रमविनिमेयता कई नई संक्रियाओं में भी सहायक होती है। / The commutativity of multiplication often helps in checking new operations.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On natural numbers, (a*b=a-b) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#counterexample
A हाँ हमेशा / Yes always
B नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकता / No because the result may not be natural
C हाँ केवल जब (a>b) हो / Yes only when (a>b)
D हाँ क्योंकि घटाव परिभाषित है / Yes because subtraction is defined
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि परिणाम प्राकृतिक संख्या नहीं हो सकता / No because the result may not be natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया में हर (a,b) के लिए परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए। / In a binary operation, the result must remain in the same set for every pair.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=1-2=-1), जो प्राकृतिक संख्या नहीं है। / (1*2=1-2=-1), which is not a natural number.
Step 3
Exam Tip
एक प्रतिदाहरण संवृतता तोड़ने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to break closure.
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प्राकृतिक संख्याओं पर (a*b=a+b) परिभाषित है। क्या यह द्विआधारी संक्रिया है?
On natural numbers, (a*b=a+b) is defined. Is this a binary operation?
#binary operations
#closure
#natural numbers
A हाँ क्योंकि योग प्राकृतिक संख्या है / Yes because the sum is natural
B नहीं क्योंकि तत्समक नहीं है / No because there is no identity
C नहीं क्योंकि प्रतिलोम नहीं है / No because inverse is absent
D केवल सम संख्याओं के लिए / Only for even numbers
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि योग प्राकृतिक संख्या है / Yes because the sum is natural
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए संवृतता चाहिए। / A binary operation needs closure.
Step 2
Why this answer is correct
दो प्राकृतिक संख्याओं का योग फिर प्राकृतिक संख्या ही होता है। / The sum of two natural numbers is again a natural number.
Step 3
Exam Tip
द्विआधारी संक्रिया बनने के लिए प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Having inverses is not necessary for being a binary operation.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। \(a\neq1\) के लिए (a) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. For \(a\neq1\), what is the inverse of (a)?
#binary operations
#inverse element
#algebraic operation
A \(\frac{a}{a-1}\)
B \(\frac{a}{1-a}\)
C \(\frac{1}{a}\)
D (-a)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{a}{a-1}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिलोम (b) के लिए (a+b-ab=0) लिखते हैं। / For inverse (b), write (a+b-ab=0).
Step 3
Exam Tip
(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{a}{a-1}\)। परीक्षा में हर बार तत्समक के बराबर रखकर हल करें। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{a}{a-1}\). In exams, always equate the operation to the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. What is the identity element?
#binary operations
#identity element
#real numbers
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) होता है। हर (a) के लिए (e=0) सही है। / This gives (e(1-a)=0). For all (a), (e=0) works.
Step 3
Exam Tip
जब हर (a) के लिए समान अवयव काम करे तभी वह तत्समक है। / A single element must work for every element to be the identity.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?
#binary operations
#modulo inverse
#addition modulo
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
इस संक्रिया में तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b) का मान (0) चाहिए। (3+1=4), जिसका (4) से शेष (0) है। / We need (3*b=0). Since (3+1=4), the remainder modulo (4) is (0).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ में प्रतिलोम वह संख्या है जो जोड़कर पूरा गुणज बना दे। / In modulo addition, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर संक्रिया (a*b=(a+b)) का शेषफल (3) से भाग देने पर माना गया है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{0,1,2\}\), define (a*b) as the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the identity element?
#binary operations
#modulo addition
#identity
A (0)
B (1)
C (2)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
यहां संक्रिया (3) से भाग के शेष पर आधारित है। / The operation is based on the remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(a+0) का शेष वही रहता है जो (a) है, इसलिए (a*0=a)। / The remainder of (a+0) remains (a), so (a*0=a).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली जोड़ संक्रिया में (0) सामान्यतः तत्समक होता है। / For addition modulo a number, (0) is usually the identity.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+2b) परिभाषित है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी?
On real numbers, (a*b=a+2b) is defined. When will this operation be commutative?
#binary operations
#commutativity condition
#real numbers
A हर (a,b) के लिए / For all (a,b)
B जब (a=b) हो / When (a=b)
C जब (a=0) हो / When (a=0)
D कभी नहीं / Never
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. जब (a=b) हो / When (a=b)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेय होने के लिए (a+2b=b+2a) चाहिए। / For commutativity, (a+2b=b+2a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
सरल करने पर (b=a) मिलता है। यह हर जोड़ी के लिए सत्य नहीं है। / Simplifying gives (a=b). This is not true for all pairs.
Step 3
Exam Tip
किसी विशेष जोड़ी पर बराबरी होना पूरी संक्रिया को क्रमविनिमेय नहीं बनाता। / Equality for special pairs does not make the whole operation commutative.
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वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) परिभाषित है। क्या यह संक्रिया क्रमविनिमेय है?
On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Is this operation commutative?
#binary operations
#commutative
#real numbers
A हाँ क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Yes because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
B नहीं क्योंकि वर्ग बदल जाते हैं / No because squares change
C केवल धनात्मक संख्याओं के लिए / Only for positive numbers
D केवल शून्य के लिए / Only for zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\) / Yes because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) जांचते हैं। / For commutativity, check whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), दोनों बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), which are equal.
Step 3
Exam Tip
जोड़ में पदों का क्रम बदलने से मान नहीं बदलता। / The order of terms in addition does not change the value.
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धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On positive real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity
#positive real numbers
A (1)
B (2)
C \(\frac{1}{2}\)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ae}{2}=a\) से (e=2) मिलता है। / \(\frac{ae}{2}=a\) gives (e=2).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में दोनों तरफ सरल करते समय (a) शून्य न हो, यह ध्यान रखें। / While simplifying, note that (a) is positive and hence non-zero.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित है। यह संक्रिया कौन-सा गुण रखती है?
On real numbers, (a*b=a-b) is defined. Which property does this operation have?
#binary operations
#non commutative
#non associative
A क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों / Both commutative and associative
B केवल क्रमविनिमेय / Only commutative
C केवल सहचारी / Only associative
D न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
D. न क्रमविनिमेय न सहचारी / Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
(a*b=a-b) और (b*a=b-a), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / (a*b=a-b) and (b*a=b-a), which are not equal in general.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a-b-c) जबकि (a*(b*c)=a-b+c), इसलिए सहचारी भी नहीं है। / ((a*b)*c=a-b-c) but (a*(b*c)=a-b+c), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
घटाव जैसी संक्रियाओं में क्रम पर विशेष ध्यान दें। / For subtraction-type operations, order matters a lot.
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पूर्णांकों पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।
On integers, (a*b=a+b+1) is defined. Choose the correct statement about this operation.
#binary operations
#commutative
#associative
A क्रमविनिमेय है पर सहचारी नहीं / Commutative but not associative
B सहचारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / Associative but not commutative
C क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
D न क्रमविनिमेय है न सहचारी / Neither commutative nor associative
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. क्रमविनिमेय और सहचारी दोनों है / Both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b+1=b+a+1=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c+2) और (a*(b*c)=a+b+c+2), इसलिए सहचारी भी है। / ((a*b)*c=a+b+c+2) and (a*(b*c)=a+b+c+2), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
दोनों गुणों की जांच अलग-अलग करनी चाहिए। / Check commutativity and associativity separately.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2) परिभाषित है। इस संक्रिया के लिए (3) का प्रतिलोम क्या होगा?
On real numbers, (a*b=a+b-2) is defined. What is the inverse of (3) under this operation?
#binary operations
#inverse element
#real numbers
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*e=a) से (a+e-2=a), इसलिए (e=2)। / First find the identity. From (a*e=a), (a+e-2=a), so (e=2).
Step 2
Why this answer is correct
(3*b=2) रखने पर (3+b-2=2), अतः (b=1)। / Put (3*b=2). Then (3+b-2=2), so (b=1).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम निकालने से पहले हमेशा तत्समक अवयव अवश्य निकालें। / Always find the identity before finding an inverse.
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वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#real numbers
#identity element
A (0)
B (1)
C (-1)
D कोई नहीं / None
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
मान लें तत्समक अवयव (e) है। तब (a*e=a) होगा। / Let the identity be (e). Then (a*e=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है। हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / From (a+e+ae=a), we get (e(1+a)=0), so (e=0) works for all (a).
Step 3
Exam Tip
तत्समक जांचते समय सामान्य अवयव (a) लेकर समीकरण बनाइए। / To find identity, use a general element and form the equation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संक्रिया (a*b=\max(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?
On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), the operation (a*b=\max(a,b)) is defined. Which element is the identity element?
#binary operations
#maximum operation
#identity
A (1)
B (2)
C (4)
D (5)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a \in A\) के लिए होना चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) must hold for all \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the least element of (A).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम वाली संक्रिया में सबसे छोटा अवयव तत्समक होता है। / In a maximum operation, the least element is the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संक्रिया (a*b=\min(a,b)) दी है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On the set \(A=\{1,2,3,4\}\), the operation (a*b=\min(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?
#binary operations
#identity element
#class 12 relations and functions
A (1)
B (2)
C (3)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक अवयव (e) के लिए हर \(a \in A\) पर (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a) for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (a*e=\min(a,e)) है। हर (a) को जैसा है वैसा पाने के लिए (e) सबसे बड़ा अवयव होना चाहिए। / Here (a*e=\min(a,e)), so (e) must be the greatest element of the set.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में न्यूनतम वाली संक्रिया में सबसे बड़ा अवयव तत्समक होता है। / In a minimum operation on a finite ordered set, the greatest element works as the identity.
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