समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+1) है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (5)?
#binary operations
#integers
#inverse
A (-7)
B (-5)
C (7)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), इसलिए (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(5*x=-1) से (5+x+1=-1)। / From (5*x=-1), (5+x+1=-1).
Step 3
Exam Tip
अतः (x=-7); प्रतिलोम को हमेशा तत्समक से जोड़कर देखें। / Hence (x=-7); always connect inverse with identity.
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समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। सही कथन क्या है?
On \(\mathbb{R}^+\), \(a*b=\frac{a}{b}\). What is the correct statement?
#binary operations
#positive real
#division
A यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is binary but not commutative
B यह द्विआधारी नहीं है / It is not binary
C यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
D इसका द्विपक्षीय तत्समक (1) है / Its two-sided identity is (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह द्विआधारी है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is binary but not commutative
Step 1
Concept
धनात्मक संख्या को धनात्मक संख्या से भाग देने पर धनात्मक संख्या मिलती है, इसलिए बंदता है। / Dividing a positive number by a positive number gives a positive number, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता। / \(\frac{a}{b}\) is generally not equal to \(\frac{b}{a}\).
Step 3
Exam Tip
भाग वाली संक्रिया में बाएँ और दाएँ पक्ष अलग-अलग जाँचें। / In division operations, check left and right sides separately.
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समुच्चय \(\mathbb{R}^+\) पर (a*b=ab) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}^+\), (a*b=ab). What is its identity element?
#binary operations
#positive real
#identity
A (1)
B (0)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (ae=a) होना चाहिए। / For identity (e), (ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a>0), इसलिए (e=1)। / Since (a>0), (e=1).
Step 3
Exam Tip
सामान्य गुणन में (1) तत्समक होता है, लेकिन समुच्चय में उसका होना भी जरूरी है। / In usual multiplication, (1) is identity, but it must also belong to the given set.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+c) है। किसी अवयव (p) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+c). What will be the inverse of an element (p)?
#binary operations
#inverse
#parameter
A (-p-2c)
B (-p-c)
C (p+2c)
D (c-p)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (-p-2c)
Step 1
Concept
पहले तत्समक (e) निकालें: (a+e+c=a), इसलिए (e=-c)। / First find identity: (a+e+c=a), so (e=-c).
Step 2
Why this answer is correct
(p*x=e) से (p+x+c=-c)। / From (p*x=e), (p+x+c=-c).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (x=-p-2c), यही (p) का प्रतिलोम है। / Hence (x=-p-2c), the inverse of (p).
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यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+kab) है, तो यह संक्रिया किन (k) के लिए साहचर्य है?
If (a*b=a+b+kab) on \(\mathbb{R}\), for which values of (k) is the operation associative?
#binary operations
#associative
#parameter
A हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
B केवल (k=0) के लिए / Only for (k=0)
C केवल (k=1) के लिए / Only for (k=1)
D किसी भी (k) के लिए नहीं / For no value of (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर वास्तविक (k) के लिए / For every real (k)
Step 1
Concept
((a*b)*c) का विस्तार करने पर \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives \(a+b+c+kab+kbc+kca+k^2abc\).
Step 2
Why this answer is correct
(a*(b*c)) का विस्तार भी यही आता है। / Expanding (a*(b*c)) gives the same expression.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह हर वास्तविक (k) के लिए साहचर्य है। / Hence it is associative for every real (k).
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यदि \(\mathbb{R}\) पर (a*b=ka+b) क्रमविनिमेय है, तो (k) का मान क्या होगा?
If (a*b=ka+b) on \(\mathbb{R}\) is commutative, what is the value of (k)?
#binary operations
#parameter
#commutative
A (1)
B (0)
C (-1)
D कोई भी वास्तविक संख्या / Any real number
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
क्रमविनिमेयता के लिए (ka+b=kb+a) सभी (a,b) के लिए चाहिए। / For commutativity, (ka+b=kb+a) for all (a,b).
Step 2
Why this answer is correct
इसे ((k-1)a=(k-1)b) की तरह देखें। / View it as ((k-1)a=(k-1)b).
Step 3
Exam Tip
सभी मानों के लिए यह तभी सही होगा जब (k=1)। / This holds for all values only when (k=1).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। सही गुण चुनिए।
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Choose the correct property.
#binary operations
#commutative
#not associative
A यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
B यह साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is associative but not commutative
C यह बंद नहीं है / It is not closed
D इसका तत्समक (1) है / Its identity is (1)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं / It is commutative but not associative
Step 1
Concept
\(a^2+b^2=b^2+a^2\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / Since \(a^2+b^2=b^2+a^2\), it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*1)*2=8), जबकि (1*(1*2)=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। / ((1*1)*2=8), while (1*(1*2)=26), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
साहचर्य जाँचने में छोटे मान बहुत उपयोगी होते हैं। / Small values are very useful for testing associativity.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) दिया है। यह द्विआधारी संक्रिया क्यों नहीं है?
On \(\mathbb{Z}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\) is defined. Why is it not a binary operation?
#binary operations
#not closed
#counterexample
A क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता / Because the result is not always an integer
B क्योंकि यह कभी परिभाषित नहीं होता / Because it is never defined
C क्योंकि यह क्रमविनिमेय नहीं है / Because it is not commutative
D क्योंकि (a=b) आवश्यक है / Because (a=b) is necessary
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक नहीं होता / Because the result is not always an integer
Step 1
Concept
द्विआधारी संक्रिया के लिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहना चाहिए। / For a binary operation, the result must remain in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1*2=\frac{3}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है। / \(1*2=\frac{3}{2}\), which is not an integer.
Step 3
Exam Tip
बंदता गलत सिद्ध करने के लिए एक विरोधी उदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove closure.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a-b) है। कौन-सा कथन सही है?
On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a-b). Which statement is correct?
#binary operations
#integers
#subtraction
A यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is closed but not commutative
B यह बंद नहीं है / It is not closed
C यह क्रमविनिमेय है / It is commutative
D इसमें द्विपक्षीय तत्समक (0) है / It has two-sided identity (0)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह बंद है पर क्रमविनिमेय नहीं / It is closed but not commutative
Step 1
Concept
दो पूर्णांकों का अंतर पूर्णांक होता है, इसलिए बंदता है। / Difference of two integers is an integer, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
\(5-2\neq2-5\), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / \(5-2\neq2-5\), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
केवल (a*0=a) देखकर तत्समक न मानें, (0*a=a) भी जाँचें। / Do not accept identity only from (a*0=a); also check (0*a=a).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। तत्समक अवयव क्या होगा?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What will be the identity element?
#binary operations
#lcm
#identity
A (1)
B (6)
C (2)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (e) हर (a) को भाग देना चाहिए। / For this, (e) must divide every (a).
Step 3
Exam Tip
(1) सभी अवयवों को भाग देता है, इसलिए वही तत्समक है। / (1) divides all elements, so it is the identity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element of this operation?
#binary operations
#gcd
#identity
A (6)
B (1)
C (2)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है कि हर (a), (e) को भाग दे। / This means every (a) must divide (e).
Step 3
Exam Tip
(6) सभी दिए अवयवों का गुणज है, इसलिए (e=6)। / (6) is a multiple of all given elements, so (e=6).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\min(a,b)). Which is the identity element?
#binary operations
#min
#identity
A (8)
B (2)
C (4)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible only when (e) is the greatest element.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यहाँ तत्समक (8) है। / Hence the identity here is (8).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6,8\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), (a*b=\max(a,b)). What is its identity element?
#binary operations
#max
#identity
A (2)
B (4)
C (8)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) सभी \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for all \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसा तभी होगा जब (e) सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element.
Step 3
Exam Tip
इस समुच्चय में सबसे छोटा अवयव (2) है। / The smallest element of this set is (2).
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समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। (10) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). What is the inverse of (10)?
#binary operations
#inverse
#rational numbers
A \(\frac{5}{2}\)
B (2)
C \(\frac{1}{2}\)
D (50)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{5}{2}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (5) है। / The identity is (5).
Step 2
Why this answer is correct
(10*x=5) से \(\frac{10x}{5}=5\), अतः (2x=5)। / From (10*x=5), \(\frac{10x}{5}=5\), so (2x=5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{5}{2}\); प्रतिलोम को तत्समक के बराबर रखकर निकालें। / Hence \(x=\frac{5}{2}\); find inverse by equating to the identity.
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समुच्चय \(\mathbb{Q}-{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{5}\) है। तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(\mathbb{Q}-{0}\), \(a*b=\frac{ab}{5}\). Which is the identity element?
#binary operations
#rational numbers
#identity
A (5)
B (1)
C \(\frac{1}{5}\)
D (0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए \(\frac{ae}{5}=a\) होना चाहिए। / For identity (e), \(\frac{ae}{5}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a\neq0\), इसलिए दोनों ओर (a) से भाग देने पर (e=5)। / Since \(a\neq0\), divide by (a) to get (e=5).
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाली संक्रिया में पहले हर को साफ करें। / In fraction-based operations, clear the denominator first.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। किस संख्या का प्रतिलोम नहीं बनता?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which number does not have an inverse?
#binary operations
#inverse
#real numbers
A (-1)
B (0)
C (1)
D (3)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(a*x=0) से (a+x+ax=0), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\)। / From (a*x=0), (a+x+ax=0), so \(x=\frac{-a}{1+a}\).
Step 3
Exam Tip
(a=-1) पर हर शून्य हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम नहीं है। / At (a=-1), the denominator is zero, so inverse does not exist.
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। (2) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (2)?
#binary operations
#inverse
#domain
A \(-\frac{2}{3}\)
B \(\frac{2}{3}\)
C (3)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(-\frac{2}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=0) से (2+x+2x=0), अतः (3x=-2)। / From (2*x=0), (2+x+2x=0), so (3x=-2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=-\frac{2}{3}\); उत्तर समुच्चय (A) में भी है। / Hence \(x=-\frac{2}{3}\), and it also belongs to (A).
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समुच्चय \(A=\mathbb{R}-{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। तत्समक अवयव क्या है?
On \(A=\mathbb{R}-{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the identity element?
#binary operations
#identity
#domain
A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
(a*e=a) से (a+e+ae=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
(e(1+a)=0) होगा और \(a\neq -1\) है। / Thus (e(1+a)=0), and \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (e=0); दिए गए समुच्चय की शर्त को हमेशा पढ़ें। / Hence (e=0); always read the set condition carefully.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#inverse
#real numbers
A \(\frac{4}{3}\)
B \(-\frac{4}{3}\)
C \(\frac{3}{4}\)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{4}{3}\)
Step 1
Concept
इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(4*x=0) से (4+x-4x=0), अतः (4-3x=0)। / From (4*x=0), (4+x-4x=0), so (4-3x=0).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{4}{3}\); ऋण चिह्न लगाते समय सावधानी रखें। / Hence \(x=\frac{4}{3}\); be careful with negative signs.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इसका तत्समक अवयव कौन-सा है?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which is its identity element?
#binary operations
#identity
#hard
A (0)
B (1)
C (-1)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a+e-ae=a) लिखें। / For identity (e), write (a+e-ae=a).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (e(1-a)=0) मिलता है, जो सभी (a) के लिए (e=0) से पूरा होता है। / This gives (e(1-a)=0), which is satisfied for all (a) by (e=0).
Step 3
Exam Tip
दोनों ओर से (a) घटाकर सरल करना तेज तरीका है। / Subtracting (a) from both sides is a quick simplification.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+4) है। (6) का प्रतिलोम क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+4). What is the inverse of (6)?
#binary operations
#inverse
#identity
A (-14)
B (-10)
C (14)
D (2)
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Step 1
Concept
पहले तत्समक निकालें, (a+e+4=a) से (e=-4)। / First find the identity: (a+e+4=a), so (e=-4).
Step 2
Why this answer is correct
(6) के प्रतिलोम (x) के लिए (6+x+4=-4)। / If (x) is the inverse of (6), then (6+x+4=-4).
Step 3
Exam Tip
इससे (x=-14) आता है, इसलिए प्रतिलोम निकालने से पहले तत्समक अवश्य निकालें। / This gives (x=-14), so always find identity before inverse.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+4) है। इसका तत्समक अवयव क्या है?
On \(\mathbb{R}\), the operation (a*b=a+b+4) is defined. What is its identity element?
#binary operations
#identity
#real numbers
A (-4)
B (0)
C (4)
D ऐसा कोई अवयव नहीं / No such element
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a*e=a) must hold.
Step 2
Why this answer is correct
(a+e+4=a) से (e=-4) मिलता है। / From (a+e+4=a), we get (e=-4).
Step 3
Exam Tip
तत्समक में (a) सभी मान ले सकता है, इसलिए (e) स्थिर होना चाहिए। / In identity questions, (a) may be any value, so (e) must be fixed.
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समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। सही कथन चुनिए।
On \(\mathbb{Z}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. Choose the correct statement.
#binary operations
#closure
#integers
A यह बंद संक्रिया है / It is a closed operation
B यह बंद संक्रिया नहीं है / It is not closed
C यह केवल धनात्मक मान देती है / It gives only positive values
D यह केवल (a=b) पर परिभाषित है / It is defined only when (a=b)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह बंद संक्रिया है / It is a closed operation
Step 1
Concept
बंदता के लिए परिणाम फिर \(\mathbb{Z}\) में होना चाहिए। / For closure, the result must again lie in \(\mathbb{Z}\).
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) में योग और गुणनफल दोनों पूर्णांक रहते हैं। / In (a+b+ab), sums and products of integers remain integers.
Step 3
Exam Tip
बंदता जाँचते समय केवल परिणाम के समुच्चय पर ध्यान दें। / In closure questions, focus only on the set of the result.
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?
If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?
#binary operations
#commutative operations
#counting
#finite set
A \(n^{n^2}\)
B \(n^{\frac{n(n-1)}{2}}\)
C \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
D \(2^{n^2}\)
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Correct Answer
C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
Step 1
Concept
क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
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यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?
If (A) has (n) elements, how many binary operations can be defined on (A)?
#binary operations
#counting
#finite set
#functions
A \(n^2\)
B \(2^n\)
C \(n^{n^2}\)
D \(n^{2n}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(n^{n^2}\)
Step 1
Concept
द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। / A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) का (5) से शेष माना गया है। (4) का प्रतिलोम क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder of (a+b) modulo (5). What is the inverse of (4)?
#binary operations
#modulo addition
#inverse
#finite set
A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
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Step 1
Concept
(5) के सापेक्ष जोड़ में तत्समक (0) है। / In addition modulo (5), the identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(4*x=0) के लिए (4+x) का (5) से शेष (0) होना चाहिए। / For (4*x=0), (4+x) must have remainder (0) on division by (5).
Step 3
Exam Tip
(4+1=5), इसलिए (4) का प्रतिलोम (1) है। / Since (4+1=5), the inverse of (4) is (1).
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) का (5) से भाग देने पर शेष माना गया है। (3*4) का मान क्या है?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (5). What is (3*4)?
#binary operations
#modulo addition
#value based
#finite set
A (0)
B (1)
C (2)
D (4)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
यहाँ क्रिया (5) के सापेक्ष जोड़ है। / This operation is addition modulo (5).
Step 2
Why this answer is correct
(3+4=7), और (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (3+4=7), and the remainder on division by (5) is (2).
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाली क्रिया में पहले साधारण गणना करें, फिर शेष लें। / For remainder operations, first do the usual calculation, then take the remainder.
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+mab) है। यदि (2) का प्रतिलोम (-1) है, तो (m) का मान क्या होगा?
On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+mab). If the inverse of (2) is (-1), what is the value of (m)?
#binary operations
#parameter
#inverse
#value finding
A \(\frac{1}{2}\)
B (1)
C \(-\frac{1}{2}\)
D (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (-1) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2*(-1)=0)। / If (2) and (-1) are inverses, then (2*(-1)=0).
Step 3
Exam Tip
(2-1-2m=0) से (1-2m=0), अतः \(m=\frac{1}{2}\)। / (2-1-2m=0) gives (1-2m=0), so \(m=\frac{1}{2}\).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस \(\lambda\) पर अवयव (2) का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). For which \(\lambda\) will the element (2) have no inverse?
#binary operations
#parameter
#inverse exception
#expert
A \(\lambda=-\frac{1}{2}\)
B \(\lambda=\frac{1}{2}\)
C \(\lambda=0\)
D \(\lambda=1\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\lambda=-\frac{1}{2}\)
Step 1
Concept
इस प्रकार की क्रिया का तत्समक (0) होता है। / This type of operation has identity (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x=0) से \(2+x+2\lambda x=0\), यानी (x\(1+2\lambda\)=-2) मिलता है। / From (2*x=0), \(2+x+2\lambda x=0\), so (x\(1+2\lambda\)=-2).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम न होने के लिए \(1+2\lambda=0\), इसलिए \(\lambda=-\frac{1}{2}\)। / No inverse exists when \(1+2\lambda=0\), hence \(\lambda=-\frac{1}{2}\).
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समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda\) है। किस \(\lambda\) के लिए तत्समक अवयव (5) होगा?
On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda\). For which \(\lambda\) will the identity element be (5)?
#binary operations
#parameter
#identity
#real numbers
A (-5)
B (5)
C (0)
D (10)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a) होना चाहिए। / If (5) is the identity, then (a*5=a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। / \(a+5+\lambda=a\) gives \(\lambda=-5\).
Step 3
Exam Tip
मान निकालने के बाद (5*a=a) भी वही परिणाम देता है, इसलिए जाँच पूरी है। / Checking (5*a=a) gives the same result, so the verification is complete.
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