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चार vertices का selection एक quadrilateral तय करता है। परीक्षा में polygon से shapes बनें तो vertices का combination लें। / A selection of four vertices determines a quadrilateral. In exams use combinations of vertices when shapes are formed from polygons.
वृत्तीय गैर-आसन्न चयन का सूत्र \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\) है। यहां \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\)। / The circular non-adjacent selection formula is \(\frac{n}{n-r},{}^{n-r}C_{r}\). Here \(\frac{12}{8}\times{}^{8}C_{4}=105\).
(x=2), (y=1), और (x+y=6) के प्रतिच्छेदों से ये तीन vertices मिलते हैं। परीक्षा में boundary lines pairwise solve करें। / Pairwise intersections of (x=2), (y=1), and (x+y=6) give these vertices. Solve boundary lines pairwise in exams.
रेखा (x+y=6) axes को ((6,0)) और ((0,6)) पर काटती है। परीक्षा में axes के साथ triangle vertices लिखें। / The line (x+y=6) cuts the axes at ((6,0)) and ((0,6)). Write triangle vertices with axes in exams.
आयत \([2,6]\times[1,5]\) को रेखा (x+y=8) काटती है। कोने ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), ((2,5)) हैं। / The rectangle \([2,6]\times[1,5]\) is cut by the line (x+y=8). The corners are ((2,1)), ((6,1)), ((6,2)), ((3,5)), and ((2,5)).
दो तिरछी सीमाएं ((3,2)) पर मिलती हैं। (x=1) और (y=0) की वैध सीमाओं से बाकी कोने मिलते हैं। / The two slant boundaries meet at ((3,2)). The remaining corners come from valid parts of (x=1) and (y=0).
आयत में रेखा (x+y=4) के ऊपर का भाग बचता है। इसके शीर्ष ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), ((4,0)) हैं। / Inside the rectangle, the part above (x+y=4) remains. Its vertices are ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), and ((4,0)).
A. ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
A. ((0,0)), ((6,0)), (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर पूरे बहुभुज के कोने चुनें। / The intersection of the two slant lines is (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to choose all polygon corners.
आयत \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\) में रेखा (x+2y=10) के ऊपर का भाग बचता है। इसलिए शीर्ष ((2,4)), ((6,2)), ((6,4)) हैं। / Inside the rectangle \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\), the part above (x+2y=10) remains. Hence the vertices are ((2,4)), ((6,2)), and ((6,4)).
तीन सीमा रेखाओं के जोड़ीदार प्रतिच्छेद लेकर वैध बिंदु चुनें। वैध कोने ((3,1)), ((7,1)), ((3,5)) हैं। / Take pairwise intersections of the three boundary lines and keep valid points. The valid corners are ((3,1)), ((7,1)), and ((3,5)).
दिया गया त्रिभुज प्रथम चतुर्थांश में रेखा (x+y=5) के नीचे है। परीक्षा सुझाव: शीर्षों से पहले अक्षीय शर्तें पहचानें। / The given triangle lies in the first quadrant below the line (x+y=5). Exam tip: Identify axis conditions from vertices first.
(y=0) से ((0,0)), ((6,0)) और (2x=-x+6) से ((2,4)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: अक्ष और तिरछी रेखाओं के प्रतिच्छेद अलग-अलग निकालें। / From (y=0), we get ((0,0)) and ((6,0)), and (2x=-x+6) gives ((2,4)). Exam tip: Find axis and slant-line intersections separately.
वर्ग \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\) में \(x+y\geq 6\) ऊपर-दाईं त्रिभुज छोड़ता है। परीक्षा सुझाव: पहले बड़ा क्षेत्र बनाकर फिर कटान करें। / Inside the square \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 4\), the condition \(x+y\geq 6\) leaves the upper-right triangle. Exam tip: Draw the larger region first and then cut it.
C. ((0,0)), ((2,0)), (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\))
Explanation
Simple Explanation
\(x-y\geq 0\) से \(y\leq x\) और (3x+y=6) से प्रतिच्छेद (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)) मिलता है। परीक्षा सुझाव: बदले हुए रूप में क्षेत्र पढ़ना आसान होता है। / The condition \(x-y\geq 0\) gives \(y\leq x\), and its intersection with (3x+y=6) is (\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\)). Exam tip: Reading the region is easier after rewriting inequalities.
\(x-y\leq 0\) से \(y\geq x\) और \(x+y\leq 4\) मिलकर ये त्रिभुज बनाते हैं। परीक्षा सुझाव: हर शीर्ष को सभी असमानताओं में रखकर जाँचें। / The condition \(x-y\leq 0\) gives \(y\geq x\), and together with \(x+y\leq 4\) these form the triangle. Exam tip: Test every vertex in all inequalities.
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद ((2,2)) है और अक्षों पर सीमाएँ ((3,0)), ((0,3)) देती हैं। परीक्षा सुझाव: सभी संभावित शीर्षों को असमानताओं से सत्यापित करें। / The two lines intersect at ((2,2)), and the axes give the limits ((3,0)) and ((0,3)). Exam tip: Verify all possible vertices with the inequalities.
रेखाओं के प्रतिच्छेद और (y=0) पर कटान से ये तीन शीर्ष मिलते हैं। परीक्षा सुझाव: हर सीमा रेखा को जोड़ी में हल करके शीर्ष जाँचिए। / The intersections of the boundary lines and their cuts on (y=0) give these three vertices. Exam tip: Solve boundary lines in pairs and verify each vertex.
सीमाओं के प्रतिच्छेद से ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) मिलते हैं। ग्राफ में केवल वे प्रतिच्छेद लें जो सभी असमानताओं को संतुष्ट करें। / Boundary intersections give ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)). On a graph, keep only intersections satisfying all inequalities.
शीर्ष ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), और ((0,4)) हैं। सभी वैध कोनों को क्रम से सूचीबद्ध करें। / The vertices are ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), and ((0,4)). List all valid corners in order.
शीर्ष ((1,1)), ((5,1)), और ((1,5)) हैं, इसलिए कुल (3) हैं। सभी सीमा रेखाओं के वैध प्रतिच्छेद गिनें। / The vertices are ((1,1)), ((5,1)), and ((1,5)), so there are (3). Count valid intersections of all boundary lines.
प्रथम चतुर्थांश में (x+y=7) अक्षों को ((7,0)) और ((0,7)) पर काटती है। अक्षों और रेखा के प्रतिच्छेद ही शीर्ष देते हैं। / In the first quadrant, (x+y=7) cuts the axes at ((7,0)) and ((0,7)). Intersections of axes and the line give the vertices.
रेखा (2x+y=12) के अवरोध ((6,0)) और ((0,12)) हैं। अक्षों के साथ ((0,0)) तीसरा शीर्ष है। / The intercepts of (2x+y=12) are ((6,0)) and ((0,12)). With the axes, ((0,0)) is the third vertex.
रेखा के अवरोध ((8,0)) और ((0,6)) हैं तथा अक्षों का प्रतिच्छेद ((0,0)) है। प्रथम चतुर्थांश में ये त्रिभुज के शीर्ष हैं। / The line intercepts are ((8,0)) and ((0,6)), and the axes meet at ((0,0)). These are the triangle vertices in the first quadrant.
(x=2) पर (y=4) और (y=1) पर (x=8) मिलता है। सीमा रेखा को दी गई निचली सीमाओं के साथ काटें। / At (x=2), (y=4); at (y=1), (x=8). Intersect the boundary line with the given lower limits.
सीमाएं (x=1), (y=2) और (x+y=8) से ( (1,2) ), ( (6,2) ), ( (1,7) ) मिलते हैं। बदले हुए अक्षीय प्रतिबंधों को साधारण \(x\ge0\), \(y\ge0\) न मानें। / The boundaries (x=1), (y=2), and (x+y=8) give ( (1,2) ), ( (6,2) ), and ( (1,7) ). Do not treat shifted restrictions as simple \(x\ge0\), \(y\ge0\).
चतुर्भुज के लिए हर रेखा से (2) बिंदु चाहिए, इसलिए \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \)। एक ही रेखा से (3) बिंदु लेने पर चतुर्भुज नहीं बनेगा। / A quadrilateral needs (2) points from each line, so \( \binom{7}{2}\binom{5}{2}=210 \). Taking (3) points from one line cannot form a quadrilateral.
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
B. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं/Triangle with vertices ((2,3)), ((4,1)), ((4,3))
Explanation
Simple Explanation
आयत \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\) से रेखा (x+y=5) के ऊपर का छोटा भाग बचता है। उसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं। / From the rectangle \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\), the part above (x+y=5) remains. Its vertices are ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)).
शीर्ष ((1,2)), ((5,2)), ((1,6)) मिलते हैं। आधार और ऊंचाई (4) हैं इसलिए क्षेत्रफल (8) है। / The vertices are ((1,2)), ((5,2)), and ((1,6)). Base and height are (4), so the area is (8).
शीर्ष ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), ((0,7)) हैं; ((6,4)) पर (3x+2y=26), पर ((8,0)) पर (24), इसलिए सही अधिकतम (26) होना चाहिए। दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / The feasible vertices are ((0,0)), ((8,0)), ((6,4)), and ((0,7)); the maximum is (26) at ((6,4)). None of the listed options matches the correct value.
दोनों समीकरणों (x+y=7) और (x-y=3) को हल करने पर ((5,2)) मिलता है। साझा शीर्ष दो सीमा रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलता है। / Solving (x+y=7) and (x-y=3) gives ((5,2)). A common vertex comes from the intersection of two boundary lines.
रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)) है और वहां \(x+y=\frac{16}{3}\) अधिकतम है। रैखिक व्यंजक का चरम मान किसी शीर्ष पर मिलता है। / The intersection is (\left\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\right\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\) is maximum. A linear expression attains its extreme value at a vertex.
((2,3)) पर (x+y=5), इसलिए यह रेखा (x+y=6) पर नहीं है। किसी सीमा पर होना जांचने के लिए बिंदु को समीकरण में रखें। / At ((2,3)), (x+y=5), so it is not on (x+y=6). To test a boundary, substitute the point into the equation.
रेखाएं (x=2) और (y=1) मिलकर ((2,1)) देती हैं और यह \(x+y\le 8\) को भी संतुष्ट करता है। हर शीर्ष को सभी असमानताओं में जांचें। / The lines (x=2) and (y=1) meet at ((2,1)), and it also satisfies \(x+y\le 8\). Check every vertex in all inequalities.
दोनों रेखाओं को साथ हल करने पर (x=4), (y=4) मिलता है। साझा सीमा का कटान अक्सर मुख्य शीर्ष होता है। / Solving both lines together gives (x=4), (y=4). The intersection of shared boundaries is often the key vertex.
दोनों समीकरण जोड़ने पर (2x=12), अतः (x=6) और (y=4)। शीर्ष निकालने में दो सीमा रेखाओं को साथ हल करें। / Adding the two equations gives (2x=12), so (x=6) and (y=4). To find a vertex, solve the two boundary lines together.
दोनों सीमा रेखाएँ (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)) पर मिलती हैं और वहाँ \(x+y=\frac{16}{3}\) है। परीक्षा सुझाव: रैखिक मान का चरम प्रायः शीर्ष पर मिलता है। / The two boundary lines meet at (\(\frac{8}{3},\frac{8}{3}\)), where \(x+y=\frac{16}{3}\). Exam tip: A linear expression usually attains its extreme at a vertex.
((0,4)) पर (x-y=-4), जो \(x-y \ge 0\) को संतुष्ट नहीं करता। हर संभावित शीर्ष को सभी सीमाओं से जांचें। / At ((0,4)), (x-y=-4), which does not satisfy \(x-y \ge 0\). Check every possible vertex against all boundaries.
तीन सीमा रेखाएं तीन शीर्ष ((1,2)), ((6,2)), और ((1,7)) देती हैं। तीन रेखाओं से बंद क्षेत्र सामान्यतः त्रिभुज बनता है। / The three boundary lines give vertices ((1,2)), ((6,2)), and ((1,7)). A closed region from three lines is generally a triangle.
दोनों रेखाओं (2x+y=6) और (x+2y=6) का प्रतिच्छेद ((2,2)) है। परीक्षा में vertices के लिए boundary lines solve करें। / The intersection of (2x+y=6) and (x+2y=6) is ((2,2)). Solve boundary lines to find vertices.
(x+2y=6) और (2x+y=6) हल करने पर (x=2) और (y=2) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का महत्वपूर्ण शीर्ष है। / Solving (x+2y=6) and (2x+y=6) gives (x=2) and (y=2). This is an important vertex of the common region.
(x=6) और (y=0) मिलने पर ((6,0)) आता है और यह \(x+2y\le 8\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह क्षेत्र का शीर्ष है। / The intersection of (x=6) and (y=0) is ((6,0)), and it satisfies \(x+2y\le 8\). Hence it is a vertex of the region.
(x=2) और (y=3) का प्रतिच्छेद ((2,3)) है और यह \(x+y\le 10\) को संतुष्ट करता है। इसलिए यह एक शीर्ष है। / The intersection of (x=2) and (y=3) is ((2,3)), and it satisfies \(x+y\le 10\). Therefore it is a vertex.
((1,2)) सीधे (x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए सीमाओं को जोड़ी में काटें। / The point ((1,2)) is the direct intersection of (x=1) and (y=2). To identify vertices, intersect boundary lines pairwise.
(y=0) और (y=x-2) को मिलाने पर (x=2) मिलता है। इसलिए ((2,0)) क्षेत्र का एक शीर्ष है। / Solving (y=0) with (y=x-2) gives (x=2). Hence ((2,0)) is one vertex of the region.
दोनों तिरछी रेखाओं को हल करने पर \(x=y=\frac{8}{3}\) मिलता है। यह संयुक्त क्षेत्र का अंदरूनी शीर्ष है। / Solving the two oblique lines gives \(x=y=\frac{8}{3}\). This is an inner vertex of the common region.
(x=1) और (y=2) का प्रतिच्छेद ((1,2)) है और यह \(x+y\le 7\) को संतुष्ट करता है। शीर्ष खोजते समय सीमा रेखाओं को जोड़ी में काटें। / The intersection of (x=1) and (y=2) is ((1,2)), and it satisfies \(x+y\le 7\). To find vertices, intersect boundary lines pairwise.
