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अठारहवीं पंक्ति में (229) ईंटें हैं, इसलिए कुल (S_{18}=\frac{18}{2}(25+229)=2286) है। शब्द-प्रश्न में क्रम को समांतर श्रेणी में बदलें। / The eighteenth row has (229) bricks, so the total is (S_{18}=\frac{18}{2}(25+229)=2286). In word problems, convert the pattern into an arithmetic progression.
दसवीं पंक्ति में (395) कुर्सियाँ हैं, इसलिए कुल (S_{10}=\frac{10}{2}(80+395)=2375) है। पंक्तियों को पदों की संख्या मानें। / The tenth row has (395) chairs, so the total is (S_{10}=\frac{10}{2}(80+395)=2375). Treat rows as the number of terms.
बारहवाँ जमा (265) रुपये है, इसलिए कुल (S_{12}=\frac{12}{2}(45+265)=1860) रुपये है। राशि वाले प्रश्न में इकाई ध्यान रखें। / The twelfth deposit is (265) rupees, so the total is (S_{12}=\frac{12}{2}(45+265)=1860) rupees. Keep the unit in mind in money questions.
पहला पद (48) और चौदहवाँ पद (22) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(48+22)=490)। घटती श्रेणी में भी वही योग सूत्र काम करता है। / The first term is (48) and the fourteenth term is (22), so (S_{14}=\frac{14}{2}(48+22)=490). The same sum formula works for a decreasing progression.
पहला पद (13) और सोलहवाँ पद (58) है, इसलिए \(S_{16}=568\)। \(a_n\) से (a) और (l) निकालकर योग लगाएँ। / The first term is (13) and the sixteenth term is (58), so \(S_{16}=568\). Use \(a_n\) to find (a) and (l), then apply the sum formula.
पहला पद (-2) और अठारहवाँ पद (117) है, इसलिए \(S_{18}=1035\)। \(a_n\) में (n=1) और अंतिम (n) रखें। / The first term is (-2) and the eighteenth term is (117), so \(S_{18}=1035\). Put (n=1) and the final (n) in \(a_n\).
पहला पद (9) और बीसवाँ पद (104) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130)। \(a_n\) से पहले और अंतिम पद निकालें। / The first term is (9) and the twentieth term is (104), so (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130). Use \(a_n\) to find the first and last terms.
गुणज \(100,125,\ldots,275\) हैं और (8) पद हैं, इसलिए योग (1500) है। सीमा के अनुसार पहला और अंतिम पद तय करें। / The multiples are \(100,125,\ldots,275\), and there are (8) terms, so the sum is (1500). Decide the first and last terms according to the limit.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\)। (a+l) सीधे दिया हो तो उसे तुरंत उपयोग करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\). If (a+l) is directly given, use it immediately.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
औसत \(\frac{1170}{18}=65\) है। योग को पदों की संख्या से भाग देने पर औसत मिलता है। / The average is \(\frac{1170}{18}=65\). Dividing the sum by the number of terms gives the average.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(64\times15=960\)। औसत दिया हो तो लंबा सूत्र जरूरी नहीं है। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(64\times15=960\). If the average is given, the long formula is not necessary.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) है, इसलिए \(27\times28=756\)। (n) को अंतिम सम संख्या न समझें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(27\times28=756\). Do not confuse (n) with the last even number.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=625\) और (n=25)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=625\) and (n=25). Recognizing perfect squares is useful.
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ। / The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
(S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1504) मिलता है। विकल्प लगाकर जाँच करना सुरक्षित है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) gives (1504). Checking by substituting options is safe.
(S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1230) मिलता है। पहले (a) और (d) सही पहचानें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) gives (1230). First identify (a) and (d) correctly.
(S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1240) मिलता है। (n) निकालते समय विकल्प विधि तेज रहती है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) gives (1240). The option method is fast when finding (n).
(S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) में (n=15) रखने पर (930) मिलता है। विकल्पों को सूत्र में जाँचें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) gives (930). Check the options in the formula.
दसवें से बीसवें पदों का योग (1640-342=1298) है। लगातार पदों के लिए \(S_m-S_k\) का प्रयोग करें। / The sum of the (10)th to (20)th terms is (1640-342=1298). For consecutive terms, use \(S_m-S_k\).
छठे से बारहवें पदों का योग \(S_{12}-S_5=378\) है। बीच के पदों का योग कुल आंशिक योगों के अंतर से मिलता है। / The sum of the (6)th to (12)th terms is \(S_{12}-S_5=378\). The sum of middle terms is found from the difference of partial sums.
सातवें से चौदहवें पदों का योग (665-165=500) है। आंशिक योगों को घटाकर उत्तर जल्दी मिलता है। / The sum of the (7)th to (14)th terms is (665-165=500). Subtracting partial sums gives the answer quickly.
नौवें से सत्रहवें पदों का योग \(S_{17}-S_8=792\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (9)th to (17)th terms is \(S_{17}-S_8=792\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
(S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765)। अंतिम पद शून्य हो तब भी सूत्र वही रहता है। / (S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765). The formula remains the same even when the last term is zero.
(S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859)। (n) सम हो तो \(\frac{n}{2}\) पहले निकालना आसान है। / (S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859). If (n) is even, finding \(\frac{n}{2}\) first is easier.
(S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585)। ऋणात्मक प्रथम पद को जोड़ते समय चिन्ह न भूलें। / (S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585). Do not forget the sign while adding a negative first term.
(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872)। औसत विधि में \(\frac{a+l}{2}\) को (n) से गुणा करें। / (S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872). In the average method, multiply \(\frac{a+l}{2}\) by (n).
(S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
सोलहवाँ पद (227) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832)। अंतिम पद निकालते समय ((n-1)d) लगाएँ। / The sixteenth term is (227), so (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832). Use ((n-1)d) while finding the last term.
अठारहवाँ पद (82) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(-20+82)=558)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह ध्यान रखें। / The eighteenth term is (82), so (S_{18}=\frac{18}{2}(-20+82)=558). Keep the sign of the negative first term in mind.
तेईसवाँ पद (104) है, इसलिए (S_{23}=\frac{23}{2}(16+104)=1380)। विषम पदों में मध्य पद से भी योग जाँचा जा सकता है। / The twenty-third term is (104), so (S_{23}=\frac{23}{2}(16+104)=1380). With an odd number of terms, the middle term can also check the sum.
पंद्रहवाँ पद (189) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(7+189)=1470)। बड़े अंतर में अंतिम पद निकालना जरूरी है। / The fifteenth term is (189), so (S_{15}=\frac{15}{2}(7+189)=1470). With a large difference, finding the last term is important.
सत्रहवाँ पद (-40) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(40-40)=0)। विपरीत चिन्ह वाले बराबर सिरों पर योग शून्य हो सकता है। / The seventeenth term is (-40), so (S_{17}=\frac{17}{2}(40-40)=0). With opposite equal end terms, the sum can be zero.
यह (11) के पहले (14) गुणजों का योग है, इसलिए \(11\times\frac{14\times15}{2}=1155\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं के योग का उपयोग करें। / This is the sum of the first (14) multiples of (11), so \(11\times\frac{14\times15}{2}=1155\). For multiples, use the sum of natural numbers.
अठारहवाँ पद (-26) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(25-26)=-9)। घटती श्रेणी का योग ऋणात्मक भी हो सकता है। / The eighteenth term is (-26), so (S_{18}=\frac{18}{2}(25-26)=-9). The sum of a decreasing progression can also be negative.
बाईसवाँ पद (171) है, इसलिए (S_{22}=\frac{22}{2}(3+171)=1914)। पहले और अंतिम पद का औसत उपयोगी रहता है। / The twenty-second term is (171), so (S_{22}=\frac{22}{2}(3+171)=1914). The average of the first and last terms is useful.
उन्नीसवाँ पद (78) है, इसलिए (S_{19}=\frac{19}{2}(-12+78)=627)। ऋणात्मक से शुरू होने वाली श्रेणी में भी वही सूत्र लगता है। / The nineteenth term is (78), so (S_{19}=\frac{19}{2}(-12+78)=627). The same formula works even when the progression starts with a negative term.
बीसवाँ पद (128) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420)। अंतिम पद और पदों की संख्या दोनों सही रखें। / The twentieth term is (128), so (S_{20}=\frac{20}{2}(14+128)=1420). Keep both the last term and the number of terms correct.
इक्कीसवाँ पद (185) है, इसलिए (S_{21}=\frac{21}{2}(5+185)=1995)। बड़े (n) में अंतिम पद पहले लिखें। / The twenty-first term is (185), so (S_{21}=\frac{21}{2}(5+185)=1995). For larger (n), write the last term first.
पंद्रहवाँ पद (-36) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(20-36)=-120)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक लें। / The fifteenth term is (-36), so (S_{15}=\frac{15}{2}(20-36)=-120). In a decreasing progression, take (d) as negative.
यहाँ (a=-8), (d=7), (n=16) है, इसलिए \(S_{16}=712\)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह की गलती न करें। / Here (a=-8), (d=7), and (n=16), so \(S_{16}=712\). Do not make a sign error with a negative first term.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{18}=981\) मिलता है। ((n-1)d) को ध्यान से निकालें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{18}=981\). Calculate ((n-1)d) carefully.
सत्रहवाँ पद (105) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(9+105)=969)। पहले अंतिम पद निकालने से गणना आसान होती है। / The seventeenth term is (105), so (S_{17}=\frac{17}{2}(9+105)=969). Finding the last term first makes calculation easier.
अठारहवीं पंक्ति में (143) ईंटें हैं, इसलिए कुल (S_{18}=\frac{18}{2}(24+143)=1503) है। शब्द-प्रश्न में पंक्तियों को पद मानें। / The eighteenth row has (143) bricks, so the total is (S_{18}=\frac{18}{2}(24+143)=1503). In word problems, treat rows as terms.
तेरहवाँ पद (0) है, इसलिए (S_{13}=\frac{13}{2}(96+0)=624)। घटती श्रेणी में अंतिम पद शून्य भी हो सकता है। / The thirteenth term is (0), so (S_{13}=\frac{13}{2}(96+0)=624). In a decreasing progression, the last term can also be zero.
दसवें से अठारहवें पदों का योग \(S_{18}-S_9=630\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (10)th to (18)th terms is \(S_{18}-S_9=630\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
संख्याएँ \(204,216,\ldots,396\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (5100) है। सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(204,216,\ldots,396\), and there are (17) terms, so the sum is (5100). Choose the first and last terms carefully in boundary questions.
(S_n=\frac{n}{2}[16+6(n-1)]) में (n=15) रखने पर (750) मिलता है। ऐसे प्रश्न में विकल्पों को सूत्र में जाँचें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[16+6(n-1)]) gives (750). In such questions, check the options in the formula.
(S_{16}=4(16)2-16=1008)। \(S_n\) सीधे दिया हो तो केवल (n) का मान रखें। / (S_{16}=4(16)2-16=1008). If \(S_n\) is directly given, just substitute the value of (n).
चौदहवाँ पद (153) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(10+153)=1141)। पहले अंतिम पद निकालना गणना को सरल बनाता है। / The fourteenth term is (153), so (S_{14}=\frac{14}{2}(10+153)=1141). Finding the last term first makes calculation easier.
पंद्रहवाँ पद (-12) है, इसलिए (S_{15}=\frac{15}{2}(72-12)=450)। घटती श्रेणी में (d) को ऋणात्मक रखें। / The fifteenth term is (-12), so (S_{15}=\frac{15}{2}(72-12)=450). In a decreasing progression, keep (d) negative.
सातवें से तेरहवें पदों का योग \(S_{13}-S_6=383\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योग घटाएँ। / The sum of the (7)th to (13)th terms is \(S_{13}-S_6=383\). For a group of consecutive terms, subtract partial sums.
संख्याएँ \(104,112,\ldots,248\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (3192) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(104,112,\ldots,248\), and there are (19) terms, so the sum is (3192). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
(S_n=\frac{n}{2}[12+9(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1035) मिलता है। ऐसे प्रश्न में विकल्पों से जाँच तेज होती है। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[12+9(n-1)]) gives (1035). In such questions, checking the options is fast.
(S_{15}=2(15)2+5(15)=525)। \(S_n\) सीधे दिया हो तो केवल (n) का मान रखें। / (S_{15}=2(15)2+5(15)=525). If \(S_n\) is directly given, just substitute the value of (n).
उन्नीसवाँ पद (184) है, इसलिए (S_{19}=\frac{19}{2}(4+184)=1786)। बड़े अंतर में अंतिम पद पहले निकालें। / The nineteenth term is (184), so (S_{19}=\frac{19}{2}(4+184)=1786). With a large difference, find the last term first.
(S_n=\frac{n}{2}[32+6(n-1)]) में (n=10) रखने पर (430) नहीं, (n=12) रखने पर (588) नहीं मिलता; सही जाँच से (n=13) नहीं बल्कि कोई विकल्प नहीं दिखता। / Using (S_n=\frac{n}{2}[32+6(n-1)]), checking the options shows none match (640). This question should be corrected before import.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(42\times11=462\)। औसत दिया हो तो लंबा सूत्र जरूरी नहीं है। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(42\times11=462\). If the average is given, the long formula is not necessary.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=441\) और (n=21)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=441\) and (n=21). Recognizing perfect squares is useful.
अठारहवाँ पद (81) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(13+81)=846)। औसत विधि से गणना सरल होती है। / The eighteenth term is (81), so (S_{18}=\frac{18}{2}(13+81)=846). The average method makes calculation simple.
यह (4) के पहले (25) गुणजों का योग है, इसलिए \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\)। गुणजों में प्राकृतिक संख्याओं का योग लगाएँ। / This is the sum of the first (25) multiples of (4), so \(4\times\frac{25\times26}{2}=1300\). Use the sum of natural numbers for multiples.
आठवें से चौदहवें पदों का योग \(S_{14}-S_7=301\) है। आंशिक योगों का अंतर सीधे उत्तर देता है। / The sum of the (8)th to (14)th terms is \(S_{14}-S_7=301\). The difference of partial sums gives the answer directly.
बारहवें सप्ताह में (195) किताबें आएँगी, इसलिए कुल (1350) किताबें हैं। क्रम को (a=30), (d=15), (n=12) मानें। / In the twelfth week, (195) books arrive, so the total is (1350) books. Treat the pattern as (a=30), (d=15), (n=12).
सोलहवाँ पद (-5) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160)। ऋणात्मक अंतर में अंतिम पद घटता है। / The sixteenth term is (-5), so (S_{16}=\frac{16}{2}(25-5)=160). With a negative difference, the last term decreases.
इक्कीसवाँ पद (149) है, इसलिए (S_{21}=\frac{21}{2}(9+149)=1659)। बड़े (n) में अंतिम पद पहले लिखें। / The twenty-first term is (149), so (S_{21}=\frac{21}{2}(9+149)=1659). For larger (n), write the last term first.
(203=\frac{7}{2}(5+l)) से (l=53)। योग से अंतिम पद निकालने में (a+l) को अलग करें। / From (203=\frac{7}{2}(5+l)), (l=53). To find the last term from the sum, isolate (a+l).
बारहवाँ पद (-21) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(45-21)=144)। घटते क्रम में अंतिम पद निकालते समय (d) ऋणात्मक रखें। / The twelfth term is (-21), so (S_{12}=\frac{12}{2}(45-21)=144). In decreasing order, keep (d) negative while finding the last term.
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) है, इसलिए (n=20)। \(20\times21=420\) तुरंत जाँच देता है। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so (n=20). \(20\times21=420\) checks it quickly.
यह श्रेणी \(20,30,\ldots,200\) है जिसमें (19) पद हैं, इसलिए योग (2090) है। सीमा के दोनों सिरों को शामिल करें। / The sequence is \(20,30,\ldots,200\) with (19) terms, so the sum is (2090). Include both boundary terms.
दसवाँ जमा (825) रुपये है, इसलिए कुल (S_{10}=\frac{10}{2}(150+825)=4875) रुपये है। राशि वाले प्रश्न में इकाई न भूलें। / The tenth deposit is (825) rupees, so the total is (S_{10}=\frac{10}{2}(150+825)=4875) rupees. Do not forget the unit in money problems.
(S_n=\frac{n}{2}[2+7(n-1)]) में (n=12) रखने पर (504) मिलता है। विकल्पों से जाँच करना तेज तरीका है। / Putting (n=12) in (S_n=\frac{n}{2}[2+7(n-1)]) gives (504). Checking options is a quick method.
(S_{19}=\frac{19}{2}(14+86)=950)। (a) और (l) दिए हों तो औसत विधि सरल है। / (S_{19}=\frac{19}{2}(14+86)=950). If (a) and (l) are given, the average method is simple.
नौवें से पंद्रहवें पदों का योग \(S_{15}-S_8=371\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (9)th to (15)th terms is \(S_{15}-S_8=371\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
पंद्रहवाँ पद (96) है, इसलिए कुल (S_{15}=\frac{15}{2}(12+96)=810) फल हैं। दिनों की संख्या को पदों की संख्या मानें। / The fifteenth term is (96), so the total is (S_{15}=\frac{15}{2}(12+96)=810) fruits. Treat the number of days as the number of terms.
ग्यारहवाँ पद (-8) है, इसलिए (S_{11}=\frac{11}{2}(32-8)=132)। ऋणात्मक अंतिम पद होने पर भी सूत्र वही रहता है। / The eleventh term is (-8), so (S_{11}=\frac{11}{2}(32-8)=132). The formula remains the same even with a negative last term.
संख्याएँ \(56,63,\ldots,147\) हैं और (14) पद हैं, इसलिए योग (1407) है। बीच की सीमा में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(56,63,\ldots,147\), with (14) terms, so the sum is (1407). For numbers between limits, choose the first and last terms carefully.
गुणज (6) से (96) तक हैं और (16) पद हैं, इसलिए योग (816) है। सीमा वाले प्रश्न में अंतिम पद पहले तय करें। / The multiples are from (6) to (96), and there are (16) terms, so the sum is (816). In boundary questions, decide the last term first.
(S_n=\frac{n}{2}[4+9(n-1)]) से (n=12) मिलता है। दिए गए योग से (n) निकालते समय विकल्प जाँचें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[4+9(n-1)]), we get (n=12). When finding (n) from a given sum, check the options.
(456=\frac{12}{2}(8+l)) से (l=68)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी जरूरी कौशल है। / From (456=\frac{12}{2}(8+l)), (l=68). Using the sum formula in reverse is also an important skill.
(\frac{n(n+1)}{2}=325) से (n(n+1)=650), इसलिए (n=25)। ऐसे प्रश्न में पास-पास की संख्याओं का गुणन देखें। / From (\frac{n(n+1)}{2}=325), (n(n+1)=650), so (n=25). In such questions, look for products of consecutive numbers.
सत्रहवाँ पद (149) है, इसलिए (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309)। पहले अंतिम पद निकालकर औसत विधि लगाएँ। / The seventeenth term is (149), so (S_{17}=\frac{17}{2}(5+149)=1309). Find the last term first and use the average method.
सोलहवीं पंक्ति में (78) सीटें हैं, इसलिए कुल (S_{16}=\frac{16}{2}(18+78)=768)। शब्द-प्रश्न में पंक्तियों को पद मानें। / The sixteenth row has (78) seats, so the total is (S_{16}=\frac{16}{2}(18+78)=768). In word problems, treat rows as terms.
पहला पद (3) और बारहवाँ पद (47) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(3+47)=300)। \(a_n\) से पहले और अंतिम पद निकालें। / The first term is (3) and the twelfth term is (47), so (S_{12}=\frac{12}{2}(3+47)=300). Use \(a_n\) to find the first and last terms.
छठे से दसवें पदों का योग \(S_{10}-S_5=185\) है। बीच के पदों के योग के लिए आंशिक योग घटाएँ। / The sum of the (6)th to (10)th terms is \(S_{10}-S_5=185\). Subtract partial sums for the sum of middle terms.
चौदहवाँ पद (-5) है, इसलिए (S_{14}=\frac{14}{2}(60-5)=385)। घटती श्रेणी में अंतिम पद ऋणात्मक भी हो सकता है। / The fourteenth term is (-5), so (S_{14}=\frac{14}{2}(60-5)=385). In a decreasing progression, the last term may become negative.
(S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611)। जब अंतिम पद दिया हो तो (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) तेज रहता है। / (S_{13}=\frac{13}{2}(11+83)=611). When the last term is given, (S_n=\frac{n}{2}(a+l)) is faster.
यहाँ (a=-5), (d=4), (n=15) है, इसलिए \(S_{15}=345\)। ऋणात्मक प्रथम पद में चिन्ह की गलती न करें। / Here (a=-5), (d=4), and (n=15), so \(S_{15}=345\). Do not make a sign error with a negative first term.
सूत्र (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]) से \(S_{20}=1390\) मिलता है। ((n-1)d) की गणना ध्यान से करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]), we get \(S_{20}=1390\). Calculate ((n-1)d) carefully.
अठारहवाँ पद (92) है, इसलिए (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891)। अंतिम पद सही निकालना मुख्य चरण है। / The eighteenth term is (92), so (S_{18}=\frac{18}{2}(7+92)=891). Finding the last term correctly is the key step.
बारहवाँ पद (98) है, इसलिए (S_{12}=\frac{12}{2}(10+98)=648)। योग में पहले और अंतिम पद का औसत उपयोगी है। / The twelfth term is (98), so (S_{12}=\frac{12}{2}(10+98)=648). The average of the first and last terms is useful in sums.
\(\frac{35\times36}{2}=630\), इसलिए योग (630) है। (n(n+1)) को (2) से भाग दें। / \(\frac{35\times36}{2}=630\), so the sum is (630). Divide (n(n+1)) by (2).
