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सही कर्ण (\sqrt{\(\sqrt{18}\)2+12}=\sqrt{19}) होगा। वर्गमूल सर्पिल में हर चरण में संख्या (1) बढ़ती है। / The correct hypotenuse is (\sqrt{\(\sqrt{18}\)2+12}=\sqrt{19}). In a square root spiral, the number increases by (1) at each step.
एक विद्यार्थी ने वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{7}\) तक रचना कर ली है और कहता है कि \(\sqrt{8}\) नहीं बनाया जा सकता क्योंकि 8 पूर्ण वर्ग नहीं है। उसकी त्रुटि सुधारने के लिए अगला सही कदम क्या है?
A. \(\sqrt{7}\) के अंतिम बिंदु पर 1 इकाई का लम्ब खींचकर उसके नए सिरे को प्रारम्भिक बिंदु से मिलाएँ/Draw a perpendicular of length 1 at the endpoint of \(\sqrt{7}\), and join its new endpoint to the initial point
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{7}\) के सिरे पर 1 इकाई का लम्ब बनाने पर नया कर्ण \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\) होता है। 8 का पूर्ण वर्ग न होना बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: हर नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) देता है। / In a square root spiral, a unit perpendicular at the endpoint of \(\sqrt{7}\) gives a new hypotenuse of \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\). A number need not be a perfect square. Exam tip: each new hypotenuse represents \(\sqrt{n+1}\).
A. गलत; नए कर्ण क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि दर्शाते हैं/Incorrect; the new hypotenuses represent \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on.
Explanation
Simple Explanation
कथन गलत है। हर नए समकोण त्रिभुज में एक भुजा 1 जोड़ने पर कर्ण \(\sqrt{n}\) मिलता है; जैसे \(\sqrt{2}\) के बाद \(\sqrt{3}\)। अतः केवल पूर्ण वर्ग नहीं दिखते। परीक्षा में कर्णों का क्रम याद रखें। / The statement is incorrect. Adding a perpendicular side of length 1 gives successive hypotenuses \(\sqrt{n}\); for example, \(\sqrt{3}\) follows \(\sqrt{2}\). Thus, non-perfect-square roots also occur. Exam tip: track the radicand step by step.
नया कर्ण \(\sqrt{323+1}=\sqrt{324}\) होगा और \(\sqrt{324}=18\) है। पूर्ण वर्ग मिलने पर सटीक पूर्ण संख्या लिखें। / The new hypotenuse is \(\sqrt{323+1}=\sqrt{324}\), and \(\sqrt{324}=18\). When a perfect square appears, write the exact whole number.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{35}\) से पहले \(\sqrt{34}\) होगा। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous hypotenuse is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{35}\), it is \(\sqrt{34}\).
\(6^2=36\) और \(7^2=49\) हैं। चूँकि \(36<45<49\), इसलिए \(6<\sqrt{45}<7\)। अतः वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{45}\) की लंबाई संख्या रेखा पर \(6\) और \(7\) के बीच होगी। \(5\) और \(6\) के बीच होने के लिए संख्या का वर्ग \(25\) और \(36\) के बीच होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल जानने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / \(6^2=36\) and \(7^2=49\). Since \(36<45<49\), we get \(6<\sqrt{45}<7\). Therefore, the length \(\sqrt{45}\) in the square root spiral lies between \(6\) and \(7\) on the number line. It cannot lie between \(5\) and \(6\), because numbers in that interval have squares between \(25\) and \(36\). Exam tip: compare the radicand with the nearest perfect squares to locate a square root.
एक विद्यार्थी वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{13}\) बनाने के लिए \(\sqrt{12}\) वाले बिंदु पर 1 इकाई का लंब खींचता है और उसके सिरे को मूल बिंदु से मिलाता है। उसका तर्क सही है क्योंकि नए कर्ण का वर्ग क्या होगा?
पिछला कर्ण \(\sqrt{12}\) और नया लंब 1 इकाई है। पाइथागोरस के अनुसार नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{12})^2+1^2=12+1=13\) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{13}\) है। परीक्षा में वर्गों का योग लें, लंबाइयों का नहीं। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{12}\) and the new perpendicular side is 1 unit. By Pythagoras, its square is \((\sqrt{12})^2+1^2=12+1=13\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{13}\). Exam tip: add squares of perpendicular sides.
A. हर नए चरण में 1 इकाई की भुजा को पिछले कर्ण पर लंबवत जोड़ा जाता है/At every new step, a side of length 1 unit is added perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
हर चरण में पिछले कर्ण पर 1 इकाई की लंबवत भुजा जोड़ने से समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस से नया कर्ण² = पिछला कर्ण² + 1 होता है, इसलिए क्रमशः \(\sqrt{2},\sqrt{3}\) आदि मिलते हैं। परीक्षा में “लंबवत” शब्द पहचानें। / A 1-unit side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse, forming a right triangle. By Pythagoras, new hypotenuse² = previous hypotenuse² + 1, giving \(\sqrt{2},\sqrt{3}\), etc. Exam tip: look for “perpendicular,” not parallel.
B. \(\sqrt{72}\) \(8\) और \(9\) के बीच है और \(\sqrt{81}=9\) है/\(\sqrt{72}\) lies between \(8\) and \(9\), and \(\sqrt{81}=9\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(8^2=64<72<81=9^2\), इसलिए \(\sqrt{72}\) का मान \(8\) और \(9\) के बीच है। साथ ही, \(81=9^2\), अतः \(\sqrt{81}=9\) एक पूर्ण संख्या है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प D गलत है, क्योंकि \(\sqrt{81}\) अपरिमेय नहीं है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके आसपास की पूर्ण संख्याओं के वर्गों की तुलना करें। / Since \(8^2=64<72<81=9^2\), \(\sqrt{72}\) lies between \(8\) and \(9\). Also, \(81=9^2\), so \(\sqrt{81}=9\), which is a whole number. Therefore, option B is correct. Option D is incorrect because \(\sqrt{81}\) is not irrational. Exam tip: To locate a square root, compare the number with the squares of nearby whole numbers.
\(\sqrt{119}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{120}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या हमेशा (1) कम होती है। / \(\sqrt{120}\) is formed from \(\sqrt{119}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse number is always (1) less.
क्योंकि \(10^2=100\) और \(11^2=121\) हैं तथा \(100<120<121\), इसलिए \(10<\sqrt{120}<11\)। अतः \(\sqrt{120}\) संख्या रेखा पर 10 और 11 के बीच होगा। 9 और 10 के बीच होने के लिए संख्या का वर्ग 81 और 100 के बीच होना चाहिए। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अंतराल ज्ञात करने के लिए उसके निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(10^2=100\) and \(11^2=121\), and \(100<120<121\), we get \(10<\sqrt{120}<11\). Therefore, \(\sqrt{120}\) lies between 10 and 11 on the number line. For it to lie between 9 and 10, its radicand would need to be between 81 and 100. Exam tip: compare the number with the nearest perfect squares to locate a square root.
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(4^2\) जुड़ जाएगा/Because \(4^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़ता है। (4) इकाई लेने पर (16) जुड़ता है और क्रम बदल जाता है। / In the usual spiral \(1^2\) is added every time. Taking (4) units adds (16), so the sequence changes.
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के अगले समकोण त्रिभुज में पिछला कर्ण \(\sqrt{14}\) एक भुजा होता है और दूसरी लंबवत भुजा 1 होती है। पाइथागोरस प्रमेय से नए कर्ण का वर्ग \((\sqrt{14})^2+1^2=14+1=15\) होता है, इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{15}\) है। \(\sqrt{14}+1\) को \(\sqrt{15}\) नहीं माना जा सकता। परीक्षा टिप: सर्पिल के हर नए चरण में पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जोड़ें। / In the next right triangle of the square root spiral, the previous hypotenuse \(\sqrt{14}\) becomes one side and the new perpendicular side has length 1. By Pythagoras’ theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{14})^2+1^2=14+1=15\), so the new hypotenuse is \(\sqrt{15}\). Note that \(\sqrt{14}+1\) is not equal to \(\sqrt{15}\). Exam tip: at each new step, add \(1^2\) to the square of the previous hypotenuse.
क्योंकि \(11^2=121\) और \(12^2=144\) हैं तथा \(121<130<144\) है। इसलिए \(11<\sqrt{130}<12\), अतः वर्गमूल सर्पिल में इसकी स्थिति 11 और 12 के बीच होगी। विकल्प A गलत है क्योंकि \(130\), \(11^2\) से बड़ा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का स्थान ज्ञात करने के लिए उसके आसपास के पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(11^2=121\) and \(12^2=144\), and \(121<130<144\), we get \(11<\sqrt{130}<12\). Hence, on the square root spiral, its number-line position is between 11 and 12. Option A is incorrect because \(130\) is greater than \(11^2\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares.
वर्गमूल सर्पिल में हर चरण पर पिछली कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई का लंब बनाया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय से नई कर्ण का वर्ग पिछले कर्ण के वर्ग में 1 जुड़ने से मिलता है; इसलिए क्रमशः √2, √3, √4 आदि बनते हैं। परीक्षा टिप: स्थिर भुजा हमेशा 1 इकाई पहचानें। / At every step, a perpendicular of length 1 unit is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse. By Pythagoras, the square of the new hypotenuse is the previous square plus 1, producing √2, √3, √4, and so on. Exam tip: identify the fixed 1-unit side first.
नया कर्ण \(\sqrt{49}\) होगा और \(\sqrt{49}=7\) है। पूर्ण वर्ग दिखे तो सटीक मान लिखें। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{49}\), and \(\sqrt{49}=7\). If a perfect square appears, write its exact value.
A. दोनों \(5\) और \(6\) के बीच हैं/Both are between \(5\) and \(6\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(5^2=25\) और \(6^2=36\) हैं, इसलिए \(25<26<36\) तथा \(25<27<36\)। अतः \(5<\sqrt{26}<6\) और \(5<\sqrt{27}<6\) हैं। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(\sqrt{27}\) भी \(6\) से छोटा है। परीक्षा टिप: किसी वर्गमूल का अनुमान लगाने के लिए संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्गों की तुलना करें। / Since \(5^2=25\) and \(6^2=36\), we have \(25<26<36\) and \(25<27<36\). Hence, \(5<\sqrt{26}<6\) and \(5<\sqrt{27}<6\). Option B is incorrect because \(\sqrt{27}\) is also less than \(6\). Exam tip: To locate a square root, compare the number with the nearest perfect squares on either side.
A. \(\sqrt{144}\), ठीक (12) पर/\(\sqrt{144}\), exactly at (12)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \(\sqrt{144}\) है और \(\sqrt{144}=12\) होता है। यह अंतराल में नहीं, ठीक (12) पर है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{144}\), and \(\sqrt{144}=12\). It is not in an interval, but exactly at (12).
A. कंपास, कर्ण लंबाई को संख्या रेखा पर स्थानांतरित करने के लिए/Compass, to transfer hypotenuse length to the number line
Explanation
Simple Explanation
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप खींचा जाता है। यह ज्यामितीय स्थानांतरण का सही तरीका है। / A compass is used to take the hypotenuse length and draw an arc on the number line. This is the correct geometric transfer method.
B. अपरिमेय संख्या और (7) तथा (8) के बीच/Irrational number and between (7) and (8)
Explanation
Simple Explanation
(55) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(7^2<55<8^2\) है। इसलिए \(\sqrt{55}\) अपरिमेय है और (7) तथा (8) के बीच है। / (55) is not a perfect square and \(7^2<55<8^2\). Therefore \(\sqrt{55}\) is irrational and lies between (7) and (8).
B. \(\sqrt{1}\rightarrow\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण क्रम से बनते हैं। सामान्य निर्माण में \(\sqrt{3}\) चरण छोड़ा नहीं जाता। / In a square root spiral, hypotenuses are formed in order. In the usual construction, the \(\sqrt{3}\) step is not skipped.
\(\sqrt{9}=3\) है, इसलिए इसकी लंबाई परिमेय है। \(2,3\) और \(5\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं, अतः उनके वर्गमूल अपरिमेय होते हैं। परीक्षा टिप: पूर्ण वर्ग पहचानें। / Since \(\sqrt{9}=3\), this segment has a rational length. As 2, 3 and 5 are not perfect squares, their square roots are irrational. Exam tip: first check whether the radicand is a perfect square.
A. हर नए समकोण त्रिभुज की एक भुजा 1 इकाई होती है और दूसरी भुजा पिछले त्रिभुज का कर्ण होती है।/Each new right-angled triangle has one side of 1 unit and the other side as the hypotenuse of the previous triangle.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण
√n
को एक भुजा और 1 को दूसरी भुजा लेते हैं। पाइथागोरस से नया कर्ण √(n+1) मिलता है। इसलिए A सही है; सभी कर्ण समान नहीं होते। परीक्षा टिप: हर चरण में 1 जुड़ता है। / In a square root spiral, the previous hypotenuse √n and a unit side form the next right triangle. By Pythagoras, the new hypotenuse is √(n+1). Thus A is correct; the hypotenuses are not equal. Exam tip: add 1 at each step.
A. पिछले त्रिभुज का कर्ण नए त्रिभुज की एक भुजा बनता है
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछले त्रिभुज का कर्ण अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा लिया जाता है और दूसरी भुजा 1 इकाई होती है। इसलिए कर्णों की लंबाइयाँ क्रमशः \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\) आदि बनती हैं। परीक्षा में 1 इकाई वाली नई भुजा पहचानें। / In a square root spiral, the hypotenuse of one right triangle becomes a side of the next triangle, while the other new side is 1 unit. Thus the hypotenuses progress as \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\), and so on. Exam tip: identify the newly added 1-unit side.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{n}\) की लंबाई मूल बिंदु से उसकी दूरी होती है। \(36=6^2\), इसलिए \(\sqrt{36}=6\) पूर्णांक है। \(18,45,50\) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। परीक्षा में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें। / In a square root spiral, the distance of a point from the origin is \(\sqrt{n}\). Since \(36=6^2\), \(\sqrt{36}=6\) is an integer. The others are not perfect squares. Exam tip: check for a perfect square first.
\(\sqrt{59}\) पिछले कर्ण की लंबाई है और नई लंब (1) इकाई है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{60}\) होगा। / \(\sqrt{59}\) is the previous hypotenuse and the new perpendicular is (1) unit. Therefore the new hypotenuse is \(\sqrt{60}\).
वर्गमूल सर्पिल बनाते समय एक विद्यार्थी हर नया समकोण त्रिभुज बनाने के लिए पिछली कर्ण के साथ 1 इकाई की नई लम्ब भुजा जोड़ता है। इस विधि से अगले त्रिभुज की कर्ण के बारे में कौन-सा कथन सही है?
B. इसका वर्ग पिछली कर्ण के वर्ग से 1 अधिक होता है।
Explanation
Simple Explanation
नई कर्ण के लिए पाइथागोरस प्रमेय से \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\) मिलता है। इसलिए उसका वर्ग 1 बढ़ता है और क्रमशः \(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4\) मिलते हैं। परीक्षा में कर्ण नहीं, पहले उसका वर्ग लिखें। / By Pythagoras’ theorem, \(h_{new}^2=h_{old}^2+1^2\). Thus, the square of the new hypotenuse increases by 1, giving \(\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4\) in order. Exam tip: write the squares first to avoid adding lengths directly.
A. पिछले कर्ण पर लंबवत 1 इकाई का रेखाखंड खींचा जाता है/A line segment of length 1 is drawn perpendicular to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछला कर्ण अगले समकोण त्रिभुज की एक भुजा बनता है और उस पर 1 इकाई का लंबवत रेखाखंड खींचा जाता है। इसलिए नया कर्ण क्रमशः अगले वर्गमूल को दर्शाता है। परीक्षा टिप: लंबवत चिह्न देखकर समकोण पहचानें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse becomes one leg of the next right triangle, and a unit segment is drawn perpendicular to it. Hence the new hypotenuse represents the next square root. Exam tip: look for the perpendicular unit side.
B. (\(\sqrt{3}\)2+12=4) इसलिए कर्ण \(\sqrt{4}\) है/(\(\sqrt{3}\)2+12=4), so the hypotenuse is \(\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पाइथागोरस प्रमेय से वर्गों का योग लिया जाता है। सीधे लंबाइयाँ जोड़ना गलत है। / In a square root spiral, the sum of squares is taken by Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
अगला कर्ण \(\sqrt{225}\) है और \(\sqrt{225}=15\) होता है। पूर्ण वर्ग पहचानना जरूरी है। / The next hypotenuse is \(\sqrt{225}\), and \(\sqrt{225}=15\). Recognizing perfect squares is important.
B. दोनों अपरिमेय संख्याएँ हैं/Both are irrational numbers
Explanation
Simple Explanation
\(2\) और \(8\), दोनों पूर्ण वर्ग नहीं हैं। किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्ण वर्ग हो। इसलिए \(\sqrt{2}\) तथा \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\), दोनों अपरिमेय हैं। विकल्प C में \(\sqrt{2}\) को पूर्ण संख्या कहा गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: पहले संख्या को पूर्ण वर्ग है या नहीं, यह जाँचें। / Neither \(2\) nor \(8\) is a perfect square. The square root of a positive integer is rational only when the integer is a perfect square. Hence \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) are both irrational. Option C is incorrect because \(\sqrt{2}\) is not a whole number. Exam tip: First check whether the number under the square root is a perfect square.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, यदि पिछले कर्ण का वर्ग \(n\) है और दूसरी भुजा 1 है, तो नए कर्ण का वर्ग \(n+1\) होगा। इसलिए वह \(\sqrt{n+1}\) दर्शाता है। थेल्स का प्रमेय यहाँ लागू नहीं होता। परीक्षा में समकोण और 1 इकाई भुजा पहचानें। / By Pythagoras' theorem, if the square of the previous hypotenuse is \(n\) and the new perpendicular side is 1, the new hypotenuse has square \(n+1\). Hence it represents \(\sqrt{n+1}\). Thales' theorem is not used here. Exam tip: identify the right angle first.
वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{5}\) प्राप्त करने के लिए पिछले कर्ण \(\sqrt{4}\) को एक इकाई भुजा के साथ समकोण पर लिया जाता है। पाइथागोरस प्रमेय से कर्ण का वर्ग \((\sqrt{4})^2+1^2=4+1=5\) होगा, इसलिए कर्ण \(\sqrt{5}\) है। विकल्प A में कर्ण \(\sqrt{3+4}=\sqrt{7}\) बनेगा, \(\sqrt{5}\) नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक नए चरण में पिछले वर्गमूल और \(1\) को लम्बवत भुजाएँ मानें। / To obtain \(\sqrt{5}\) in a square root spiral, the previous hypotenuse \(\sqrt{4}\) is taken perpendicular to a unit side. By the Pythagorean theorem, the square of the new hypotenuse is \((\sqrt{4})^2+1^2=4+1=5\), so the hypotenuse is \(\sqrt{5}\). In option A, the hypotenuse would be \(\sqrt{3+4}=\sqrt{7}\), not \(\sqrt{5}\). Exam tip: At each new step, use the previous square root and \(1\) as perpendicular sides.
एक विद्यार्थी वर्गमूल सर्पिल में
displaystyle \(\sqrt{7}\) के बाद अगला त्रिभुज बनाते समय दूसरी लम्बवत भुजा को \(\sqrt{7}\) इकाई लेता है। उसकी गलती सुधारने वाला सही कथन कौन-सा है?
A. दूसरी लम्बवत भुजा 1 इकाई होनी चाहिए।/The other perpendicular side should be 1 unit.
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में पिछली कर्ण \(\sqrt{7}\) एक भुजा रहती है और दूसरी भुजा हमेशा 1 इकाई ली जाती है। इसलिए नई कर्ण \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\) होगी। \(\sqrt{7}\) दूसरी भुजा लेने पर कर्ण \(\sqrt{14}\) बन जाएगी। परीक्षा में हर नए त्रिभुज में 1 इकाई वाली भुजा जाँचें। / In a square root spiral, the previous hypotenuse \(\sqrt{7}\) is retained as one leg and the other leg is always 1 unit. Hence the new hypotenuse is \(\sqrt{7+1}=\sqrt{8}\). Taking \(\sqrt{7}\) as the other leg gives \(\sqrt{14}\), not \(\sqrt{8}\). Exam tip: always check the unit leg.
अगला कर्ण \(\sqrt{64}\) होगा और \(\sqrt{64}=8\) है। पूर्ण वर्ग पर सटीक पूर्ण संख्या मिलती है। / The next hypotenuse will be \(\sqrt{64}\), and \(\sqrt{64}=8\). At a perfect square, an exact whole number is obtained.
वर्गमूल सर्पिल में प्रत्येक नया त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है, इसलिए 1 इकाई की नई भुजा पिछले कर्ण पर लंब खींची जाती है। यदि पुराना कर्ण \(\sqrt n\) हो, तो नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। परीक्षा में ‘लंब’ दिखे तो \(90^\circ\) पहचानें। / Each new triangle in a square root spiral is right-angled, so the new 1-unit side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse. If the old hypotenuse is \(\sqrt n\), the new one becomes \(\sqrt{n+1}\). Exam tip: perpendicular always means \(90^\circ\).
A. इनसे (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) लागू होता है/They allow (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) to apply
Explanation
Simple Explanation
(1) इकाई लंब और समकोण से पाइथागोरस प्रमेय सही लागू होता है। इसी से क्रमिक वर्गमूल बनते हैं। / The (1) unit perpendicular and right angle allow Pythagoras theorem to apply correctly. This forms successive square roots.
वर्गमूल सर्पिल में हर नया समकोण त्रिभुज 1 इकाई की भुजा जोड़ता है। पाइथागोरस से नई दूरी का वर्ग \((n-1)+1=n\) होता है, इसलिए दूरी \(\sqrt{n}\) है। परीक्षा में त्रिज्या को ही संख्या का मानक मानें, कोण को नहीं। / In a square root spiral, each new right triangle adds a side of length 1. By Pythagoras, the new squared distance is \((n-1)+1=n\), so the radius is \(\sqrt{n}\). Exam tip: identify numbers by their distance from the origin, not by the angle.
D. अगला कर्ण पिछले कर्ण में सीधे (1) जोड़कर निकालना/Finding the next hypotenuse by directly adding (1) to the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में सीधे जोड़ नहीं किया जाता। नया कर्ण समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है। / Direct addition is not used in a square root spiral. The new hypotenuse is obtained from a right triangle and Pythagoras theorem.
\(\sqrt{223}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{224}\) बनता है। अगले कर्ण में संख्या (1) बढ़ती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{223}\) forms \(\sqrt{224}\). The number increases by (1) in the next hypotenuse.
A. \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। मूल बिंदु से चाप खींचना सही तरीका है। / The hypotenuse length of the square root to be marked is taken in the compass. Drawing an arc from the origin is the correct way.
A. एक भुजा \(\sqrt{9}\), दूसरी भुजा \(1\), तथा कर्ण \(\sqrt{10}\)/One leg \(\sqrt{9}\), the other leg \(1\), and hypotenuse \(\sqrt{10}\)
Explanation
Simple Explanation
सर्पिल में नया कर्ण पिछले कर्ण और 1 इकाई की लम्ब भुजा से बनता है। \((\sqrt{9})^2+1^2=10\), इसलिए कर्ण \(\sqrt{10}\) होगा। \(\sqrt{10}\) से \(\sqrt{11}\) बनता है। टिप: नया कर्ण पहचानें। / In the spiral, each new hypotenuse is formed using the previous hypotenuse and a perpendicular unit side. \((\sqrt{9})^2+1^2=10\), so it is \(\sqrt{10}\). \(\sqrt{10}\) instead gives \(\sqrt{11}\). Tip: track the hypotenuse.
आरंभिक समकोण त्रिभुज की दोनों लम्बवत भुजाएँ 1 इकाई होती हैं। इसलिए कर्ण \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\) है। \(\sqrt{3}\) अगले त्रिभुज में मिलता है। परीक्षा टिप: सर्पिल का पहला कर्ण \(\sqrt{2}\) याद रखें। / The first right triangle has two perpendicular sides of 1 unit each. Hence its hypotenuse is \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\). \(\sqrt{3}\) occurs in the next triangle. Exam tip: remember that the spiral begins with \(\sqrt{2}\).
A. \(\sqrt{24}\) \(4\) और \(5\) के बीच है और \(\sqrt{25}=5\) है/\(\sqrt{24}\) is between \(4\) and \(5\), and \(\sqrt{25}=5\)
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(4^2=16\), \(5^2=25\) और \(16<24<25\), इसलिए \(4<\sqrt{24}<5\)। वहीं \(25=5^2\) एक पूर्ण वर्ग है, अतः \(\sqrt{25}=5\) है। विकल्प B में \(\sqrt{24}\) को \(5\) बताया गया है, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी संख्या के दोनों ओर के निकटतम पूर्ण वर्ग देखकर उसके वर्गमूल का स्थान ज्ञात करें। / Since \(4^2=16\), \(5^2=25\), and \(16<24<25\), we get \(4<\sqrt{24}<5\). Also, \(25=5^2\) is a perfect square, so \(\sqrt{25}=5\). Option B is wrong because \(\sqrt{24}\) is not equal to \(5\). Exam tip: compare a number with nearby perfect squares to locate its square root.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(\sqrt{13}\) को वर्गमूल सर्पिल पर नहीं दिखाया जा सकता, क्योंकि 13 पूर्ण वर्ग नहीं है। उसके कथन को गलत सिद्ध करने के लिए कौन-सा निर्माण सही है?
A. \(\sqrt{12}\) और 1 लंबाई वाली परस्पर लम्ब भुजाओं से बने त्रिभुज का कर्ण/The hypotenuse of a triangle with perpendicular sides \(\sqrt{12}\) and 1
Explanation
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वर्गमूल सर्पिल में \(\sqrt{12}\) वाले बिंदु पर 1 इकाई की लम्ब खींचने से नया कर्ण \(\sqrt{(\sqrt{12})^2+1^2}=\sqrt{13}\) मिलता है। पूर्ण वर्ग होना जरूरी नहीं। परीक्षा में पायथागोरस प्रमेय लगाएँ। / In a square root spiral, drawing a perpendicular unit segment at \(\sqrt{12}\) gives \(\sqrt{(\sqrt{12})^2+1^2}=\sqrt{13}\). A number need not be a perfect square. In exams, apply Pythagoras’ theorem.
A. पिछले कर्ण के सिरे पर उसके लंबवत 1 इकाई की भुजा खींची जाती है/A unit-length side is drawn perpendicular to the previous hypotenuse at its endpoint
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हर नए त्रिभुज में पिछला कर्ण एक भुजा बनता है और उसके सिरे पर 1 इकाई की लंबवत भुजा ली जाती है। पाइथागोरस से नया कर्ण
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ასუხ്യം
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】【。】【”】【 / The previous hypotenuse becomes one leg, and a perpendicular unit leg is added at its endpoint. By Pythagoras, if its square is n, the new hypotenuse has square n+1. A parallel line will not form the required right triangle. Exam tip: remember “perpendicular + 1 unit.”
\((\sqrt{109})^2+1^2=110\) होता है। इसलिए पिछले कर्ण के रूप में \(\sqrt{109}\) सही है। / Since \((\sqrt{109})^2+1^2=110\). Therefore \(\sqrt{109}\) is the correct previous hypotenuse.
A. पिछले कर्ण के एक सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचा जाता है।
Explanation
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वर्गमूल सर्पिल में पिछले कर्ण के सिरे पर 1 इकाई का लंब खींचकर नया समकोण त्रिभुज बनता है। पाइथागोरस से नया कर्ण
\(\sqrt{n+1}\) होता है। समानांतर रेखा लंब कोण नहीं बनाती। परीक्षा टिप: हर नई बाहरी भुजा 1 इकाई होती है। / In a square root spiral, a 1-unit perpendicular is drawn at an endpoint of the previous hypotenuse to form the next right triangle. By Pythagoras, the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\). A parallel line would not create a right angle. Exam tip: each new outer leg is 1 unit.
A. \(\sqrt{2}\rightarrow\sqrt{3}\rightarrow\sqrt{4}\rightarrow\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण क्रमिक रूप से बनते हैं। सामान्य निर्माण में बीच के चरण छोड़े नहीं जाते। / In a square root spiral, hypotenuses are formed successively. In the usual construction, intermediate steps are not skipped.
A. यह समकोण त्रिभुजों की श्रृंखला है, जहाँ पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब अगला वर्गमूल बनाते हैं/It is a chain of right triangles where the previous hypotenuse and (1) unit perpendicular form the next square root
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित क्रमिक निर्माण है। हर नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है। / A square root spiral is a stepwise construction based on Pythagoras theorem. Each new hypotenuse gives the next square root.
