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पिछला कर्ण \(\sqrt{11}\) और नई लंब (1) इकाई होती है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{12}\) बनेगा। / The previous hypotenuse is \(\sqrt{11}\) and the new perpendicular is (1) unit. So the new hypotenuse will be \(\sqrt{12}\).
\(\sqrt{16}\) के साथ (1) इकाई लंब जोड़ने पर नया कर्ण \(\sqrt{17}\) बनता है। पिछले कर्ण की संख्या एक कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{16}\) forms the new hypotenuse \(\sqrt{17}\). The previous hypotenuse has one less number.
हर नए चरण में \(1^2\) जुड़ता है। इसलिए \(\sqrt{24}\) के बाद \(\sqrt{25}\) मिलता है। / At every new step \(1^2\) is added. Therefore \(\sqrt{25}\) comes after \(\sqrt{24}\).
A. \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\) मानना/Assuming \(\sqrt{3}+1=\sqrt{4}\)
Explanation
Simple Explanation
नया कर्ण सीधे जोड़ से नहीं बनता। पाइथागोरस में भुजाओं के वर्गों का योग लिया जाता है। / The new hypotenuse is not formed by direct addition. In Pythagoras theorem the squares of sides are added.
नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) हो तो पिछला कर्ण \(\sqrt{n}\) होता है। इसलिए \(\sqrt{31}\) से पहले \(\sqrt{30}\) था। / If the new hypotenuse is \(\sqrt{n+1}\), the previous one is \(\sqrt{n}\). Therefore before \(\sqrt{31}\), it was \(\sqrt{30}\).
B. \(\sqrt{49}\) पूर्ण संख्या और \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{49}\) is a whole number and \(\sqrt{50}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{49}=7\) है, लेकिन (50) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{50}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{49}=7\), but (50) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{50}\) is irrational.
A. ताकि समकोण त्रिभुज बने और पाइथागोरस प्रमेय लागू हो सके/So that a right triangle is formed and Pythagoras theorem can be applied
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज में लागू होता है। इसलिए \(90^\circ\) कोण जरूरी है। / Pythagoras theorem applies only to a right triangle. Therefore a \(90^\circ\) angle is necessary.
C. पिछले कर्ण के वर्ग में \(1^2\) जुड़ता है/\(1^2\) is added to the square of the previous hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
पाइथागोरस प्रमेय से (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1) होता है। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{n+1}\) बनता है। / By Pythagoras theorem (\(\sqrt{n}\)2+12=n+1). Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{n+1}\).
कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचते हैं। इससे संख्या रेखा पर सही स्थान मिलता है। / Taking the hypotenuse length in the compass, an arc is drawn from the origin. This gives the correct point on the number line.
B. \(\sqrt{36}\) पूर्ण संख्या है और \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{36}\) is a whole number and \(\sqrt{37}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{36}=6\) है, लेकिन (37) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{37}\) अपरिमेय है। / \(\sqrt{36}=6\), but (37) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{37}\) is irrational.
A. क्योंकि \(1^2\) की जगह \(2^2\) जुड़ जाएगा/Because \(2^2\) will be added instead of \(1^2\)
Explanation
Simple Explanation
सामान्य सर्पिल में हर बार \(1^2\) जुड़कर अगला वर्गमूल देता है। (2) इकाई लेने पर वृद्धि (4) की होगी। / In the usual spiral \(1^2\) is added each time to give the next square root. Taking (2) units will add (4).
हर चरण में संख्या (1) बढ़ती है। इसलिए \(\sqrt{99}\) के बाद \(\sqrt{100}\) आएगा। / The number increases by (1) at each step. Therefore \(\sqrt{100}\) comes after \(\sqrt{99}\).
A. हर नया त्रिभुज पिछले कर्ण और (1) इकाई लंब से बनता है/Each new triangle is made from the previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल समकोण त्रिभुजों की श्रृंखला है। पिछला कर्ण और (1) इकाई लंब नया त्रिभुज बनाते हैं। / A square root spiral is a chain of right triangles. The previous hypotenuse and a (1) unit perpendicular form the new triangle.
A. \(\sqrt{121}=11\) और \(\sqrt{122}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{121}=11\) and \(\sqrt{122}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
(121) पूर्ण वर्ग है, लेकिन (122) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{122}\) अपरिमेय है। / (121) is a perfect square, but (122) is not. Therefore \(\sqrt{122}\) is irrational.
पिछला कर्ण \(\sqrt{2}\) नई भुजा बनता है और (1) इकाई लंब जोड़ी जाती है। नया कर्ण \(\sqrt{3}\) होता है। / The previous hypotenuse \(\sqrt{2}\) becomes one side and a (1) unit perpendicular is added. The new hypotenuse is \(\sqrt{3}\).
\(\sqrt{47}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{48}\) बनता है। पिछले चरण में संख्या (1) कम होती है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{47}\) forms \(\sqrt{48}\). In the previous step the number is (1) less.
A. यह \(\sqrt{7}\) और (1) इकाई लंब से बनता है/It is formed from \(\sqrt{7}\) and a (1) unit perpendicular
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल के सामान्य क्रम में \(\sqrt{7}\) के बाद \(\sqrt{8}\) आता है। नई लंब हमेशा (1) इकाई होती है। / In the usual sequence of the square root spiral, \(\sqrt{8}\) comes after \(\sqrt{7}\). The new perpendicular is always (1) unit.
B. अपरिमेय संख्या, क्योंकि (20) पूर्ण वर्ग नहीं है/Irrational number because (20) is not a perfect square
Explanation
Simple Explanation
(20) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{20}\) अपरिमेय लंबाई देता है। / (20) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{20}\) gives an irrational length.
पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्ण संख्या होता है। जैसे \(\sqrt{25}=5\)। / The square root of a perfect square is a whole number. For example, \(\sqrt{25}=5\).
पाइथागोरस प्रमेय से भुजाओं के वर्ग जुड़ते हैं। इसलिए नया कर्ण \(\sqrt{3}\) बनता है। / By Pythagoras theorem, the squares of the sides are added. Therefore the new hypotenuse becomes \(\sqrt{3}\).
\(\sqrt{100}=10\) और अगला कर्ण \(\sqrt{101}\) होगा। क्रम में संख्या एक बढ़ती है। / \(\sqrt{100}=10\) and the next hypotenuse is \(\sqrt{101}\). The number increases by one in the sequence.
D. जब कर्ण \(\sqrt{38}\) हो/When the hypotenuse is \(\sqrt{38}\)
Explanation
Simple Explanation
(38) पूर्ण वर्ग नहीं है। इसलिए \(\sqrt{38}\) पूर्ण संख्या नहीं होगा। / The number (38) is not a perfect square. Therefore \(\sqrt{38}\) will not be a whole number.
नया कर्ण \(\sqrt{15}\) होगा। क्योंकि \(3^2<15<4^2\), यह (3) और (4) के बीच है। / The new hypotenuse will be \(\sqrt{15}\). Since \(3^2<15<4^2\), it lies between (3) and (4).
\(\sqrt{120}\) में (1) इकाई लंब जोड़ने पर \(\sqrt{121}\) बनता है। यह क्रमिक निर्माण का नियम है। / Adding a (1) unit perpendicular to \(\sqrt{120}\) forms \(\sqrt{121}\). This is the rule of stepwise construction.
A. क्योंकि \(1^2<2,3<2^2\)/Because \(1^2<2,3<2^2\)
Explanation
Simple Explanation
(2) और (3) दोनों (1) और (4) के बीच हैं। इसलिए उनके वर्गमूल (1) और (2) के बीच आते हैं। / Both (2) and (3) are between (1) and (4). Therefore their square roots lie between (1) and (2).
पहले चरण में (1) और (1) इकाई भुजाएँ होती हैं। कर्ण \(\sqrt{2}\) पाइथागोरस से मिलता है। / In the first step the sides are (1) and (1) units. The hypotenuse \(\sqrt{2}\) is obtained by Pythagoras theorem.
A. \(\sqrt{74}\) पर (1) इकाई लंब बनानी होगी/Draw a (1) unit perpendicular on \(\sqrt{74}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{74}\) और (1) इकाई लंब से \(\sqrt{75}\) बनता है। पिछला कर्ण हमेशा एक कम संख्या वाला होता है। / \(\sqrt{75}\) is formed from \(\sqrt{74}\) and a (1) unit perpendicular. The previous hypotenuse always has one less number.
A. \(\sqrt{64}=8\) और नया कर्ण \(\sqrt{65}\) है/\(\sqrt{64}=8\) and the new hypotenuse is \(\sqrt{65}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{64}=8\) पूर्ण संख्या है। (1) इकाई लंब जोड़ने पर अगला कर्ण \(\sqrt{65}\) बनता है। / \(\sqrt{64}=8\) is a whole number. Adding a (1) unit perpendicular forms the next hypotenuse \(\sqrt{65}\).
A. \(\sqrt{n}\) वाले कर्ण की लंबाई/The length of the hypotenuse \(\sqrt{n}\)
Explanation
Simple Explanation
जिस वर्गमूल को अंकित करना है, उसी कर्ण की लंबाई कंपास में ली जाती है। फिर मूल बिंदु से चाप खींचते हैं। / The hypotenuse length of the required square root is taken in the compass. Then an arc is drawn from the origin.
A. \(\sqrt{46}\), (6) और (7) के बीच/\(\sqrt{46}\), between (6) and (7)
Explanation
Simple Explanation
अगला कर्ण \(\sqrt{46}\) है। क्योंकि \(6^2<46<7^2\), यह (6) और (7) के बीच होगा। / The next hypotenuse is \(\sqrt{46}\). Since \(6^2<46<7^2\), it lies between (6) and (7).
A. कंपास, कर्ण की लंबाई संख्या रेखा पर स्थानांतरित करने के लिए/Compass, to transfer hypotenuse length to the number line
Explanation
Simple Explanation
कंपास से कर्ण की लंबाई लेकर संख्या रेखा पर चाप लगाया जाता है। यही लंबाई स्थानांतरित करने का सही तरीका है। / A compass is used to take the hypotenuse length and draw an arc on the number line. This is the correct way to transfer the length.
A. दोनों में समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग होता है/Both use a right triangle and Pythagoras theorem
Explanation
Simple Explanation
दोनों निर्माण समकोण त्रिभुज पर आधारित हैं। कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है। / Both constructions are based on right triangles. The hypotenuse is found by Pythagoras theorem.
\(\sqrt{15}\) के बाद \(\sqrt{16}\) बनता है और \(\sqrt{16}=4\) है। इसलिए अगला कर्ण पूर्ण संख्या (4) है। / After \(\sqrt{15}\), \(\sqrt{16}\) is formed and \(\sqrt{16}=4\). Therefore the next hypotenuse is the whole number (4).
A. \(\sqrt{6}\) के सिरे पर (1) इकाई लंब बनाकर नया कर्ण लेना/Draw a (1) unit perpendicular at the end of \(\sqrt{6}\) and take the new hypotenuse
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{6}\) और (1) इकाई लंब से नया कर्ण \(\sqrt{7}\) बनता है। यही क्रमिक नियम है। / From \(\sqrt{6}\) and a (1) unit perpendicular, the new hypotenuse \(\sqrt{7}\) is formed. This is the step rule.
A. सभी कर्ण पूर्ण संख्याएँ होते हैं, क्योंकि हर कर्ण वर्गमूल है/All hypotenuses are whole numbers because every hypotenuse is a square root
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) पूर्ण संख्याएँ नहीं हैं। इसलिए सभी कर्ण पूर्ण संख्याएँ नहीं हो सकते। / \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\) are not whole numbers. Therefore all hypotenuses cannot be whole numbers.
A. \(\sqrt{2}\) कर्ण की लंबाई कंपास में लेकर मूल बिंदु से चाप खींचना/Take the \(\sqrt{2}\) hypotenuse length in a compass and draw an arc from the origin
Explanation
Simple Explanation
कंपास में वही कर्ण लंबाई लेनी चाहिए जिसे अंकित करना है। मूल बिंदु से चाप खींचने पर सही बिंदु मिलता है। / The same hypotenuse length must be taken in the compass. Drawing an arc from the origin gives the correct point.
A. सही रूप (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1}) है/The correct form is (\sqrt{\(\sqrt{n}\)2+12}=\sqrt{n+1})
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल सर्पिल में कर्ण पाइथागोरस से बनता है। सीधे लंबाइयों को जोड़ना गलत है। / In a square root spiral, the hypotenuse is formed by Pythagoras theorem. Directly adding lengths is wrong.
A. समकोण त्रिभुजों से वर्गमूल लंबाई बनाकर उसे कंपास से संख्या रेखा पर स्थानांतरित करना/Construct the square root length using right triangles and transfer it to the number line with a compass
Explanation
Simple Explanation
पहले सटीक वर्गमूल लंबाई बनाई जाती है। फिर कंपास से उसी लंबाई को संख्या रेखा पर अंकित किया जाता है। / First the exact square root length is constructed. Then the same length is marked on the number line using a compass.
