Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. इन तीनों तत्वों के सभी क्रमित युग्मों की ओर/Toward all ordered pairs among these three elements
Step 1
Concept
तीनों जोड़ियां एक चक्र बनाती हैं। / The three pairs form a cycle.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण बार-बार लगाने से ((1,3),(2,1),(3,2)) और फिर ((1,1),(2,2),(3,3)) जैसी जोड़ियां भी आती हैं। / Repeated transitivity gives ((1,3),(2,1),(3,2)) and then self-pairs like ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण चक्र का संक्रमण आवरण अक्सर पूरे छोटे समुच्चय को जोड़ देता है। / The transitive closure of a full cycle often connects the whole small set.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)), तथा ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,1)) require ((1,1)), and ((3,1)) with ((1,3)) requires ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों मौजूद हैं; ((2,4)) से आगे कोई जुड़ी जोड़ी नहीं बनती। / Both are present; ((2,4)) does not form any further linked chain.
Step 3
Exam Tip
अलग पड़ी जोड़ी अपने-आप संक्रमण नहीं तोड़ती। / An isolated pair does not break transitivity by itself.
A. ((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) भी (R) में होंगे/((a,a)), ((b,b)), ((c,c)) will also be in (R)
Step 1
Concept
((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलेगा। / ((a,b)) and ((b,c)) imply ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((a,c)) और ((c,a)) से ((a,a)) मिलेगा; इसी तरह चक्र घुमाकर ((b,b)) और ((c,c)) भी मिलते हैं। / Then ((a,c)) and ((c,a)) imply ((a,a)); rotating the cycle gives ((b,b)) and ((c,c)) too.
Step 3
Exam Tip
चक्र वाले संबंधों में समान जोड़ियां अवश्य बनती हैं। / Cyclic relations force self-pairs under transitivity.
\(a\le 2b\) और \(b\le 2c\) से केवल \(a\le 4c\) मिलता है। / From \(a\le 2b\) and \(b\le 2c\), we only get \(a\le 4c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए \(a\le 2c\) चाहिए, जो जरूरी नहीं है। उदाहरण (a=4), (b=2), (c=1) लें; \(4\le4\), \(2\le2\), पर \(4\le2\) गलत है। / Transitivity requires \(a\le 2c\), which need not hold. Take (a=4), (b=2), (c=1); \(4\le4\), \(2\le2\), but \(4\le2\) is false.
Step 3
Exam Tip
गुणा वाले संबंधों में सीमा बदल सकती है। / In multiplier-based relations, the bound may change.
यदि (a=kb) और (b=kc), तो \(a=k^2c\) होगा। / If (a=kb) and (b=kc), then \(a=k^2c\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमण के लिए (a=kc) चाहिए, इसलिए सामान्यतः \(k^2=k\), धनात्मक (k) में यह (k=1) देता है। / Transitivity requires (a=kc), so generally \(k^2=k\); for positive (k), this gives (k=1).
Step 3
Exam Tip
स्थिर गुणक वाले संबंधों में गुणक को दो बार लगाकर देखें। / In fixed-multiplier relations, apply the multiplier twice.
