Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,3)) और ((3,5)) संबंध में हैं। / ((1,3)) and ((3,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची जोड़ियाँ पूरी होने पर भी लंबी श्रृंखला की कमी अलग से जाँचना जरूरी है। / Even if all reflexive pairs are present, missing chain pairs must be checked separately.
\(a\equiv b \pmod{6}\) का अर्थ है (a-b) संख्या (6) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{6}\) means (a-b) is divisible by (6).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (6) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (6) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (6), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के हर ऐसे संबंध में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता सिद्ध करें। / For congruence relations, prove transitivity by adding differences.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1<2) और (2-1) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है। / ((1,2)) is in the relation because (1<2) and (2-1) is odd. ((2,3)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, पर (3-1=2) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2) is even.
Step 3
Exam Tip
विषम अंतर की दो कड़ियाँ मिलकर सम अंतर दे सकती हैं। / Two odd-difference links can combine into an even difference.
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c)। / If (a<b) and (b<c), then (a<c).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों सम हैं, तो (c-a) भी सम होगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If (b-a) and (c-b) are both even, then (c-a) is also even. Hence ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
सम अंतर वाली बढ़ती श्रृंखला संक्रामक रहती है। / An increasing chain with even differences remains transitive.
((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है। ((1,4)) और ((4,2)) से ((1,2)) मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. ((1,4)) and ((4,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) और ((4,2)) से ((2,2)), तथा ((4,2)) और ((2,4)) से ((4,4)) मौजूद हैं। / ((2,4)) and ((4,2)) require ((2,2)), and ((4,2)) and ((2,4)) require ((4,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
दोतरफा जोड़ियाँ हों तो बनने वाली स्वयंजोड़ियाँ जरूर देखें। / When reverse links appear, check the self-pairs they force.
दिया गया नियम \(a\le b\) के समान है। / The given rule is the same as \(a\le b\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\), इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
शब्दों में दिए संबंध को पहले गणितीय रूप में बदलें। / First convert a word-based relation into mathematical form.
(5R(-4)) सत्य है क्योंकि (5+(-4)=1\ge 0)। ((-4)R5) भी सत्य है क्योंकि ((-4)+5=1\ge 0)। / ((-1)R2) is true because \(-1+2=1\ge 0\). Also (2R(-1)) is true because (2+(-1)=1\ge 0).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R5) तो सत्य है, इसलिए यह प्रतिवाद नहीं है; सही प्रतिवाद लें: ((-1)R2) और (2R(-1)) से ((-1)R(-1)) चाहिए, पर \(-2\ge 0\) असत्य है। / Transitivity would require ((-1)R(-1)), but (-1+(-1)=-2), which is not at least (0).
Step 3
Exam Tip
विकल्प देखते समय ऐसी श्रृंखला चुनें जहाँ तीसरी जोड़ी सच में असफल हो। / Choose a chain where the required third pair truly fails.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी (3) का गुणज है। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are multiples of (3). If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is also a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) और (c) दोनों (3) के गुणज होंगे, अतः ((a,c)) संबंध में होगा। / Hence (a) and (c) are both multiples of (3), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
समान गुण वाले समूह संबंधों में पहला और तीसरा तत्व जाँचें। / For shared-property group relations, check the first and third elements.
