Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद सुरक्षित रहता है, पर संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Intersection is safe, but union is not always transitive.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
(1+2=3) विषम है और (2+3=5) भी विषम है। / (1+2=3) is odd, and (2+3=5) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (1+3=4) सम है, इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / But (1+3=4) is even, so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में पहली दो जोड़ियाँ सच और तीसरी जरूरी जोड़ी असत्य होनी चाहिए। / In a counterexample, the first two pairs must be true and the required third pair must be false.
यह संबंध \(a^2=b^2\) के समान है। / This relation is equivalent to \(a^2=b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए (aRc)। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
बराबर या विपरीत चिन्ह वाले संबंध को वर्ग बराबरी से समझना आसान है। / A relation of equal or opposite sign is easier to understand through equality of squares.
सम संख्याओं के बीच सभी जोड़ियाँ संबंध में हैं और हर संख्या अपने आप से भी संबंध में है। / All pairs among even numbers are in the relation, and every number is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो कड़ियाँ सम समूह में हैं तो पहली और तीसरी भी सम होंगी; यदि बराबरी वाली कड़ी है तो वही जोड़ी बनी रहती है। / If both links are within the even group, the first and third are also even; if an equality link is involved, the required pair remains valid.
Step 3
Exam Tip
मिश्रित संबंध में दोनों प्रकार के मामलों को अलग-अलग सोचें। / In a mixed relation, think through both types of cases separately.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
\(R\cap S\) में वे जोड़ियाँ होंगी जहाँ (a<b) और दोनों संख्याएँ विषम हैं। / \(R\cap S\) contains pairs where (a<b) and both numbers are odd.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और यदि तीनों एक ही विषम समूह में हैं, तो ((a,c)) भी संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c); and if all three are in the odd group, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में दोनों शर्तों को साथ-साथ आगे बढ़ते देखें। / In an intersection, check that both conditions pass forward together.
