Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (4) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता के प्रश्न में अंतरों का योग याद रखें। / In congruence questions, remember the sum of differences.
((2,5)) संबंध में है क्योंकि (2+5=7), और ((5,2)) भी संबंध में है क्योंकि (5+2=7)। / ((2,5)) is in the relation because (2+5=7), and ((5,2)) is also in the relation because (5+2=7).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, पर (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्थिर योग वाले संबंधों में उल्टी जोड़ियों से प्रतिवाद जल्दी मिलता है। / In constant-sum relations, reverse pairs often give a quick counterexample.
किसी समुच्चय पर संबंध (R) संक्रामक है। यदि \((x,y) \in R\), \((y,z) \in R\), \((z,u) \in R\), और \((u,v) \in R\), तो कौन-सी जोड़ी निश्चित रूप से (R) में होगी?
((x,y)) और ((y,z)) से ((x,z)) मिलेगा। / From ((x,y)) and ((y,z)), we get ((x,z)).
Step 2
Why this answer is correct
फिर ((x,z)) और ((z,u)) से ((x,u)), तथा ((x,u)) और ((u,v)) से ((x,v)) मिलेगा। / Then ((x,z)) and ((z,u)) give ((x,u)), and ((x,u)) with ((u,v)) gives ((x,v)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को क्रम से लगाएँ। / In a long chain, apply transitivity step by step.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में है। (|3-5|=2), इसलिए ((3,5)) भी संबंध में है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is in the relation. Also (|3-5|=2), so ((3,5)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, पर (|1-5|=4)। / Transitivity requires ((1,5)), but (|1-5|=4).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाला संबंध जरूरी नहीं कि संक्रामक हो। / A fixed-distance relation need not be transitive.
A. (4R3) और (3R2) हैं पर (4R2) नहीं है/(4R3) and (3R2) hold but (4R2) does not
Step 1
Concept
\(|4|\le |3|+1\), इसलिए (4R3) सत्य है। \(|3|\le |2|+1\), इसलिए (3R2) सत्य है। / \(|4|\le |3|+1\), so (4R3) is true. Also \(|3|\le |2|+1\), so (3R2) is true.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(|4|\le |2|+1\) असत्य है, इसलिए (4R2) नहीं है। / But \(|4|\le |2|+1\) is false, so (4R2) does not hold.
Step 3
Exam Tip
ढील वाली परम मान असमानता में प्रतिवाद से जाँच करना सही रहता है। / For relaxed absolute value inequalities, a counterexample is a good test.
समान शेष का अर्थ है कि संख्याएँ एक ही शेष वर्ग में हैं। / Same remainder means the numbers lie in the same remainder class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचना सरल रहता है। / For remainder relations, thinking in classes is simple.
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,5)) चाहिए, लेकिन यह अनुपस्थित है। ((2,4)) और ((4,5)) से ((2,5)) भी आगे जाँचना पड़ेगा, पर दिए विकल्पों में मुख्य जरूरी जोड़ी ((1,5)) है। / Transitivity requires ((1,5)), but it is missing. ((2,4)) and ((4,5)) also suggest checking ((2,5)), but among the options the key required pair is ((1,5)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में अंतिम कड़ी जोड़ते ही नई सीधी जोड़ियाँ बनती हैं। / When a last link is added to a chain, new direct pairs are formed.
((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\ne 3\) और (1+3) सम है। ((3,1)) भी संबंध में है। / ((1,3)) is in the relation because \(1\ne 3\) and (1+3) is even. ((3,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। / Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग की शर्त में असमानता जोड़ने से संक्रामकता टूट सकती है। / Adding an inequality condition to a same-class relation can break transitivity.
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\) होगा। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\).
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही \(a\ne b\) और \(b\ne c\) के साथ धनात्मक विभाज्यता की इस आगे बढ़ती श्रृंखला में \(a\ne c\) भी रहेगा। इसलिए ((a,c)) संबंध में होगा। / Also, in this forward chain of positive divisibility with \(a\ne b\) and \(b\ne c\), we still have \(a\ne c\). Hence ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में दिशा और बराबरी की शर्त दोनों देखें। / In divisibility, check both direction and the inequality condition.
