Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a^2\le b^2\) और \(b^2\le c^2\), तो सामान्य क्रम से \(a^2\le c^2\)। / If \(a^2\le b^2\) and \(b^2\le c^2\), then by the usual order \(a^2\le c^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
जब संबंध किसी मान की तुलना से बना हो, तो उसी मान पर क्रम लगाएँ। / When a relation compares a derived value, apply order to that value.
A. ((2,4)) और ((4,2)) हैं पर ((2,2)) नहीं है/((2,4)) and ((4,2)) are present but ((2,2)) is absent
Step 1
Concept
(2+4=6), इसलिए ((2,4)) संबंध में है और (4+2=6), इसलिए ((4,2)) भी संबंध में है। / (2+4=6), so ((2,4)) is in the relation, and (4+2=6), so ((4,2)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((2,2)) चाहिए, लेकिन (2+2=4), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((2,2)), but (2+2=4), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद में बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। / In a counterexample, the middle element must match.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में हर शर्त अलग से आगे बढ़नी चाहिए। / In combined conditions, each condition must pass forward separately.
A. ((3,1)) और ((1,2)) हैं पर ((3,2)) नहीं है/((3,1)) and ((1,2)) are present but ((3,2)) is absent
Step 1
Concept
((3,1)) और ((1,2)) दोनों संबंध में हैं। / Both ((3,1)) and ((1,2)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((3,2)) चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((3,2)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में वही कमी चुनें जहाँ पहली दोनों जोड़ियाँ सच हों और तीसरी गायब हो। / Choose the failure where the first two pairs are true and the required third pair is absent.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों (5) से छोटे हैं। यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (b) और (c) दोनों (5) से छोटे हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are less than (5). If ((b,c)) is also in the relation, then both (b) and (c) are less than (5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (a) और (c) दोनों (5) से छोटे होंगे, इसलिए ((a,c)) संबंध में है। / Hence (a) and (c) are both less than (5), so ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
गुण पर बने संबंध में पहला और तीसरा तत्व उस गुण को रखते हैं या नहीं, यह देखें। / For property-based relations, check whether the first and third elements keep the property.
वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / For real numbers, \(a^2+b^2=0\) occurs only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
संबंध में केवल ((0,0)) जैसी जोड़ी आती है, और उससे संक्रामकता नहीं टूटती। / The relation contains only a pair like ((0,0)), which does not break transitivity.
Step 3
Exam Tip
बहुत छोटी संबंध-सूची होने पर संभावित जोड़ियाँ सीधे लिख लें। / When the relation list is very small, write possible pairs directly.
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,1)) are present but ((1,1)) is not
Step 1
Concept
\(1\ne 2\), इसलिए ((1,2)) संबंध में है और \(2\ne 1\), इसलिए ((2,1)) भी संबंध में है। / Since \(1\ne 2\), ((1,2)) is in the relation, and since \(2\ne 1\), ((2,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, पर \(1\ne 1\) असत्य है। / Transitivity requires ((1,1)), but \(1\ne 1\) is false.
Step 3
Exam Tip
बराबर न होना संबंध संक्रामक नहीं होता, इसे प्रतिवाद से याद रखें। / The not-equal relation is not transitive; remember it through a counterexample.
A. \(R\cap S\) संक्रामक है/\(R\cap S\) is transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) में भी हैं और (S) में भी हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों संक्रामक हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both (R) and (S) are transitive, ((a,c)) belongs to both, hence to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो संक्रामक संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामक रहता है, लेकिन संघ हमेशा नहीं। / The intersection of two transitive relations is transitive, but the union is not always transitive.
