Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. नहीं, क्योंकि ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/No, because ((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is not
Step 1
Concept
(|1-2|=1), इसलिए ((1,2)) संबंध में है। (|2-3|=1), इसलिए ((2,3)) भी संबंध में है। / (|1-2|=1), so ((1,2)) is in the relation. Also (|2-3|=1), so ((2,3)) is in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(|1-3|=2), इसलिए ((1,3)) संबंध में नहीं है। / (|1-3|=2), so ((1,3)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दूरी की सीमा वाली शर्तें अक्सर संक्रामकता तोड़ती हैं। / Bounded distance conditions often break transitivity.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के (4) से विभाज्य होने पर (a-c) भी (4) से विभाज्य होगा/Because if (a-b) and (b-c) are divisible by (4), then (a-c) is also divisible by (4)
Step 1
Concept
\(a\equiv b \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (4) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{4}\) means (a-b) is divisible by (4).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह (b-c) भी (4) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (4) से विभाज्य होगा। / Similarly, if (b-c) is divisible by (4), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is also divisible by (4).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता में अंतर जोड़ना मुख्य विचार है। / Adding differences is the key idea in congruence.
((1,3)) और ((3,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,1)) और ((1,3)) से ((3,3)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / From ((1,3)) and ((3,1)), ((1,1)) is required, and it is present. From ((3,1)) and ((1,3)), ((3,3)) is required, and it is also present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,4)) के बाद (4) से शुरू होने वाली कोई जोड़ी नहीं है, इसलिए नई जरूरत नहीं बनती। / After ((2,4)), there is no pair starting with (4), so no new requirement arises.
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी संक्रामकता की कमी नहीं होती। / Every missing self-pair is not a transitivity failure.
A. नहीं, क्योंकि ((1,3)) और ((3,5)) हैं पर ((1,5)) नहीं है/No, because ((1,3)) and ((3,5)) are present but ((1,5)) is not
Step 1
Concept
((1,3)) संबंध में है क्योंकि \(1\le 3\) और (3-1=2)। ((3,5)) भी संबंध में है। / ((1,3)) is in the relation because \(1\le 3\) and (3-1=2). ((3,5)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,5)) के लिए (5-1=4), जो सीमा से बाहर है, इसलिए यह संबंध में नहीं है। / For ((1,5)), (5-1=4), which exceeds the limit, so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
दो छोटी छलाँगें मिलकर बड़ी छलाँग बना सकती हैं, इसलिए सीमा वाली शर्त जाँचें। / Two small jumps can form a larger jump, so check bounded conditions carefully.
समान शेष का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम वर्ग में हैं। / Same remainder means both numbers lie in the same parity class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) का शेष समान है तथा (b) और (c) का शेष समान है, तो (a) और (c) का शेष भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then (a) and (c) also have the same remainder.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में वर्ग बनाकर सोचें। / For remainder relations, think in classes.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) ही चाहिए, जो मौजूद है; ((3,3)) से भी कोई कमी नहीं बनती। / From ((2,2)) and ((2,3)), ((2,3)) itself is required and present; ((3,3)) creates no missing pair.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों के साथ बनने वाली श्रृंखलाएँ भी ध्यान से देखें। / Also check chains involving self-pairs carefully.
