Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि समान सम-विषम प्रकृति आगे भी समान रहती है/Because same parity remains same through the chain
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम हो तो (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, इसलिए (a) और (c) की प्रकृति समान होगी। अतः (a+c) सम होगा। / If (b+c) is even, then (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में संख्या की सम-विषम प्रकृति से सोचें। / For such questions, think using parity.
((1,2)) संबंध में है क्योंकि (1+2=3) विषम है। ((2,3)) भी संबंध में है क्योंकि (2+3=5) विषम है। / ((1,2)) is in the relation because (1+2=3) is odd. ((2,3)) is also in the relation because (2+3=5) is odd.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (1+3=4) सम है। / Transitivity requires ((1,3)), but (1+3=4) is even.
Step 3
Exam Tip
एक सही प्रतिवाद संक्रामकता को गलत सिद्ध कर देता है। / One valid counterexample disproves transitivity.
A. हाँ, क्योंकि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\) से \(|a|\ge |c|\) मिलता है/Yes, because \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\) imply \(|a|\ge |c|\)
Step 1
Concept
संबंध में संख्याओं के परम मानों की तुलना हो रही है। / The relation compares absolute values of numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a|\ge |b|\) और \(|b|\ge |c|\), तो सामान्य क्रम से \(|a|\ge |c|\), इसलिए (aRc)। / If \(|a|\ge |b|\) and \(|b|\ge |c|\), then by the usual order \(|a|\ge |c|\), so (aRc).
Step 3
Exam Tip
परम मान को अलग मात्रा मानकर क्रम नियम लगाएँ। / Treat absolute value as the compared quantity and apply the order rule.
यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो तीनों रेखाओं की दिशा समान होगी। / If \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then the lines have the same direction.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(l\parallel n\), अर्थात (lRn) सत्य है। / Hence \(l\parallel n\), so (lRn) holds.
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति संबंधों में चित्र बनाकर समान दिशा पहचानना आसान रहता है। / In geometry relations, drawing a figure helps identify the common direction.
यदि (a) और (b) की जन्मतिथि समान है, तथा (b) और (c) की जन्मतिथि समान है, तो (a) और (c) की जन्मतिथि भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same date of birth, and (b) and (c) have the same date of birth, then (a) and (c) also have the same date of birth.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सीधे सिद्ध होती है। / Relations based on equality are directly proved transitive.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है। इसे जोड़ने से यह कमी पूरी होगी, हालांकि दूसरी कमी भी जाँची जा सकती है। / They require ((1,3)), which is missing. Adding it fixes this one failure, though another failure may also need checking.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पूछा गया हो कि एक कमी कौन-सी है, तो केवल उसी श्रृंखला पर ध्यान दें। / When the question asks for one failure, focus on the given chain.
संबंध में केवल सम संख्याओं के बीच (<) का क्रम लिया गया है। / The relation uses the (<) order only among even numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<b) और (b<c), तो (a<c); और तीनों सम होने पर ((a,c)) भी संबंध में होगा। / If (a<b) and (b<c), then (a<c); if all are even, ((a,c)) also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त शर्त के साथ भी मूल क्रम नियम को अलग से जाँचें। / Even with an extra condition, check the basic order rule separately.
