Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required, and it is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद हैं। / From ((2,3)) and ((3,4)), ((2,4)) is present, and from ((1,3)) and ((3,4)), ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में हर दो लगातार जोड़ियों से बनने वाली सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In a long chain, check every direct pair formed by two consecutive pairs.
((1,4)) और ((4,3)) संबंध में हैं। / ((1,4)) and ((4,3)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, लेकिन यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
यदि एक छूटी हुई जोड़ी कई श्रृंखलाओं से बनती हो, तो उसे पहचानना बहुत उपयोगी होता है। / If one missing pair is forced by many chains, identifying it is very useful.
A. क्योंकि (a-b) और (b-c) के विभाज्य होने से (a-c) भी विभाज्य होता है/Because if (a-b) and (b-c) are divisible, then (a-c) is also divisible
Step 1
Concept
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (7) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (7) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (7), then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (7).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों का योग सबसे तेज जाँच देता है। / For divisibility relations, adding differences gives the fastest check.
A. (5R4) और (4R3) हैं पर (5R3) नहीं है/(5R4) and (4R3) hold but (5R3) does not
Step 1
Concept
(5<4+2), इसलिए (5R4) सत्य है और (4<3+2), इसलिए (4R3) सत्य है।
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (5R3) चाहिए, पर (5<3+2) असत्य है। / Transitivity would require (5R3), but (5<3+2) is false.
Step 3
Exam Tip
असमानता में जुड़ी नियत संख्या हो तो प्रतिवाद से जाँच करना सुरक्षित रहता है। / For inequalities with a fixed added number, a counterexample is a safe test.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं क्योंकि दोनों में अंतर (1) है। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation because each has difference (1).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, लेकिन (3-1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but (3-1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
पास वाली संख्या का संबंध सामान्यतः संक्रामक नहीं होता। / A next-number relation is generally not transitive.
\(a\equiv b \pmod{3}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (3) से विभाज्य है। / \(a\equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then (a-c) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता संबंध में संक्रामकता अंतरों के योग से सिद्ध होती है। / In congruence relations, transitivity follows from adding differences.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is absent.
Step 3
Exam Tip
सभी स्वयंजोड़ियाँ होने पर भी कोई जरूरी सीधी जोड़ी छूटे तो संबंध संक्रामक नहीं रहता। / Even if all self-pairs are present, a missing required direct pair makes the relation non-transitive.
