Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (a) और (b) की समान सम-विषम प्रकृति तथा (b) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति से (a) और (c) की समान सम-विषम प्रकृति मिलती है/Because same parity of (a,b) and same parity of (b,c) imply same parity of (a,c)
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों सम-विषम दृष्टि से समान हैं। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने पर (b) और (c) भी समान प्रकार के हैं, इसलिए (a) और (c) भी समान प्रकार के होंगे। तब (a+c) सम होगा। / (b+c) being even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity. Hence (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम संबंधों में समान प्रकृति को जोड़कर सोचें। / For parity relations, think in terms of same or different parity.
\(a \equiv b \pmod{5}\) का अर्थ है कि (a-b) संख्या (5) से विभाज्य है। / \(a \equiv b \pmod{5}\) means (a-b) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(b-c) भी (5) से विभाज्य हो, तो (a-c=(a-b)+(b-c)) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (b-c) is also divisible by (5), then (a-c=(a-b)+(b-c)) is divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध में अंतरों का योग याद रखें। / For congruence relations, remember the sum of differences.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) की प्रकृति (b) जैसी है और (b) की प्रकृति (c) जैसी है, तो (a) और (c) की प्रकृति भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषम वर्गों में सोचने से ऐसे प्रश्न तुरंत हल होते हैं। / Thinking in parity classes makes such questions quick.
A. ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) मौजूद है/From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is present
Step 1
Concept
संक्रामकता की सही जाँच में दोनों प्रारंभिक जोड़ियाँ संबंध में होनी चाहिए। / A correct transitivity check must start with two pairs that actually belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) मौजूद हैं और उनसे जरूरी ((1,4)) भी मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,4)) are present, and the required ((1,4)) is also present.
Step 3
Exam Tip
उन जोड़ियों से तर्क न बनाएँ जो संबंध में दी ही नहीं गई हैं। / Do not build an argument from pairs that are not given in the relation.
यदि (a) और (b) की आयु समान है तथा (b) और (c) की आयु समान है, तो (a) और (c) की आयु भी समान होगी। / If (a) and (b) have the same age, and (b) and (c) have the same age, then (a) and (c) also have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य है। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
समानता पर आधारित संबंधों में संक्रामकता सामान्यतः सीधी तरह सिद्ध होती है। / Relations based on equality are usually proved transitive directly.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) लगातार जोड़ियाँ हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) जरूरी है, जो संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), which is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियों की कमी हर बार संक्रामकता को नहीं तोड़ती, असली कमी आवश्यक सीधी जोड़ी की होती है। / Missing self-pairs do not always break transitivity; the key issue is the missing required direct pair.
A. क्योंकि यदि \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\), तो \(l\parallel n\)/Because if \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\), then \(l\parallel n\)
Step 1
Concept
एक ही तल में यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर हों, तो वे आपस में भी समांतर होती हैं। / In the same plane, if two distinct lines are parallel to the same line, they are parallel to each other.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(l\parallel m\) और \(m\parallel n\) से \(l\parallel n\) मिलता है। / Thus \(l\parallel m\) and \(m\parallel n\) imply \(l\parallel n\).
Step 3
Exam Tip
ज्यामिति वाले संबंधों में चित्र बनाकर दिशा की समानता समझना उपयोगी रहता है। / In geometry-based relations, drawing a figure helps you understand common direction.
