Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. नहीं, क्योंकि (1R2) और (2R4) हैं पर (1R4) नहीं है/No, because (1R2) and (2R4) hold but (1R4) does not
Step 1
Concept
\(2=2\cdot 1\), इसलिए (1R2)। \(4=2\cdot 2\), इसलिए (2R4)। / \(2=2\cdot 1\), so (1R2). Also \(4=2\cdot 2\), so (2R4).
Step 2
Why this answer is correct
यदि संबंध संक्रामक होता, तो (1R4) होना चाहिए था, पर \(4\ne 2\cdot 1\)। / If the relation were transitive, (1R4) would hold, but \(4\ne 2\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
गुणा आधारित संबंधों में दो कदम मिलाकर नियम बदल सकता है, इसलिए सीधी जोड़ी जरूर जाँचें। / In multiplication-based relations, two steps may change the rule, so check the direct pair.
संक्रामकता केवल उन स्थितियों पर जाँची जाती है जहाँ ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। अन्य कोई जरूरी लगातार जोड़ी नहीं बनती। / Here, ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. No other necessary chain appears.
Step 3
Exam Tip
संक्रामक संबंध के लिए सभी स्वयंजोड़ियाँ होना जरूरी नहीं है। / A transitive relation need not contain all self-pairs.
यदि (b), (a) का गुणज है, तो (b=ak)। यदि (c), (b) का गुणज है, तो (c=bl)। / If (b) is a multiple of (a), then (b=ak). If (c) is a multiple of (b), then (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=(ak)l=a(kl)), इसलिए (c), (a) का गुणज है। / Then (c=(ak)l=a(kl)), so (c) is a multiple of (a).
Step 3
Exam Tip
गुणज और विभाज्यता वाले संबंधों में गुणन का रूप लिखना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For multiple and divisibility relations, writing the multiplication form is safest.
A. क्योंकि ((1,1)) और ((2,2)) दोनों अनुपस्थित हैं/Because both ((1,1)) and ((2,2)) are absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,1)), transitivity requires ((1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
इसी तरह ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए। दोनों नहीं हैं, इसलिए संबंध संक्रामक नहीं है। / Similarly, ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)). Both are missing, so the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
उल्टी जोड़ियों से स्वयंजोड़ियों की जरूरत बनती है, इसे परीक्षा में न छोड़ें। / Reverse pairs can create the need for self-pairs, so do not ignore them.
A. ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है/((1,2)) and ((2,3)) are present but ((1,3)) is absent
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) एक वैध श्रृंखला बनाते हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) form a valid chain.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) होना चाहिए, पर वह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
मौजूद स्वयंजोड़ियाँ गलती नहीं हैं, असली गलती जरूरी सीधी जोड़ी का गायब होना है। / Existing self-pairs are not the problem; the real problem is the missing required direct pair.
संक्रामकता टूटने के लिए ((a,b)) और ((b,c)) जैसी दो जोड़ियाँ मौजूद होनी चाहिए और ((a,c)) न होना चाहिए। / To break transitivity, two pairs like ((a,b)) and ((b,c)) must exist while ((a,c)) is absent.
Step 2
Why this answer is correct
खाली संबंध में कोई जोड़ी ही नहीं है, इसलिए ऐसी विरोधी स्थिति बनती ही नहीं। / In the empty relation, no ordered pair exists, so no counterexample can occur.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को संक्रामक मानना एक सामान्य परीक्षा बिंदु है। / Remember that the empty relation is considered transitive.
((p,q)) और ((q,r)) से ((p,r)) मिलेगा। / From ((p,q)) and ((q,r)), we get ((p,r)).
Step 2
Why this answer is correct
अब ((p,r)) और ((r,s)) से ((p,s)) मिलेगा। / Now from ((p,r)) and ((r,s)), we get ((p,s)).
Step 3
Exam Tip
लंबी श्रृंखला में संक्रामकता को एक-एक करके लगाएँ, सीधे उल्टी जोड़ी न मानें। / In a long chain, apply transitivity step by step and do not assume reverse pairs.
A. क्योंकि (A) के हर दो तत्वों की जोड़ी संबंध में होती है/Because every ordered pair of elements of (A) is in the relation
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in A\times A\) और \((b,c) \in A\times A\), तो \(a,c \in A\) हैं। / If \((a,b) \in A\times A\) and \((b,c) \in A\times A\), then \(a,c \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) भी \(A\times A\) में होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई आवश्यक जोड़ी छूटती नहीं, इसलिए संक्रामकता पूरी रहती है। / In a universal relation, no required ordered pair is missing.
संबंध में ऊपर की दिशा वाली सभी जरूरी जोड़ियाँ दी गई हैं। / The relation contains all required ordered pairs in the increasing direction.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)), तथा ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) मौजूद हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); all are present.
Step 3
Exam Tip
बड़े संबंध में मुख्य श्रृंखलाओं की जाँच तालिका की तरह करें। / In a larger relation, check the main chains like a table.
