Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(a\mid b\), इसलिए यह संक्रमणीय है/\(a\mid b\), so it is transitive
Step 1
Concept
यदि (\gcd(a,b)=a), तो (a), (b) को विभाजित करता है। / If (\gcd(a,b)=a), then (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
भाज्यता संबंध संक्रमणीय होता है, क्योंकि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) से \(a\mid c\) मिलता है। / Divisibility is transitive because \(a\mid b\) and \(b\mid c\) imply \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक वाले प्रश्न को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert greatest common divisor conditions into divisibility before testing.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), तथा ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। दोनों मौजूद हैं। / ((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)). Both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((1,3)) with ((3,4)) requires ((1,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
गायब अपने-अपने युग्म तभी समस्या हैं जब वे किसी श्रृंखला से अनिवार्य बनें। / Missing self-pairs matter only when forced by a chain.
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) चाहिए। / ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,4)) से भी ((1,4)) चाहिए। यह युग्म सूची में नहीं है। / ((1,2)) and ((2,4)) also require ((1,4)), and it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही गायब युग्म कई श्रृंखलाओं से आए, तो वह निश्चित रूप से जरूरी होता है। / If the same missing pair is forced by multiple chains, it is definitely needed.
A. नहीं, उदाहरण (a=5,b=3,c=1) से शर्त टूटती है/No, the example (a=5,b=3,c=1) breaks the condition
Step 1
Concept
जांचें कि \(5\le3+2\) और \(3\le1+2\) दोनों सत्य हैं। / Check that \(5\le3+2\) and \(3\le1+2\) are both true.
Step 2
Why this answer is correct
पर \(5\le1+2\) असत्य है, इसलिए ((5,1)) संबंध में नहीं होगा। / But \(5\le1+2\) is false, so ((5,1)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
बदली हुई असमानता में केवल \(\le\) देखकर निर्णय न लें, प्रतिउदाहरण खोजें। / For modified inequalities, do not decide only by seeing \(\le\); look for a counterexample.
A. \(R^{-1}\) हमेशा संक्रमणीय होता है/\(R^{-1}\) is always transitive
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R^{-1}\) और \((b,c)\in R^{-1}\), तो \((b,a)\in R\) और \((c,b)\in R\)। / If \((a,b)\in R^{-1}\) and \((b,c)\in R^{-1}\), then \((b,a)\in R\) and \((c,b)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) संक्रमणीय है, इसलिए \((c,a)\in R\), अतः \((a,c)\in R^{-1}\)। / Since (R) is transitive, \((c,a)\in R\), so \((a,c)\in R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम संबंध में क्रम उलटता है, पर संक्रमणीयता बनी रहती है। / In the inverse relation, order reverses, but transitivity is preserved.
\((1,3)\in R\) क्योंकि \(1\le3\) और (3-1=2)। \((3,5)\in R\) भी है। / \((1,3)\in R\) because \(1\le3\) and (3-1=2). Also \((3,5)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((1,5)\in R\) चाहिए, पर (5-1=4), जो (2) से अधिक है। / Transitivity requires \((1,5)\in R\), but (5-1=4), which is greater than (2).
Step 3
Exam Tip
दूरी की ऊपरी सीमा वाली शर्तों में दो वैध कदम मिलकर अमान्य हो सकते हैं। / With upper distance limits, two valid steps may combine into an invalid one.
यदि (a) और (b) एक ही कक्षा में हैं तथा (b) और (c) भी एक ही कक्षा में हैं, तो (a) और (c) भी उसी कक्षा में होंगे। / If (a) and (b) are in the same class, and (b) and (c) are also in the same class, then (a) and (c) are in that same class.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा और संक्रमणीयता पूरी होगी। / So ((a,c)) belongs to the relation, and transitivity holds.
Step 3
Exam Tip
समान समूह वाले संबंध अक्सर समतुल्यता संबंध बनते हैं। / Same-group relations often form equivalence relations.
(a=b) की स्थिति भी (a-b=0) देती है, और (0) (5) से विभाज्य है। इसलिए शर्त समान शेषफल वाली बन जाती है। / The case (a=b) gives (a-b=0), and (0) is divisible by (5), so the relation is a same-remainder type condition.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) और (b-c) (5) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (5) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (5), then (a-c) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
बराबरी वाली अलग शर्त को भी अंतर वाली शर्त में मिलाकर देखें। / Try to merge equality conditions with difference conditions when possible.
