Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(R\cap S\) संक्रमणीय होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)), दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) के संक्रमणीय होने से ((a,c)) दोनों में होगा, इसलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since (R) and (S) are transitive, ((a,c)) is in both, hence in \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद के प्रश्न में दोनों संबंधों की शर्त साथ-साथ लगाएं। / For intersection questions, apply both relation conditions together.
A. यह हमेशा संक्रमणीय नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संघ में युग्म अलग-अलग संबंधों से आ सकते हैं। / In a union, pairs may come from different relations.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण में \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों अलग से संक्रमणीय हैं, पर \(R\cup S\) में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are individually transitive, but \(R\cup S\) lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए हमेशा अलग से श्रृंखला जांचें। / Always test chains separately for union.
पहचान संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs like ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलते हैं, तो ((a,a)) पहले से मौजूद है। इसलिए कोई कमी नहीं बनती। / If ((a,a)) and ((a,a)) are combined, the required ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को संक्रमणीयता का मूल उदाहरण याद रखें। / Remember the identity relation as a basic example of transitivity.
C. क्योंकि ((3,2)) और ((2,3)) हैं पर ((3,3)) नहीं है/Because ((3,2)) and ((2,3)) are present but ((3,3)) is absent
Step 1
Concept
\((3,2)\in R\) और \((2,3)\in R\) को जोड़ सकते हैं। / \((3,2)\in R\) and \((2,3)\in R\) can be chained.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रमणीयता के लिए \((3,3)\in R\) चाहिए, पर यह सूची में नहीं है। / Transitivity requires \((3,3)\in R\), but it is not listed.
Step 3
Exam Tip
गलत विकल्पों में अक्सर ऐसा युग्म गायब बताया जाता है जो वास्तव में मौजूद होता है। / Wrong options often claim a pair is missing even though it is actually present.
संभव श्रृंखलाएं ((1,2)) से शुरू होकर ((2,4)) या ((2,2)) से जुड़ती हैं। / Possible chains from ((1,2)) connect with ((2,4)) or ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके लिए ((1,4)) और ((1,2)) चाहिए, दोनों मौजूद हैं। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। / These require ((1,4)) and ((1,2)), both present. ((2,4)) with ((4,4)) requires ((2,4)), also present.
Step 3
Exam Tip
सूची वाले प्रश्न में सभी जुड़ने वाली श्रृंखलाओं को व्यवस्थित रूप से देखें। / In list-based questions, check all connectable chains systematically.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है और (b) तथा (c) का शेषफल समान है, तो तीनों का शेषफल समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) have the same remainder, then all three have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (a) और (c) भी समान शेषफल देंगे, यानी \((a,c)\in R\)। / So (a) and (c) also have the same remainder, meaning \((a,c)\in R\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल के वर्ग बनाकर ऐसे संबंध जल्दी जांचे जा सकते हैं। / Such relations can be checked quickly by forming remainder classes.
