Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. हाँ, क्योंकि समान सम-विषमता बनी रहती है/Yes, because same parity is preserved
Step 1
Concept
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की सम-विषमता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
(b+c) सम होने से (b) और (c) की सम-विषमता समान है, इसलिए (a) और (c) भी समान सम-विषमता के होंगे। / (b+c) even means (b) and (c) have the same parity, so (a) and (c) also have the same parity.
Step 3
Exam Tip
सम-विषमता वाले संबंधों में उदाहरण के बजाय श्रेणी देखकर निर्णय लें। / For parity relations, reason by parity classes, not by one example.
(b/a) पूर्णांक होने का अर्थ है कि (a), (b) को विभाजित करता है। / (b/a) being an integer means (a) divides (b).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो \(a\mid c\), इसलिए संबंध संक्रमणीय है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
भागफल वाली शर्त को पहले भाज्यता में बदलें। / Convert quotient conditions into divisibility first.
संक्रमणीयता तोड़ने के लिए एक प्रतिउदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove transitivity.
Step 2
Why this answer is correct
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), पर \((1,3)\notin R\) क्योंकि (|1-3|=2)। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), but \((1,3)\notin R\) because (|1-3|=2).
Step 3
Exam Tip
दूरी वाले संबंधों में लगातार दो कदम अक्सर एक बड़े कदम में बदल जाते हैं। / In distance-based relations, two small steps may become a larger step.
A. हाँ, क्योंकि तोड़ने वाली कोई श्रृंखला नहीं है/Yes, because there is no chain that can violate it
Step 1
Concept
संक्रमणीयता तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में ऐसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए कोई उल्लंघन नहीं बनता। / In the empty relation, no such pair exists, so no violation occurs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को अक्सर बिना विरोध के संक्रमणीय माना जाता है। / The empty relation is commonly treated as transitive by vacuous truth.
\((1,2)\in R\) और \((2,3)\in R\), क्योंकि क्रम भी सही है और योग विषम है। / \((1,2)\in R\) and \((2,3)\in R\), because the order is correct and each sum is odd.
Step 2
Why this answer is correct
पर \((1,3)\notin R\), क्योंकि (1+3) सम है। / But \((1,3)\notin R\), because (1+3) is even.
Step 3
Exam Tip
दो शर्तों वाले संबंध में दोनों शर्तें अंतिम युग्म पर भी जांचें। / For two-condition relations, verify both conditions on the final pair too.
B. नहीं, बड़ा संबंध संक्रमणीयता तोड़ सकता है/No, a larger relation may break transitivity
Step 1
Concept
\(R\subseteq S\) से केवल इतना पता चलता है कि (S) में (R) के सभी युग्म हैं। / \(R\subseteq S\) only tells us that all pairs of (R) are in (S).
Step 2
Why this answer is correct
(S) में नए युग्म जुड़कर ऐसी श्रृंखला बना सकते हैं जिसके लिए अंतिम युग्म मौजूद न हो। / New pairs in (S) may create a chain whose required final pair is missing.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय की जानकारी से संक्रमणीयता अपने आप तय नहीं होती। / Subset information alone does not guarantee transitivity.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो दिया है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने युग्म जैसे ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) कोई नई कमी नहीं बनाते, क्योंकि जरूरी युग्म पहले से सूची में हैं। / Self-pairs such as ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) do not create a missing requirement because the needed pairs are already listed.
Step 3
Exam Tip
क्रमबद्ध संबंधों को छोटे रास्ते की तरह देखकर जांचें। / Check ordered relations like small paths.
