Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संक्रामक होने के लिए यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\) होना चाहिए। / For transitivity, if \((a,b) \in R\) and \((b,c) \in R\), then \((a,c) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी संबंध में है। बाकी आवश्यक जोड़ियाँ भी पूरी हैं। / Here, ((1,2)) and ((2,3)) imply ((1,3)), which is present. Other required cases also hold.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी जाँच करते समय केवल उन जोड़ियों को देखें जिनका बीच वाला तत्व समान हो। / In exams, check only pairs where the second element of one pair matches the first element of another.
संक्रामकता में केवल उन जोड़ियों को जाँचना होता है जहाँ दूसरी जोड़ी पहली जोड़ी के दूसरे तत्व से शुरू हो। / In transitivity, check only those pairs where the second pair starts with the second element of the first pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो मौजूद है। ((2,4)) और ((4,4)) से ((2,4)) भी मौजूद है। / Here ((1,2)) and ((2,4)) require ((1,4)), which is present. Also ((2,4)) and ((4,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
स्वयंजोड़ियाँ न होने से हमेशा संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए जरूरी श्रृंखला ही देखें। / Missing self-pairs do not always break transitivity, so check only required chains.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (3) से विभाज्य हैं, तो उनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी (3) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (3), then ((a-b)+(b-c)=a-c) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। / Hence (aRc) is true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में अंतरों को जोड़कर संक्रामकता जल्दी जाँची जा सकती है। / For divisibility relations, add the differences to test transitivity quickly.
A. क्योंकि (a<b) और (b<c) से (a<c) मिलता है/Because (a<b) and (b<c) imply (a<c)
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो लगातार संबंधों से पहला और तीसरा तत्व जुड़ना चाहिए। / Transitivity means two connected relations must imply a direct relation between the first and third elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में यदि (a<b) और (b<c), तो निश्चित रूप से (a<c)। / For real numbers, (a<b) and (b<c) definitely imply (a<c).
Step 3
Exam Tip
असमानता वाले प्रश्नों में संख्या रेखा की दिशा याद रखें। / In inequality questions, remember the direction on the number line.
यदि (a-b) सम है और (b-c) सम है, तो इनका योग ((a-b)+(b-c)=a-c) भी सम होगा। / If (a-b) is even and (b-c) is even, then their sum ((a-b)+(b-c)=a-c) is also even.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) सत्य होगा। / Hence (aRc) holds.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले संबंधों में दो अंतरों को जोड़ना संक्रामकता की अच्छी जाँच है। / For difference-based relations, adding the two differences is a useful transitivity check.
A. नहीं, क्योंकि ((1,5)) और ((5,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है/No, because ((1,5)) and ((5,1)) are present but ((1,1)) is absent
Step 1
Concept
(1+5=6), इसलिए ((1,5)) संबंध में है और (5+1=6), इसलिए ((5,1)) भी संबंध में है। / Since (1+5=6), ((1,5)) is in the relation, and since (5+1=6), ((5,1)) is also in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, लेकिन (1+1=2), इसलिए यह संबंध में नहीं है। / Transitivity requires ((1,1)), but (1+1=2), so it is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
सममित दिखने वाला संबंध भी संक्रामक हो, यह जरूरी नहीं। / A relation that looks symmetric need not be transitive.
