Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संक्रामकता में केवल ऐसी जोड़ियाँ देखी जाती हैं जहाँ पहली जोड़ी का दूसरा तत्व और दूसरी जोड़ी का पहला तत्व समान हो। / In transitivity, check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the next pair.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,2)) और ((2,5)) से ((1,5)) चाहिए, जो मौजूद है। ((3,4)) के बाद (4) से शुरू कोई जोड़ी नहीं है। / Here ((1,2)) and ((2,5)) require ((1,5)), which is present. After ((3,4)), no pair starts with (4).
Step 3
Exam Tip
हर अनुपस्थित स्वयंजोड़ी को गलती न मानें, केवल जरूरी श्रृंखला देखें। / Do not treat every missing self-pair as an error; check only required chains.
संबंध में ((1,3)) और ((3,5)) एकमात्र मुख्य श्रृंखला बनाते हैं। / In this relation, ((1,3)) and ((3,5)) form the main chain.
Step 2
Why this answer is correct
इस श्रृंखला के लिए ((1,5)) चाहिए, जो पहले से मौजूद है। ((2,4)) आगे कोई नई जरूरत नहीं बनाती। / This chain requires ((1,5)), which is already present. ((2,4)) creates no further requirement.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता में केवल बन रही श्रृंखलाओं से आवश्यक जोड़ी निकालें। / In transitivity, find required pairs only from actual chains.
((1,4)) और ((4,5)) संबंध में हैं, इसलिए ((1,5)) चाहिए। / ((1,4)) and ((4,5)) are in the relation, so ((1,5)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,5)) से भी ((1,5)) चाहिए, पर यह अनुपस्थित है। / ((1,2)) and ((2,5)) also require ((1,5)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
जब एक ही जोड़ी दो अलग श्रृंखलाओं से मांग में आए, वह संक्रामक पूर्ति के लिए बहुत महत्वपूर्ण होती है। / When the same pair is demanded by two chains, it is important for transitive closure.
यदि (a-b) और (b-c), दोनों (9) से विभाज्य हैं, तो उनका योग (a-c) भी (9) से विभाज्य होगा। / If (a-b) and (b-c) are both divisible by (9), their sum (a-c) is also divisible by (9).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (aRc) भी सत्य होगा। / Hence (aRc) is also true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता आधारित संबंधों में अंतरों का योग संक्रामकता का सरल प्रमाण देता है। / For divisibility-based relations, adding differences gives a simple proof of transitivity.
(1R3) सत्य है क्योंकि \(3=3\cdot 1\), और (3R9) सत्य है क्योंकि \(9=3\cdot 3\)। / (1R3) is true because \(3=3\cdot 1\), and (3R9) is true because \(9=3\cdot 3\).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1R9) चाहिए, पर \(9\ne 3\cdot 1\)। / Transitivity would require (1R9), but \(9\ne 3\cdot 1\).
Step 3
Exam Tip
किसी नियम को दो बार लगाने से वही नियम सीधे लागू हो, यह जरूरी नहीं। / Applying a rule twice does not necessarily make the direct rule true.
यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\), तो (b=ak) और (c=bl) लिखा जा सकता है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then (b=ak) and (c=bl).
Step 2
Why this answer is correct
तब (c=a(kl)), इसलिए \(a\mid c\)। / Then (c=a(kl)), so \(a\mid c\).
Step 3
Exam Tip
संबंध की सूची छोटी हो या बड़ी, विभाज्यता का यही नियम संक्रामकता सिद्ध करता है। / Whether the relation list is small or large, this divisibility rule proves transitivity.
यदि \(a\le b\) और \(b\le c\), तो \(a\le c\)। / If \(a\le b\) and \(b\le c\), then \(a\le c\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b-a) और (c-b) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (c-a=(c-b)+(b-a)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (b-a) and (c-b) are both divisible by (2), then (c-a=(c-b)+(b-a)) is also divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
संयुक्त शर्तों में क्रम और विभाज्यता दोनों अलग-अलग जाँचें। / In combined conditions, check order and divisibility separately.
संबंध में तुलना \(a^4\), \(b^4\), और \(c^4\) के बीच है। / The relation compares \(a^4\), \(b^4\), and \(c^4\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a^4\le b^4\) और \(b^4\le c^4\), तो सामान्य क्रम से \(a^4\le c^4\)। / If \(a^4\le b^4\) and \(b^4\le c^4\), then by the usual order \(a^4\le c^4\).
Step 3
Exam Tip
घात का मान चाहे कैसे बने, तुलना वाले मान पर क्रम का नियम लगाएँ। / Whatever the power value is, apply the order rule to the compared values.
